DE DEUX LIEUX
128. Détermination de la différence des longitudes de dettx lieux par r observation de phénomènes vus simultanément de chacun d^eux. — Si, au même instant physique, on connaît les heures de deux lieux différents de la surface de la terre, on sait quel est au même instant, pour chacun de ces lieux, l'angle horaire de l'équinoxe du printemps. I.a différence de ces deux angles horaires, c'est-à-dire la différence des temps observés au même instant en ces deux lieux, mesure l'arc d'équateur compris entre chacun d'eux, ou la différence de leurs longitudes géographiques.
Comme le mouvement diunre de la sphère céleste est dirigé de l'est à l'ouest, un lieu quelconipie est nécessairement situé à Touest de tout autre lieu, dont F heure est au même instant supérieure à la sienne; il est à l'est dans le ^as contraire. En Astronomie, on prend ordinairement comme premier méridien, c*est-à-dire comme méridien à partir duquel on compte les longitudes, le méridien d'un observatoire important, celui de Paris ou de Greenwich, par exemple; en Géographie, au contraire, les
longitudes se comptaient autrefois à partir du méridien de Tile de Fer dont la longitude est de 20° o' ou 1^20"™ à l'ouest de Paris.
Emploi des phénomènes astronomiques, — Pour obtenir en deux lieux différents Tindication d*un même instant physique, tantôt on se sert de signaux artificiels, tantôt on observe un phénomène astronomique apparaissant au même instant en tous les lieux de la Terre. Parmi ces phénomènes nous plaçons en première ligne les éclipses de Lune. Une éclipse de Lune étant produite par l'entrée de la Lune dans le cône d'ombre de la Terre et le temps qu'emploie la lumière à parcourir le rayon de la Terre étant tout à fait insensible, le commencement et la fin d*un pareil phénomène, tout aussi bien que Tentrée et la sortie d'une tache déterminée de la Lune^ seront vus, au même instant physique, de tous les points de la Terre. Il en est absolument de même pour les éclipses des satellites de Jupiter.
Ces phénomènes seraient d'un usage très-commode pour déterminer les différences de longitude, qui seraient égales, aux différences mêmes des temps observés en divers lieux de la Terre, si leurs observations pouvaient se faire avec une très-grande exactitude. Mais sur la surface de la Lune l'ombre de la Terre est toujours mal définie, et les erreurs d'observation peuvent atteindre une minute, et même davantage.
De même l'immersion ou Pémersion des satellites de Jupiter n'est jamais instantanée; l'observation de ces phénomènes n'est donc jamais d'une précision parfaite: c'est pourquoi ils ne servent actuellement presque plus à la solution du problème qui nous occupe. Si l'on voulait employer les éclipses des satellites de Jupiter, il serait absolument nécessaire qu'en chacun des deux lieux les observateurs fussent munis de lunettes de même puissance et qu'ils observassent un nombre égal et très-grand d'immersions et d'émersions; ils devraient d'ailleurs se borner au premier satellite, dont le mouvement aurour de Jupiter est très-rapide, et prendre, pour différence des longitudes, la moyenne arithmétique des différences ainsi obtenues; mais, malgré toutes ces précautions, il n'y aurait pas lieu d'espérer obtenir ainsi une très-grande exactitude.
Benzenberg a proposé de faire servir, à la détermination des I. 27
4l8 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
longitudes, Tobservation de la disparition des étoiles filantes. Ces phénomènes peuvent, en effet, éire observés très -exactement; mais ils ont cet inconvénient, qu'on ne sait jamais à Tavance à ({uel instant et à quel endroit du ciel une étoile filante apparaît. Eût-on même, en deux lieux différents, observé un grand nombre d'étoiles filantes, quelques-unes seulement d'entre elles seront identiques dans les deux lieux ; en outre pour s^assurer de leur identité, il faut déjà connaître approximativement la différence de longitude des deux lieux.
Emploi des signaux artificiels, — La méthode des signaux artificiels, comme Texplosion instantanée d'un tas de poudre, permet d'obtenir la différence de longitude avec une grande précision. Bien que cette méthode ne soit directement applicable que pour des lieux dont la distance ne dépasse pas dix milles, il est néanmoins possible, par la combinaison d'un grand nombre de signaux, de déterminer de cette manière la différence de longitude de lieux très-éloignés. Soient, en effet, A et JB les deux stations dont on veiit déterminer la différence / de longitude, et soient Ai,A3,A3, . . . un certain nombre de stations intermédiaires dont les différences inconnues de longitude sont Z,,/,, /s,..., /t désignant la différence des longitudes de A, et A, /j celle de A2 et A,, et ainsi de suite.
Supposons qu'aux stations Ai, A3, A5,... on ait donné des signaux aux époques ^1,^3,^5,. . . (temps de ces lieux) ; à la première station A on ne voit le signal donné en Ai qu'au temps ^1 — /,= 0; à la station A2 on l'aperçoit au temps /, -h /^ = 0,; de même l'observateur placé en A, voit le signal donné en A3 au temps fj — l^z=i 0j, et celui qui est placé en A4 voit le même signal au temps ^3-4- /4=0,..,. Or, si la dernière station auxiliaire est désignée par An-i, la somme
représente la différence cherchée / des longitudes des deux stations extrêmes, on a donc
OU
/ = 0„-., — (0ft-2— 0«-3) —...-- (02— 0.) — 0.
DËTERMIKATION DES LONGITDDES. 4^9
Ainsi toute détermination absolue du temps faite dans les stations intermédiaires où les signaux ont été observes est inutile; il suffit de connaître la marche de chaque pendule. Aux deux stations extrêmes seules, dont on veut déterminer la différence de longitude, une détermination très-exacte du temps est indispensable. Au lieu de se servir c#nme signal de l'explosion de la poudre, il est plus commode d'employer V héliotrope^ instrument inventé par Gauss, qui permet de réfléchir les rayons solaires, dans une direction quelconque, à de grandes distances. L'héliotrope étant dirigé vers l'autre station, on obtient un signal instantané en découvrant l'appareil.
