DES AZIMUTS DES ÉTOILES
124-. — Trouver le temps par V observation d'un azimut, — Nous avons montré précédemment comment on peut, avec la déclinaison et l'azimut d'une étoile ainsi que la latitude du lieu d'observation, calculer l'angle horaire de cette étoile; on comprend donc que si la latitude du lieu d'observation est connue, il suffit, pour obtenir l'état de la pendule, de noter l'heure qu'elle marque au moment où , une étoile dont les coordonnées sont connues, atteint un azimut déterminé. Loi*sque Inobservation est faite dans le méridien, un n*a besoin de connaître ni la latitude ni la déclinaison de l'étoile, et d'ailleurs, la variation de Tazimut étant alors maximum , les conditions d'observation seront les plus avanta^^euses possibles.
De plus, en difTéreutiant Téquation
cotAsin/= - cosf tang^ + sin^ cos/,
BfiTERMINATION DU TEMPS ET VE LA LATITUDE. 4^5
on obtient (n<* 36)
cos/i dk = — sinA sin /id<f 4- cos<î cùsp dt;
si Tobservation est faite dans le méridien
siiîA = O, COSp := I,
et si l'étoile passe au méridien au sud du zénith
on a donc
coso
Cette équation montre que dans la détermination du temps à Taide d'observations faites dans le méridien, on doit choisir des étoiles qui soient proches du zénith au moment de leur passage au méridien, car alors ^ — ^ = o, et une erreur commise sur Tazimut n'a aucune influence sur la détermination du temps.
Actuellement soient a l'ascension droite d^ine pareille étoile (t u le temps de la pendule au moment de son passage au méridien : si la pendule est réglée sur le temps sidéral, son état est égal à a — 1/ ; si elle est, au contraire, réglée sur le temps moyen, on convertit en temps moyen l'ascension droite de l'étoile donnée par les Catalogues, c'est-à-dire le temps sidéral de son passage au méridien, et m étant le temps moyen ainsi obtenu, m — u sera l'état de la pendule par rapport au temps moyen.
Pour des étoiles qui ne satisfont pas à la condition précédente, l'exactitude delà détermination du temps dépend de l'exactitude de la direction adoptée pour le méridien. Dans le cas où IVrreur commise sur cette direction est très-faible, il est facile d'en obtenir la valeur par l'observation de deux étoiles passant au méridien, Tune près du zénith, l'autre près de Thorizon, et par conséquent de trouver, pour l'état de la pendule, un nombre qui en soit complètement indépendant. Soit en effet A A l'azimut dans lequel l'étoile a été observée et que i)ous supposons coïncider à très-peu près avec le méridien ; soient 8 — a et 0' — a' les angles horaires des deux étoiles aux moments des observations : ces deux
4o6 ASTRONOMIE SPBtRlQUB.
«ingles horaires seront du même ordre dé grandeur que AA, el^ d'après ce qui précède, on pourra les représenter par les deux expressions
coso coso'
Or
e = « + Aa, e'=V*'-i- A«;
on a donc les deux équations
• sînfcp — $)
(z = u -h au i-î— T — -'AA,
cosa
coso
qui pourront servir à déterminer à la fois Aa et AA. Si la construction de rinstrument permet d'observer non-seulement dans l'azimut ^A, mais aussi dans l'azimut i8o^ + aA^ il convient, pour déterminer AA avec plus d'exactitude encore, de remplacer les étoiles précédentes par deux autres dont Tune soit voisine de réquatcur et Pautre du pôle. Dans ce cas, en effet, les coefficients de A A ont des signes contraires dans les deux équations, et de plus dans celle qui est relative à la circompolaire, ce coefficient est très-grand en valeur absolue (*).
Exemple. — A l'Observatoire de Bilk , avant que la lunette méridienne fàt exactement dans le méridieu, on avait observé les passages suivants au fil moyen :
a Cocher. 5**6"2'7%72,
P Orion 5.8.12,71.
Les coordonnées de ces deux étoiles étaient
(*) Od siipposo ici. que, par coDstruction môme, la ligne de colliinalion <le lUnstriiment décrit tin plan vertical. Leca6 où cette condition ne serait pas remplie aéra traité au n^* 22 du second volume.
d'autre part, la latitude de Bilk a pour valeur
Ces nombres introduits dans les équatious précédentes donnent
— 54% 4? =^ ^ff — 0,13433 A A,
— 55,38 = Att — 0,871 78 AA; on en déduit
Aw = — 54% 3o, A A = + 1% 23.
