PS"S'— PS'S"=2A, PS^S — PSS" = 2A

PS'S— PSS'=:2A",

4oO ASTRONOMIE SPHÉHIQVE.

les analogies de Néper, appliquées aux triaD^des PSS', PS' S" et PS" S, cbnîitiront

^, singer- ^) ..,

où ^ el \' onl la même signification que précédemment; d'im aiilrc côlé, des relations •

/, -f- PSS' =: PS' S - //,

//-f-PS'S"=:PS"S' — //',

j, + PSS" = PS"S - //',

il résulte

mais nous avons

donc

suit

cos //

cos y

sin{/4->1 siny/

cos// •

cos<p

sîn/

sin/j

sin(/-f->.) ' sin//

sin^-f-sin(/-4-V) sin( A^ -4- A"- A^ -+• sin^ A -h A"-A;) sin/ — sin(/-f-X) "~ sin( A'-4- A"— A) — sin( A 4-A"- A')

el, |»ar consé(|nenl,

lang(/+ ;X)col{). rotang A"col (A— A'),

OU, en remplaçant tang A" par sa valeur tirée de Tcquation (B), (D) .a„g(, + xx)=^i^jcot(A-A').

Ainsi, on calculera d*abord A^ A' et A'' au moyen des équations (B), puis/?, p\ p" et ^ à ]*aide des équations (G) et (D), et enGn ^ et A au moyen des équations (A).

L\*mpIoi de ces formules présente un inconvénieni : les différents angles qu'elles renferment n'étant déterminés que par leurs tangentes, il reste une incertitude sur le choix du quadrant dans lequel il faut prendre chacun d'eux. Néanmoins on peut choisir arbitrairement le quadrant dans lequel se trouve Textrémité de l'un deux, à la condition de prendre ensuite i8o®+ r nu lieu de /, si l'on trouve pour f et A des valeurs telles, que cos^ et sin/i aient des signes contraires. De même, si les valeurs obtenues pour f et A sont plus grandes que 90", on prendra pour ces angles leur supplément à 180®, ou leur différence avec le plus prochain multiple de 180®. D^ailleurs la latitude est boréale ou australe, suivant que sin^ et sinÂ sont de même signe ou de signe contraire.

Exemple. — Appliquons ces formules à l'exemple donné au n® 121. Nous avons

\\ = 4- 59020' 32 ",55, Lv = ~ 405^' 58% o5,

• (tî'- ^) = — 36.52.56 ,i5, |{^'+ ^) == -+-51,28.58 ,i5, et par suite

A — A'nz— 86"5i' 5",4o, t-\'\\ — '\' 3. 2 4>47>

Pour trouver y ci //, on devrait employer los formules (A) dc- I. 26

402 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.

(luîtes du triangle formé par le pôle, le zénith et la première étoile; mais comme, dans ce triangle, certains angles sont trèspetits, il vaut mieux se servir du triangle qui correspond à la seconde étoile, et par conséquent calculer les formules

COSy^r — p j

w ,. sin|(/' — jd' ) ,,^ , ^,.

tangi(. - /') - ,i„I(,>^;,; co.(45-+i*').

Nous avons maintenant.

i=t'^\— 62*»29/37",02, //=iA + A"— A^zzr 243.24.38,08,

et enfin

ou, en prenant pour h Pangle supplémentaire,

valeurs qui s'accordent parfaitement avec celles trouvées dans le numéro précédent.

123. Démonstration analytique des formules de Cagnoli. — Diaprés les formules fondamentales de la trigonométrie sphérique, nous avons pour les trois étoiles les systèmes d'équations

siïih = sin^sin^ + costpcos^ cos/,

(a) l cos h ainp =cos^sinr, cos^ cos/7 = siny cos^ — cosy sin^ cosr;

sin^ =r:sin^sin^ H- cosy cos^' cos(f + ^)>

(b) I cos/i sir/?' =: cosy sin(^ 4- X), cos/i cos/?' = siny cos^' — cosç sin^' cos(^ -h ). );

sin/i = sincp sinJ"-i- cos^ cos<î"cos(f -H >'),

DfiTERMmATION DU TEMPS ET DE hk LATITUDE. 4^3

Dans ces équations remplaçons S par |(^-h'^)-t- j(S — ^') et ^' par j(^ + ^') — t(^ — ^'), et retranchons Tune de l'autre les premières équations de chacun des systèmes [a) et (b), nous aurons [équation (a) du n® 121]

{ oz=sînYsini(^-^)cosi(J-f-5') (a) I +coS(pcosi(^ — ^')cos|((y-t- 5') siniXsin (/ + !>) ( — cosy sin|(5 — S' ) sin |(^ -t- ^ ) cos jX cos(/ -h yîi) ;

de même, nous déduirons des troisièmes équations de chacun des

systèmes (a) et (b)

cosh sin |(/7 — /?' ) sin i (/? -f- />' ) = + siny sin[(^— ^')sini(^+ ^')

'^ ' ■ coS(j>cos^(5— ^')sin{(^+^')sin-J->sin(^-H}>)

cosç sin y (^ — ^) cos -[$-¥- S'} cos | ). cos(/ -hjy);

multiplions réqualion (a) par cosy(^H- ^'), Téquation (f) par siny(^ + ^) et retranchons les équations résultantes ; sin^ sera éliminé, et nous obtiendrons

1 cos/acos|(^H- ^') sin|(/?-f-//)sin|(/7 — //) ^"^^ 1 = cosy sin j(5 — S') cos|> cos (t -+- 1) ).

En retranchant les secondes équations des deux systèmes (a) et (b), il vient

(d) cos A COS3 (/?' -4-/?)sin-j (/?' — p) = cosy sin^-jX cos(/ -t- ^X),

d'où

. tangi(y4-/.)^^^|^~^j cotiX = tangA-

par la combinaison des équations correspondantes des groupes [a) et (c), {b) et [c^y on trouvera les formules analogues

tangi(/? +/?) = ^^^^,^,r^^^ cot^X = tangA ,

lang-^ (/>"+/.') = ^^',;^„^^,j coti (/ X) = tangA ;

4o4 ASTBONOMIB SPBÉRIQUE.

enfin, ajourons les secondes équations dos systèmes (a) et (^), nous trouvons la relation

( «) cash sm \ {// -*-/?) cos{(// —- p)=z rosy cos J-X sin (^ H- i X );

et en divisant membre à membre les équations (S) et (g), nous obtenons

. ,,. sinf(^'— tî)

^""g(^-^^^)-cosli^--4-4^"^^^^^^-

où

Après avoir ainsi calculé p et t pour la première étoile, nous pourrons trouver f et // au moyen des formules obtenues précédemment i\ Paide des analogies de Néper,

ÎV. — DÉTERMINATION DU TEMPS ET DE LA LATITUDE PAR l'OBSERVATION