Détermination des longitudes par la méthode chronométrique, — La différence des longitudes de deux lieux peut aussi être obtenue en transportant d'un lieu dans Fautre un bon chronomètre, et en déterminant pour chaque station l'état et la marche du chronomètre. En effet, soit ^u l'état du chronomètre à la première station, et sa marche diurne, l'état du chronomètre
dt
après a jours sera ^u -^ a — — • Supposons, par exemple, qu a
une époque u' séparée par a jours de l'époque de la première observation, Aw' soit l'état du chronomètre déterminé à la seconde station, et désignons par / la longitude orientale de ce lieu, nous aurons
d'où
/ . d ùiu , ,
u — /-f-Aw-f-a — r— ■= u' -\- A a ,
dt
l z=z £iu -h a — ; A tt .
dt
On a supposé ici que, dans l'intervalle des deux observations, le chronomètre avait toujours conservé la même marche; mais, en réalité, ce cas se présente très- rarement, ou plutôt il n'en est jamais ainsi; il faut donc, pour que cette méthode donne des résultats exacts, ne pas se contenter d'un seul chronomètre, mais en transporter un nombre aussi grand que possible et prendre la moyenne des différents résultais obtenus à l'aide de chacun d'eux.
ilO ASTRONOMIE SPHÉRIQDE.
Cette méthode a servi à déterminer la différence de longitude de différents observatoires, par exemple, ceux de Green'wich et de Poulkowa (*).
C'est aussi la méthode employée en mer : on se sert d'un chronomètre dont Fétat et la marche ont été déterminés avant le départ par rapport au temps d*un port quelconque, le temps en mer étant donné par la hauteur du Soleil.
129. Détermination de la différence des longitudes par le télégraphe électrique. — La méthode la plus commode de détermination des longitudes repose sur l'emploi du télégraphe électrique* Les pendules des deux stations peuvent être comparées au moyen de signaux télégraphiques; l'observation de ces signaux se faisant de la même manière que les précédents, il n'y aurait rien à ajouter à ce que nous avons dit. Mais la méthode peut être envisagée à un autie point de vue et, à cet égard, nécessite d'assez longs développements. La différence des longitudes des deux stations est évidemment le temps nécessaire à une étoile pour passer du méridien d'une de ces stations au méridien de l'autre. L'emploi du chronographc permet d'en effectuer la mesure avec une très— grande exactitude.
Description du chronographe, — Le chronographe consiste essentiellement en un cylindre, sur lequel est enroulée une feuille de papier, et qu'un mouvement d'horlogerie fait tourner d'un mouvement uniforme autour de son axe. Un stylet se meut lentement dans une direction perpendiculaire à celle du mouvement du papier, de manière à occuper sur celui-ci une position différente à chaque révolution du cylindre. Si les mouvements du cylindre et du stylet sont uniformes, celui-ci décrit une hélice qui se transforme en un système de lignes parallèles sur la feuille
(*) Voir pour plus de détails ;
Struye, Expédition chronométrique exécutée par ordre de Sa Majesté l'Em» pereur Nicolas l^, pour la détermination de la longitude géographique relative de l'Observatoire central de Acij^/e (Saint-Pétersbourif, i8^4)>
Expédition executed under prqfessor Airy to détermine the longitude of Ffllentia {Àppendix to the Greenwick's observations of iS45).
<le papier déroulée. Le stylet est en outre relié à un électroaimant, (le telle sorte que si^ à un instant donné, le courant est interrompu, Tarmature de Taimant, ramenée en arrière par un ressort, soulève le stylet qui cesse de toucher le papier et y laisse un espace blaftc. Supposons dès lors que le courant excitateur •de rélcctro-aimant traverse une pendule, et que, par un mécanisme quelconque, il soit interrompu à chaque oscillation du balancier, chaque seconde de la pendule sera représentée sur la feuille de papier; imaginonsurailleurs que la durée d'une révolution du cylindre soit de i minute, on trouvera sur la feuille de papier une série de lignes dont chacune sera divisée en 60 parties, ^t telles, que les signes correspondant aux mêmes secondes dans les différentes minutes forment comme une suite de lignes parallèles entre elles et perpendiculaires à celles que trace le stylet. Le <;ircuit étant d*abord ouvert, fermons-le, lors d'une minute déterminée, avant le battement de la seconde o : le premier signe de seconde marqué sur le papier correspondra à cette seconde de la pendule, et il sera très-facile de savoir quelle est la seconde de la pendule qui correspond à un signe quelconque.
Supposons que le courant traverse en outre une clef (*), et -qu'à un instant quelconque on donne un signal au moj'en de cette <:lef ; il en résultera sur la feuille de papier un trait blanc, qui se distinguera, par sa position et sa longueur, des si^'.nes de seconde; et en mesurant la distance qui le sépare du signe de seconde le plus voisin, on aura avec une grande exactitude le temps de la pendule qui correspond à Tenvoi du signah
Emploi du chronographe. — Méthode des signaux d*€toiles, — A Tune des stations, A par exemple, se trouvent la pendule et le chronographe, et à chaque station au voisinage d'un instrument des passages, et à portée de l'observateur, est disposée une clef. Un courant électrique traverse cet ensemble. En chacune des deux stations A^et B, les observateurs donnent un signal, au
(*) Celte clef est un appareil analogue au iranipulateiir du télégraphe de Morse; mais elle est construite de manière h interrompre le courant quand on appuie sur la touche.
4^2 ASTRONOMIE SPBÉRIQUB.
moyen de la clef, au moment même où une étoile déterminée passe derrière chacun des fils de Tinstrument, signal que le courant inscrit sur le chronograpbe. La différence des temps d'observation mesurée sur le papier et corrigée de la marche de la pendule pendant l'intervalle des deux observations, ainsi que de la quantité dont chaque instrument s*€carte du méridien, est la différence des longitudes des deux stations.