125. Trouver le temps par l'observation de la disparition d'une étoile derrière un objet terrestre, — Olbersa proposé, pour déterminer le temps, une méthode simple qui consiste à observer l'époque de la disparition d'une étpile derrière une mire verticale. Cette mire doit être placée haut et loin, de telle sorte qu'elle puisse être aperçue distinctement dans la lunette en même temps que rétoile, et qu'en outre la disparition de l'astre soit instantanée. La lunette employée dans ces observations doit d'ailleurs conserver toujours la même position, et n'avoir qu'un faible grossissement. Supposons que d'autres méthodes aient fait connaître pour un jour quelconque le temps sidéral de l'occultation de Tétoile par la mire, ce phénomène devra évidemment arriver les jours suivants au même temps sidéral, tai^t que la position de l'étoile sur la sphère céleste n'aura pas changé : dès lors l'observation d'une occultation faite un autre jour donnera immédiatement l'état d'une pendule réglée sur le temps sidéral. Mais si l'on se sert d'une pendule réglée sur le temps moyen, on devra tenir compte de la quantité dont le temps sidéral avance sur le temps moyen, c'est-à-dire de l'accélération des fixes, en vertu de laquelle l'époque de l'occultation de l'étoile avancera chaque joue* de 3" 55*, 909 de temps moyen.
Lorsque l'ascension droite de l'étoile varie seule, le temps sidéral de son occultation varie de la même quantité, puisque la position où l'étoile est observée correspond toujours au même azimut, et par suite à la même hauteur et au même angle horair^. Lorsque, au contraire, la déclinaison varie, l'angle horaire qui
4o8 ÀSTftONOMIR 8PBÉRIQUE.
correspond à cet azimut déterminé chanj^e chaque jour, et ^A et dff étant tous deux nuls, on a, d*après les formules diflerentielles du n"" 36,
d$ =: cos/? flh , co% 9 dt r= — sxTïp dh^ où /7 est Tangle parallactique ; d*où
coso
Par conséquent, si Tascension droire et la déclinaison varient en même temps des quantités A a et A^, le temps sidéral de la disparition de l'étoile derrière la mire se déduira du temps déjà déterminé par Taddition de la quantité
10 \ coso
Exemple. — Olbers avait trouvé par d'autres observations que, le 6 septembre i8oo, Tétoile ^ Couronne disparaissait à 1 1^*23"* i8%3 de temps moyen, ou à 22^* 26"* 21', 78 de temps sidéral, derrière le mur vertical d*une tour éloignée dont Tasduiut était 64°56'2i",4« ^^ ^^ septembre, il observa sa disparition à io*'49'" ^ï*»o> ^''» ^^ phénomène devait avoir lieu, en temps moyen, à
ïi»»23"i8%3 — 6x 3«»55%909,
ou
par rapport au temps moyen, Fétat de la pendule était donc
En outre, du 6 septembre 1800 au 6 septembre 1801, on avait
Aa= -^^l",Q, à$=: — I3^2,
et, puisque
nous trouvons^
la correction complète est donc
H- 53", 35 ou 3S56.
Par conséquent, le 6 septembre i8oi, la disparition de l'étoile devait avoir lieu à 2^^ 26"* 25*, 34 de temps sidéral ( *) .
126. Trouver la latitude par V observation des azimuts» — Observation d'une étoile connue, — Quand on connaît le temps, il est facile de trouver la latitude par l'observation, faite dans un azimut déterminé, d'une étoile dont la position est connue. On a, en effet, Téquation
cotA sinf = — cos^ tang^ H- sin^ cos/,
qui donne, après différentiation,
• A j .i .* cos^coso , sinp ..
smA dfo z=z — cot« dk H : — — ^ dt ■+- -r-^ d$,
sin II sin h
On voit donc que, pour déterminer le plus exactement possible la latitude par Tobservation des azimuts, on doit faire ces observations dans le voisinage du premier vertical, puixqu'alors sin A est maximum. De plus, il convient aussi de choisir une étoile qui passe près du zénith du lieu d'observation, car, dans ce cas, les coefficients de dk et dt sont très-petits; en effet, en remplaçant cos^ cos/; par la valeur
cos^ cos/; = sin ^ cos/i + cos^ sin/i cos A,
il devient évident qu'au zénith les erreurs commises sur l'azimut et le temps n'ont aucune influence; mais, puisque sin/? = 1, une erreur commise sur la valeur de la déclinaison adoptée produira alors sur la latitude une erreur d'importance à peu près égale.