Mais un courant électrique qui traverse un circuit de grande longueur est souvent de faible intensité, surtout si la ligne n'est pas en parfait état; dans ce cas on ne fera pas agir directement^ sur l'électro-aimant du chronograpbe, le courant principal qui passe par les clefs des deux observateurs, mais on lui fera seulement traverser un relais qui ouvrira et fermera le courant d'une pile locale destinée à agir sur cet électro-aimant.
Souvent, à cause de la confusion qui peut exister entre les signes de seconde et les signaux des observateurs, on préfère employer deux stylets. L'un des stylets, mû par le courant d'une pile locale, inscrit d'une façon continue l'heure de la pendule; l'autre, qui se meut parallèlement au premier, indique sur le chronograpbe les signaux de chaque observateur. Il faut encore que la différence des longitudes des deux stations soit supérieure au temps que met une étoile à traverser le réticule de chacun des instruments; dans le cas contraire, il faudrait employer trois stylets et deux fils télégraphiques.
£n raison de la durée nécessaire à la transmission du signal de A en B, durée dont nous parlerons plus tard, la différence des longitudes obtenue ainsi est erronée. Pour remédier à cet inconvénient, on établit un chronograpbe et une pendule à chacune des deux stations, surtout si elles sont un peu éloignées. Les secondes de la pendule, tout aussi bien que les signaux des deux observateurs, sont alors inscrits sur chacun des chronographes, et la moyenne des différences de longitude obtenues aux deux stations est débarrassée de cette erreur.
Une étoile quelconque donne ainsi une détermination de longitude déjà plus approchée que celle que donnerait une autre méthode quelle qu'elle soit; et comme on peut observer autant d'étoiles qu'on le désire, la précision de la méthode n'a d'autres
bCtermination des longitudes. 4^^
limites que celles qu'impose Texactitude avec laquelle ont été déterminéi^s les erreurs instrumentales. En outre, si aux deux stations on a observé les mêmes étoiles, le résultat obtenu sera évidemment indépendant des erreurs qui peuvent exister sur les positions de ces étoiles; il reste néanmoins soumis à certaines erreurs dont nous allons parler.
Temps de la transmission, — Théoriquement les différences des longitudes données par les chronograpbcs des deux stations devraient être rigoureusement égales, mais ce fait ne se présente jamais. En effet, le courant ne se propage pas instantanément, et par suite, dans le cas au moins où les deux stations sont fort éloignées, il s*écoulera un temps petit, mais mesurable, entre le moment où un signal parti d*un lieu A situé à Test, parvient au lieu B situé à l'ouest. L'instant d'arrivée du signal enregistré en B correspondra donc à Tinstant où l'étoile était au méridien d'un certain lieu situé à l'ouest de A. La différence de longitude enregistrée en B sera donc trop petite de tout le temps nécessaire à la transmission du courant du point A au point B. Un signal parti de A mettra le même temps pour arriver en B, et l'instant où il sera enregistré en A correspondra au temps où l'étoile était au méridien d'un certain lieu situé à l'ouest de B; la différence de longitude enregistrée en A sera donc trop grande de tout le temps nécessaire à la transmission du courant. La moyenne des différences données aux deux stations par les appareils enregistreurs est débarrassée de cette erreur. Au contraire, la demi-différence de ces nombres (on retranche le résultat enregistré en B de celui obtenu en A) est égale au temps de transmission lui-même. Dans la détermination de la différence des longitudes de Seaton (Washington) et Raleigh (Caroline du Nord) faite en i853, le docteur Gould a trouvé que le retard causé par la transmission du courant dans un circuit d'environ 4^3 kilomètres était de o^,o3.
Temps d* armature, — Entre le moment où un signal donné, soit par la pendule, soit par l'observateur, parvient à l'électroaimant et celui où le stylet du chronographe presse sur le papier, il s'écoule un petit intervalle de temps, dit temps tVarmatiire, Nous n'en avons pas tenu compte dans ce qui précède, supposant
4^4 A.STRONOMIS SPHÉRIQUE.
que ce temps était le même pour les deux observations de la mémo étoile, hypothèse fort probable, si les signaux de la pendule n^ont pas changé, et si ceux des deux observateurs sont donnés de la même manière.
Équation personnelle, — Outre les erreurs que peut produire dans la différence des longitudes Tinexacle détermination des erreurs instrumentales, la rapidité relative avec laquelle les observateurs perçoivent une impression donnée, ou leur équation per^ sonnelle, intervient encore dans le résultat. D'ailleurs, cette erreur n'est pas particulière à la méthode actuelle, mais se présente dans toutes les autres. Dans la méthode chronographique. Terreur dépend du temps qui s*écoule ent^e le moment où une impression vient frapper la rétine de l'observateur et celui où il en a conscience, et par suite presse la clef. Si cet intervalle est le même pour les deux observateurs, la différence de longitude n'en sera pas modifiée; mais s'il diffère de l'un à l'autre, c'est-à-dire s'il existe entre ces deux observateurs une différence d'é([uation personnelle, la différence de longitude déterminée par cette méthode est en erreur de toute la grandeur de cette quantité. Cependant l'erreur qui provient de cette source sera complètement éliminée (en admettant que l'équation personnelle soit invariable), si les observateurs font une seconde fois la même détermination après avoir réciproquement changé de station. Les deux déterminations de longitude diffèrent du double de Téquation personnelle, et leur moyenne en est indépendante.
Les deux observateurs peuvent encore déterminer d'une autre manière la valeur de leur équation personnelle. En un même lieu ils observent tous deux avec un même instrument dont le réticule est muni de plusieurs fils. L'un d'eux observe d'abord à un nombre déterminé de fils, et l'autre avec les fils qui restent ; on réduit ensuite au fil moyen de l'instrument chacun des temps observés (t. II, n° 20) ; les résultats trouvés par les deux observateurs avec différentes étoiles présentent entre eux une différence constante précisément égale à leur équation personnelle; puis on recommencera ces opérations, le premier opérateur se servant des derniers fils et le second des premiers. Les temps observés réduits
DËTERMINATIOM DES LONGITUDES. ^l5
au fil moyen présenteront une différence presque égale à la première, mais en sens opposé. La moyenne de toutes res différences donne une valeur de Téquation personnelle complètement indépendante des erreurs dont peuvent être entachées les valeurs employées pour les distances de fils dans la réduction au fil moyen (*). Il faut ajouter à la différence de longitude observée la valeur de l'équation personnelle ainsi déterminée. Par exemple, l'observateur placé à Vest observe- t-il un phénomène plus tard que celui placé à l'ouest, de la quantité a; l'équation personnelle est alors E — 0 = -f- a ; la différence de longitude sera dans ce cas trop petite, et il faudra lui ajouter la quantité a.
Second procédé, — Quand les deux stations sont très-éloignées, les déperditions par les supports et par Tair peuvent produire dans le courant des interruption^ fréquentes, et un grand nombre d'observations peuvent être perdues; de plus on ne dispose souvent d'un fil télégraphique que pendant très-peu de temps de chaque soirée. On emploie alors un procédé différent de celui que nous avons indiqué, il est fondé sûr notre première définition de la différence des longitudes de deux lieux. En chaque station on détermine Theure de la pendule locale par des observations astronomiques, et, à un moment donné, on fait, au moyen du chronographe, une comparaison électrique des deux pendules. Dans chacune des deux stations le courant d'une pile locale traverse à la fois une pendule et un chronographe, et on rie fait communiquer le courant principal avec les deux courants locaux que pendant un temps très-court, au commencement et à la fin, par exemple, d'une série d'observations; et, par suite, à ces deux époques seules, les secondes dos deux pendules seront enregistrées sur le chronographe de chaque station. A chacune de ces stations, après avoir
{*) On peut encore opérer comme il suit: les deux observoteurs, placés soit sur un môme méridien, soit en deux lieux voisins dont les méridiens sont distants d^une quantité connue et déterminée directement en mètres^ observent chacun avic son instrument les mêiiies étoiles à la même pendule: la difT^rence des résultats obtenus donne la vuleiir de Tcqualion personnelle {Annales de l'Obseivatoire impérial^ t. VIII, p. SqS).
ouvert le circuit pendant quelques instants, on le fermera au commencement d*une minute de façon à connaître les temps de chaque pendule qui correspondent aux signes de seconde marqués sur les chronographes : chacune des secondes^ ainsi notée, donnera une comparaison des deux pendules, et il faudra prendre la moyenne de toutes ces comparaisons. Quant aux différences entre les états relatifs des deux pendules obtenus aux deux stations, elles donnent le double du temps nécessaire au courant pour passer d*une station à Tautre, et on peut de la sorte déterminer cet intervalle avec une grande exactitude. Dans la pratique un petit nombre de comparaisons suffiront, car l'exactitude d*une comparaison quelconque est ordinairement équivalente à celle avec laquelle on connaît Tétat de la pendule. Ainsi on n'aura certainement besoin de faire passer ces signaux de pendule que pendant quelques minutes, et la partie essentiellement télégraphique de l'opération sera limitée à ce petit intervalle de temps au commencement et à la un de la série d'observations. Après avoir fait les comparaisons de pendules, on intercalera, à chaque observatoire, la clef dans le courant local, et, au moyen d^observations astronomiques qu'il enregistrera sur son chronographe, chaque observateur déterminera Télat de sa pendule par rapport au temps sidéral. Ces corrections, appliquées avec un signe convenable aux résultats des comparaisons des deux pendules, permettront de trouver la différence des longitudes. La valeur ainsi obtenue sera nécessairement soumise aux erreurs dont nous avons parlé plus haut, et devra en être corrigée; mais en observant les mêmes étoiles aux deux stations, les différences de longitude obtenues seront indépendantes des erreurs qui peuvent affecter leurs ascensions droites.
La comparaison de ces deux procédés donne lieu à quelques remarques. Le premier donne la marche de la pendule d'une façon continue, et par suite il ne faut interpoler cette marche que pour un intervalle de temps égal à la différence de longitude des deux lieux, intervalle qui sera généralement beaucoup moindre que la durée d'une série d'observations. Dans le dernier, au contraire, l'état de la pendule n'étant donné qu'au commencement et à la lin de la série, il faut, pendant tout cet inter-
DÉTERMINATION DBS LONGITUDES. 4^7
valle, supposer à la marche de la pendule une variation uniforme; à cet égard, ce procédé est donc inférieur au premier.
Exemple. — Le 29 juin 1861, on a fait une déterminarîon de longitude entre TObservatoire d'Ann-Arbor, dans TÉtatdu Michigan, et celui de Clinton^ dans l-État de New- York, et cent vingt-six comparaisons inscrites sur les deux chronographes ont donné :
Temps Temps
do la pendule de la pendule
de Clinton. d'Ann-Arbor.
A Ann-Arbor. ... 1 3^ 5ç)"'3*, o = i9^58"29*, 56, A Clinton 13.59. 3 ,0 = ï9'58.29 ,4o;
la pendule de Clinton était réglée sur le temps moyen , et sa réduction au temps sidéral de Clinton était, pour Tépoque donnée, + 6^ 33" 46% 07, tandis que la correction de la pendule de Clinton, par rapport au temps sidéral, était -h i"*i*,87. En se reportant au chronographe d'Ann-Aibor, on voit que
Temps sidéral Temps sidéral
de Clinton. d'*Ânn-Arbor.
2o^32"49''07 = i9^59"3i%43; de même le chronographe de Clinton donne
Temps sidéral Temps sidéral
de Clinton. d'Ann-Arhor.
La différence de longitude est donc, d'après les lectures faites à Ann-Arbor, 33°*i7%64, et à Clinton, 37*"i7%8o ou, en moyenne, 33"* 17*, 72.
Dans ce cas, Téquation personnelle était P — B = 4- 0% o4, et comme P était l'observateur placé à Test, la différence de longitude corrigée était
{*) Le D*^ Veters observait à Clinton, et TAuteur de cet ouvrage à Ann- Arbor.