(*) De Zaco. — Monatliche Correspondent^ vol. 111, p. 124 et siiiv.
4lO ASTRONOMIE SPHÈRIQUB.
On observe deux étoiles différentes ou deux fois -la même étoile, — Quand on n'observe qu*une seule étoile dans un azimut déterminé, il faut connaître cet azimut lui-même; mais, avec deux observations d'étoiles différentes, il en est autrement. On a, en effet, les deux équations
j cotA sin/ = — cosiptang^ + sin^ cosr, ( cotA' ûht' •=. — cosy tang^' + sin^ cos/ ;
en multipliant la première par sin/', la seconde par sinf , on ob~ tient
. . sin (A' — A) SI n Asm A
== cosf (tang(î' sin/ — lang^ sin/') + sin y sin [t' — /), et comme
cos ^ sin / = cos A sin A , cos è' sin /' =: cos h! sin A' ,
on a
icos A cos// sin (A' — A) =:coS(j> (cos(îsin(î' sinr — sin^cos^ sin/') -h sin ^ sin ( /' — t) cos^ cos $' .
Posons
j sin(5'-h(î)sinf(/'— /)=/wsinM, ^ i sin(^'— ^)cos|(/' — 0='"<îosM,
puis multiplions la première de ces équations par cos |( /'-+-/), la seconde par sinY(/ + rj, et retranchons ensuite la seconde de la première, nous aurons
/wsin[^(/'-f- 1) — M] = sin(î'cos5sînr — cosd' sini^sin/';
multipliant au contraire la première équation par cos~(r' — f), la seconde par sinj(/' — /), et retranchant ensuite la première de la seconde, on aura
m sin [!(/'—/) — M] =r — sin ^cos5' sin (/' — /) ;
réquation {^) peut donc s'écrire
cosAco$A'sin(A' — A)= -+-/?/ cos«p sin[y(f'-+- ^) —M]
— /itsin^ siD[^ {t' — t) — M]cot^.
Si maintenant on suppose que les deux étoiles ont été observées dans le même azimut ou dans des azimuts qui diffèrent de iSo**,
sin (A' — A) = G, et par suite
sinf^/' H- /) — Ml
Il n*est donc plus nécessaire de connaître Pazimut dans lequel l'observation a été faite; mais les formules (A) et (B) permettent de calculer la latitude à Taide de la déclinaison de chaque étoile et de l'heure à laquelle elles ont été observées. Quand on a observé deux fois la même étoile , on obtient des formules beaucoup plus simples encore; dans ce cas en effet on a, d'après la seconde des formules (A), M = 90°, et il vient
Équations différentielles. — Dans le cas général où Ton a observé deux étoiles dans des azimuts différents, les équations différentielles sont
cosA dk = sin/? d9 -{- cos^ cosp dt — sin A sin A r/y, cosA'û?A' = sin// d$^ -^ cos<î'cos/?' de' — sin h' sin \'df)
d'oùy en multipliant la première équation par cosA', la seconde par cos/i, et retranchant, on obtient l'équation suivante, où figure la différence des azimuts,
cos h cos h' d{A! — A)
= — cos A' cos^ cos/? dt -{- cos h cos^' cos/?' d^ — (sin/*' cos/i sin A' — sin/i cos/i' sin A) d^ cosh'sinp'dS' — cosh' sin pd9.
Supposons A' = 180^ -f- A ; remplaçons en outre
cos^cos/7 et cosj' cos/?' par les valeurs
cos^ cosp = sin^ cosA + cosy sinh cosA , cos^' cos/?' = sîn f cos h ' — cos ^ sin h' cos A ,
di et dt' par
dtz=z du -^ d[tiu], de' = du' -h d (Au);
du et du' étant les erreurs commises sur Tobservation des iem|M des passages, d{Au) Terreur dont est alTecté l'état de la pendule, nous transformerons cette équation comme il suit :
sin A^cp — cosf cosAi'/(Am)
COS//COs/i' ., .s ' jf t \i