Bemarque. — La Tn<HhodA chronographiqne a ^té surtont empinyéd en Ainériquepar le 17. S. Coaf/Stfiv/^:^; son principe a élé indiqué par G. Walkcr et W. Bond, mais le premier instrument qui ait pu réellement servir à Penregistrcmcnt (les observations est dû ù Mitchcl de Cincinnati. Celte méthode a étc ensuite développée et perfectionnée par le ï^^ Gould.
Consulter sur ce sujet :
Report ofthe superintendant qf ihe U. S. Const Sun^ty, for i856 et 18.57;
FôRSTEit et Peters, Différence de longitude entre Berlin et Allona;
Plantauour el Hirsch, Différence de longitude entre Genève et Neufchatel;
fiauiiNs et AuWERS, Différenee de longitude entre Leipzig et Altona.
Remakque. ' — Dans le grand travail entrepris depuis l'année 1854 P^'' rObservatoire impérial de Paris pour la révision de la méridienne de France, la méthode télégra|)liique a subi de nombreux perfectionnements. En i856, dans la détermination de la longitude de Bourges, on avait eu recours à l'enregistrement chimique des observations; plus tard, en 1861, dans la détermination de la longitude du Havre (*), on supprima Tenregistrement, qui exige un transport et un maniement d^appareils étrangers aux observations astronomiques pures, pour recourir à la comparaison électri(]ue directe des pendules des deux stations. Enfin, en 1862, dans la détermination des longitudes du Havre et de Dunkerque, on supprima même cette comparaison, et l'on, réduisit le procédé à une extrême simplicité : les deux observateurs observent en réalité à la même pendule.
A chacune des deux stations on fait battre par la même pendule sidérale deux relais très-sensibles, et on observe sur le battement de ces relais comme sur le battement d'une pendule. Les relais fournissent aux deux stations Teslime de la fraction de seconde; reste à compter les battements et à les rattachera une origine commune. Chaque observateur est muni d'une pendule servant de compteur^ dont il met et entretient les battements d'accord avec ceux de son relais. En outre, au commencement de chaque série d'observations, l'un des observateurs envoie à l'autre un signal
{*) Détermination de la longitude de Bourges en i856, de celle du Bavre en 18Ô1 {Annales de l'Observatoire^ t. VUI, p. i et suiv.).
électrique au moment où son compteur et son relais battent une seconde ronde; l'autre observateur reçoit ce sij^rlal sensiblement en coïncidence avec une seconde de son relais et de son compteur. Chacun d'eux marque la seconde ronde donnée ou reçue, et la différence donne l'avance de Tun des cadrans sur l'autre, de telle sorte qu'en ajoutant ou retranchant cette différence aux passages observés d'un côté, on obtienne le même résultat que si l'on avait eu sous les yeux le cadran de la pendule employée dans l'autre station.
En faisant battre deux Celais à une grande distance l'un de l'autre et par l'intermédiaire d'un long circuil, il doit se manifester quelque différence dans les temps indiqués aux deux extrémités de la lifçne. On l'éliminera en faisant battre alternativement la seconde par les deux stations. D'ailleurs, par des expériences directes, M. Le Verrier s'est assuré qu'un circuit d'une longueur de 800 kilomètres n'apportait qu'un retard de o*,o3. L'erreur provenant de ce retard pourra donc être négligée toutes les fois que les deux stations seront peu éloignées.
Il y ^ d'ailleurs deux moyens de diriger les observations : 1° On peut observer les mêmes étoiles aux deux stations, et des lors la différence de leurs ascensions droites, corrigée de la marche de la pendule, supposée uniforme pendant l'intervalle des deux observations de la même étoile^ sera indépendante des positions adoptées pour ces étoiles ;
2° Il est possible d'éliminer complètement l'erreur provenant de la marche de la pendule : pour cela, on dresse à l'avance une liste d'étoiles, dites étoiles de longitude, qu'on observe un grand nombre de fois dans une des stations, et dont les positions peuvent être par suite considérées comme connues avec exactitude. Chacun des observateurs observe alors des étoiles quelconciues prises dans cette liste, en ayant soin toutefois de diriger chaque série d'observations de manière que l'époque moyenne des pas* sages observés dans les deux stations corresponde sensiblement au même instant physique; il suffit pour cela qu'à la station la plus orientale chaque série commence à une époque qui soit en retard, sur celle où commence la même série à l'autre station, d'un intervalle de temps égal à la différence de longitude des deux
43o ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
Stations, différence que l'on connaît toujours d'un façon appro* chée (*).
i 30. Détermination des différences de longitude par les éclipses ; méthode ancienne. — On peut encore, pour déterminer la différence en longîludes des deux lieux, se servir de l'observation de certains phénomènes célestes qui, n'ayant pas lieu simultanément pour tous les points de la Terre, peuvent sans erreur sensible être ramenés à un seul et même instant. Si les observations sur lesquelles cette méthode repose peuvent être faites avec une grande exactitude, elle offrira des avantages réels, car les phénomènes observés étant visibles à la fois d'une grande partie de la Terre pourront servir à déterminer les différences de longitude de deux lieux très- éloignés. Ces phénomènes sont les occultations des corps célestes les uns par les autres; ainsi, les occultations des étoiles et des planètes par la Lune, les éclipses de Soleil ei les passages de Mercure et de Vénus sur le disque du Soleil. Tous ces astres, sauf les étoiles fixes, ayant une parallaxe (celle de la Lune atteint même une valeur considérable), on les voit au même instant, de différents points de la surface de la Terre, en des points différents du ciel; les occultations des astres ou les contacts de leurs bords ne seront donc pas aperçus au même instant en des lieux différents. Aussi faudra t-il appliquer à chaque observation une correction due à la parallaxe, pour avoir l'instant où l'occultation aurait eu lieu si l'astre n'avait pas eu de parallaxe sensible, ou plutôt si le phénomène avait été observé du centre de la Terre.
On calcule d'abord les parallaxes en longitude et en latitude, et les diamètres apparents des deux astres pour l'époque de l'entrée et de la sortie (ou la parallaxe en ascension droite et en déclinaison, si l'on préfère employer ce système de coordonnées). Le triangle formé par le pôle de Técliptique et les centres des deux astres, dans lequelles trois côtés sont connus (savoir : les complé-
(**) Consulter Annales de l'Observatoire impérial, t. VIII :
Détermination de la longitude du Havre en 1863, par M. Le Verrier (p. 60
et 8uiv.);
Détermination de la longitude de Dunkerque en 1862, par M. Y von Villar-
ceau (p. 209 et suiv.).
inents des latitudes apparentes des deux astres, et la somme ou la différence de leurs demî*diamèlres)^ permet alors de trouver l'angle au pôle, c'est-à-dire la différence des longitudes apparentes des deux astres pour Tépoque de Tobservalion; en la corrigeant de la parallaxe en longitude, on a pour la même époque la différence de longitude des deux astres vus du centre de la Terre. Connaissant la valeur de cet angle et la vitesse relative des deux astres, on obtient Tépoque de la conjonction vraie, c'est-à-dire l'époque pourlequelle les deux astres, vus du centre delà Terre, auraient la même longitude, époque exprimée en temps du lieu de l'observation. Si, en un autre lieu, on a observé une occultation des deux astres ou un contact de leurs bords, on a de la même manière l'époque de la conjonction vraie exprimée en temps de ce lieu. La différence de ces deux époques est la différence des longitudes géographiques des deux lieux.
S'il était possible d'observer avec une exactitude parfaite aux deux lieux les époques du contact, on aurait de cette manière une détermination très-exacte delà longitude, à la condition encore que les données employées pour la réduction au centre de la Terre fussent exactes elles-mêmes. Mais ces quantités comportent toujours de petites erreurs, il faudra donc déterminer leur influence sur le résultat et chercher à éliminer ces erreurs par une. combinaison convenable des observations.
Telle est la méthode la plus ancienne, celle dont on s'est servi d'abord pour déduire des observations d'éclipsés la différence des longitudes de deux lieux. On emploie à présent une méthode un peu différente. Au lieu de prendre pour point de départ l'équation qui exprime les conditions du contact des bords des deux astres, et qui ne contient que les coordonnées géocentriques, on développe une autre équation dont l'inconnue est l'époque de la conjonction, ou, puisqu'on n'a nul besoin de la connaître, dont l'inconnue est la différence de longitude elle-même.
131. Méthode de Bessel ; exemple du calcul d'une éclipse de Soleil, — Les bords de deux astres paraissent en contact quand l'œil se trouve sur l'une ou l'autre des deux surHtces enveloppes de leurs plans tangents communs. Puisque les corps célestes peu-
vent être considères comme sphériques (à l'exception de Jupiter et de Saturne), les surfaces enveloppes sont toujours celles de deux cônes drpits, dont Vun a son sommet placé entre les centres des deux astres, et Tautre en dehors et au delà du plus petit ; le contact sera extérieur ou iniérieur, suivant que l'œil se trouvera sur le premier ou le second de ces deux cônes. Dans le premier cas, le plan tangent commun, passant par FœU de l'observateur, laisse les deux astres de chaque côté du plan; dans le second, il les laisse du même côté.
Équation fondamentale de la théorie des éclipses, — L'équation d'un cône droit rapporté à un système d'axes rectangulaires dont l'un coïncide avec Taxe du cône est
j;2 l j2 = (e — z)' tang^y,
dans laquelle on représente par
c la distance du sommet du cône au plan des xy^ f l'angle que fait Taxe du cône avec la génératrice.
Nous chercherons d'abord Téqualion du cône qui enveloppe les deux astres, en le rapportant à un système d'axes dont l'un soit la ligne qui joint leurs centres. En remplaçant ensuite dans cette équation les coordonnées variables x^ j, z par les coordonnées d'un lieu de la Terre rapporté à ces mêmes axes, nous obtiendrons l'équation fondamentale de la théorie des éclipses. Dans ce but, il faut d'abord déterminer la position de la droite qui joint les centres des deux astres.
Soient :
a et d l'ascension droite et la déclinaison du point où la ligne des centres, prolongée du côté de l'astre le plus éloigné, rencontre la sphère céleste,
a, $ et A les coordonnées géocentriques et la distance au centre de la Terre de l'astre le plus rapproché,
a!, S' et A' les coordonnées géocentriques et la distance de l'astre le plus éloigné,
G la distance des centres des deux astres.
on a les équations
G cosd cos fl = a' cos^' ces a' — A cos S cosa ,
Gcos<isina r= a'cos^' sîna' — Acos^ sina,
G sinrf = A' sin^'— Asin^, •ou
Gcos£?cos(<z — a') = A'cos^' — Acos^cos(a — a'),
Gcos^sîn(a — a')=: — Acos^sin(a — a'),
GsinJ= A'sin^' — Asin^.
Prenons pour unité le rayon équatorial de la Terre, et désignons parTT la parallaxe horizontale équatoriale de l'astre le pius voisin, •et par iz' la parallaxe horizontale éijuatonale moyenne de Tastre le plus éloigné (qu^on supposera être le Soleil); si, comme dans les Tables astronomiques^ A et A' sont rapportés au demigrand axe de Porbite terrestre, nous devrons, dans les formules
précédentes, remplacer A' par - — y et A par —. — ? de sorte
siutt SIOTT
qu'elles deviendront
GsiuTT cos<icos (a — a') = A' -: — : cos^' — cos^ cos (a — a'),
^ siutt'
Gsin7rcos£rsin(a — a') = — cos5 sin{a — a') ,
GsiuTT sine? = A' -: — 7 sin^' — sin^.
siutt'
On déduit aussi des équations qui précèdent
GsinTT cosd= A' -: — ; cos^ cos (a — a') — cos^cosfa — a),
sinTt
et il en résulte
sinw' cos^ , , ,.
,, A'sinir cosd ^ ' tangfa— a) = : — ; 9
I — -77-: ïjcosfa — a')
De,i« A'smTT coso' ^
on trouverait de même
A sinir ^ '
lang(fl?— ^') = —
I — -7-: — cos 1$ — 5') I. 28
434 ASTRONOMIE 8PHËX1QUE.
Pour les éclipses de Soleil, -: — est UDe petite quantité; i^tieni doDc, d'après la formule (12) du n" 11 , 1' , sim/ eosJ ,
f cosd'
on aurait aussi
,„i sinir'
Imaginons un système d'axes r^c langui aires dont l'origine soit au centre de la Terre, l'axe des j étant dirigé vers le pôle Hord de l'équaieur, les axes des z et des -c étant dans ce plan, et passant le premier par le point dont l'ascension droite est a, le second par le point d'ascension droite 90°+ a; par rapport à ces axes, les coordonnées de l'astre le plus voisin seront
si l'on fait maintenant tourner les axes des j- et desi dans le plan
des^z d'un angle —'/(*), de sorte que le nouvel axe des z soit
igé vers le poini dont l'ascension droite et la déclinaison sont a
d, les coordonnées de l'astre le plus proche rapportées à ce
uveau système d'axes auront pour expitissious
sin5sinrf-i- cos5 cosrf ros(a — a)
sin5 cosrf — cosS sinrf cos(a
;*} L'«nfl[eJiloilèlnTri»ré(!alif, »
OU encore
___ cos [§ — d) cos^l (a — a) — cos (S + d)sm^(oL — n)
SIOTT
,^, . sin(^ — rf)cosH(a — û)-l-sin(^+rf)sin4(a — «)
' sinir
cos^ sinfa — a) X'=. ^ •
SiOTT
L'axe des z est mainlenant parallèle à la ligne qui joint les centres des deux astres; transportons les axes parallèlement à euxmêmes, de manière à faire coïncider ces deux lignes, x ely représenteront par rapport à ces nouveaux axes les coordonnées du centre de la Terre prises en signe contraire.
D'autre part, rapportées à un système d*axes parallèles à ces derniers et passant par le centre de la Terre, les coordonnées du point de la surface de la Terre défini par la latitude géocentrique f', le temps sidéral e et la distance au centre p ont pour expressions
(Ç = p[sinr/siny'-h coscf cos<p'cos(0 — «)], 7î =r p[cosf/sin<p' — sin </ cos <p' cos (€> — «)], ( Ç ir= pcosç'sin(0 — a).
Par rapport au troisième sysième d'axes les coordonnées de ce même lieu sont \ — Xy n — jr et Ç; la condition à laquelle ces coordonnées doivent satisfaire pour que ce lieu soit situé sur la surface du cône circonscrit aux deux astresest donnée parTéquation
(.r - ?)^-h (r — n)'=^ (c - K)' tangy,
où il faudra exprimer c et / en fonction des grandeurs qui se rapportent au centre de la Terre.
On trouve l'angle /au moyen de l'équation
r'dz/-
où r et r' sont les demi-diamètres des deux astres, et où l'on prend
le signe -h, pour les contacts extérieurs, le signe — , pour les contacts intérieurs.
436 ASTRONOMIE 8PHËRTQUE.
Puisque G est exprimé en parties du rayon équatorlal de la Terre, ret r' doivent être rapportés à la même unité. Désignons par K le demi-diamctre de la Lune exprimé en parties du rayon équatorial de la Terre, et par H le demi-diamètre apparent du Soleil pour une distance égale au demi -grand axe de Torbite terrestre, et remarquons que
sînH
nous aurons
smTT
sin/= TT- : — 7 (sinH dz K sinTr'), GsinTr' ^
ou
(E) sin/==-î-7(sinHd=Ksin7rM;
mais on a d'après Encke
logsin7r'= 5, 6186145,
de plus, d'après les Tables de la Lune de Burkhardt, K = o, 2726, et, d'après Bessel, H = i5'59'',788; on a donc
log (sinH-HK sinir') = 3,6688o4i, pour les contacts extérieurs, log (sinH^— Ksinir') = 3,6666908, pour Tes contacts intérieurs.
Il nous reste encore à exprimer la quantitité c, ou la distance du sommet du cône au plan des xjr. On a, comme on le voit aisément,
^ ^ Sin/
en prenant
le signe -1-, pour les contacts extérieurs, le signe —, pour les contacts intérieurs.
Désignons maintenant par
/ la grandeur c tang/, c'est-à-dire le rayon de la trace du
cône sur le plan des xy^ \ la grandeur tang/, c'est-à-dire la tangente de Tangle au
sommet du cône.
* nous aurons pour équation fondamentale des éclipses, la relation
qui exprime que le point de la surface de la Terre déterminé par ^', 0 et p se trouve sur la surface du cône enveloppant les deux astres.
Puisque la quantité / est essentiellement positive, il faudra prendre "k négatif, si Téqualion (F) donne pour c une valeur négative.
A Taide des Tables du Soleil et de la Lune, on cherchera d'après les formules (C) et (D), les quantités qui servent au calcul de x, ^ et z, Ç, Y} et Ç; toutefois, puisque ces Tables sont toujours affectées de petite^ erreurs, les valeurs calculées pour j:,^, etc., différeront un peu des valeurs véritables. Si donc Ax, ày et A/ sont les corrections qu'il faut apporter aux valeurs calculées de je,jr et l pour avoir les valeurs véritables, Tèquation précédente deviendra évidemment (*)
(x -h Ao: — ?)»-^ (^4- Ajr— riY= (/ H- M — H)'.
tf Calcul de la longitude. — Actuellement, supposons que les
valeurs a, ^, ir, a', $\ tz' tirées des Tables ou des Éphémérides astronomiques se rapportent au temps T du premier méridien taî* adopté; soit, en temps de ce premier méridien, T 4- T' l'heure
)jt: qui correspond à l'observation d'une phase de Téclipse, soient
aussi x^ et y^^ x' et y' les valeurs de a? et j et de leurs dérivées au temps T; nous aurons
De même les grandeurs Ç, >] et Ç seraient données par la somme de deux termes analogues. Mais puisque ces grandeurs varient toujours très-lentement et que, dans la pratique, on connaît déjà une valeur approchée de la différence de longitude, et par suite du temps du premier méridien correspondant au temps de Tob-
lD$^ (*) On a négligé ici les erreurs de a, <^et ^, car on ne peut pas les déter-
miner par les observations des éclipses.
servation; on peut considérer ces grandeurs comme étant connues pour celte époque. L'équation précédente devient donc
si X et ^variaient proportionnellement au temps, x' et/' seraient des constantes, et il suffirait de les calculer une fois pour les con* naître à un instant quelconque. En réalité, ceci n'a pas lieu; mais, comme les variations de x^ et y sont toujours très-petites par rapport aux variations de x et dejr, on peut résoudre Téquation précédente par approximations successives, et arriver ainsi rapidement aru résultat.
Posons
y'i -\- x'V=i b.y\ et
Im sinM = x^ — Ç, n sinN = x', m cosM = y^ — n , n cosN =■ y\
réquation précédente pourra s'écrire
(L-fA/)>=[/wcos(M — N)-H/î(T'-4-0?-h[/wsin(M — N) — /!/']%
et en négligeant les carrés de V et de A/, on a pour trouver T'-h ', réquation du second degré
(T'-f. i)=H- 2 ~ (T'+O cos(M — N)
L^— m" sin»(M — N) m^ cos»(M — N)
-H2 — l'sin M — N-f-2— A^-
Résolvons celle équation par rapport à T' + ,i, en remarquant que
^x -f- A J? = ya: -f-
àx
«t en posant
(H) Lsin^p r=/wsin(M — N),
nous aurons
r= ~ - cos(M ~ N) qz —--*:- /q:^'lang>p rp- sec4»,
ou, en exceptant le cas où ^ serait très-petit^
T'= — — ^-- ^ — i ZÂZ i' tang J; qz — séc Ji.
n sin ip ^^ ^ ^^ n ^
Pour l'entrée, ou en d'autres termes pour le commencement de réclipse ou d'une phase quelconque, T' aura une valeur positive plus petite, ou une valeur négative plus grande qu'à Tépoque de la sortie ou de la fin; par conséquent si Ton prend toujours l'angle ^ dans le premier ou le quatrième quadrant, il faudra choisir le signe supérieur pour l'entrée, et le signe inférieur pour la sortie, comme on le voit aisément à l'aide de la première forme de l'équation en T'; si l'on prend, au contraire, l'angle ^l' dans le premier ou le quatrième quadrant pour l'entrée, et dans le second ou le troisième pour la sortie, on aura dans les deux cas
/?îsin(M~N+4^) , . A/ , ,
T'= ' — ^-j ^ — I — f ' tangJ; sécJ/,
n sm^I* ^^ n ^
ou
(J) T'=--cos(M— N) -ïi^ -/-i'iang^.- -séçf n n n
Dans le cas d'une éclipse annulaire et pour le contact intérieur, la sortie a lieu avant l'entrée; il faut donc, à l'inverse de ce qu'on a fait tout à l'heure, prendre, pour l'entrée, ^ dans le second ou le troisième quadrant, et, pour la sortie, le prendre dans le premier ou le quatrième.
Quant à Téquation (J) on la résout par approximations successives. Dans ce but on calcule les valeurs de x, j, z, a^ d, gy i çt > à l'aide des formules (A), (B), (C), (E), (F) pour plusieurs
44^' ASTRONOMIE SPHÉRIQCE.
heures successives, de sorte que, à Taide des formules d'interpolation^ on puisse trouver pour chaque instant les valeurs de *•> y* et de leurs dérivées; on adopte ensuite une valeur de T, aussi exacte que le permet la connaissance approchée de la différence de longitude, on interpole pour celte époque les {grandeurs x^jj^,, a/ et y' y et on trouve à l'aide des formules (D), (G), (H) et (J) une valeur plus approchée de T'. Avec la valeur T+T^ on recommence, s'il est nécessaire, le calcul précédent.
Représentons par T la valeur adoptée dans la dernière approximation, et par T' la correction trouvée, en sorte que
où / est le temps donné par l'observation, «> la différence, prise positivement à l'est, des longitudes du lieu d'observation et du premier méridien, c'est-à-dire du méridien dont le temps a servi de base au calcul' des grandeurs x, /, etc., nous avons
« = f — T H cos(M — N ) H cosTp
M -h / -h V tang>p H séci{»,
ou d'après la formule (H)
, V „ /w sîn(M— N^-^^) . , . A/
^ n sin>p ^^ n ^
Les valeurs de œ' et y ont été trouvées en prenant l'heure de temps moyen comme unité de temps. La formule précédente suppose donc w rapporté à cette même unité. Or /, temps d'observation, sera donné en secondes, et pourra n'être pas un temps moyen; pour plus de simplicité, nous supposerons que T est donné en secondes du même temps que t\ dàs lors si nous voulons obtenir la différence des longitudes en secondes du temps d'observation, il faudra multiplier tout le second membre excepté / — T, par le nombre s de secondes de temps moyen contenues dans une heure de cette espèce de temps, de telle
BÉTERMINiiTION DES LONGITUDES PAR LES fiCLIPSRS. ^l
sorte que la formule précédente deviendra
/ ^ m sin(M — N4-4*)
sin^p -H {is -h i's tangip} -^ s — sécip.
L*cquation (K) ne donne pas la différence des longitudes du lieu de Tobservation et du premier méridien, mais plutôt une relation entre cette différence et les erreurs des éléments du calcul de réduction. Mais si en d'autres lieux on a observé la même éclipse, on a pour chacun d^eux autant d'équations analogues qu'on a observé de phases de Téclipse. Par la combinaison de toutes les équations, on élimine ensuite, comme on le montrera plus tard^ les erreurs provenant d'un ou plusieurs éléments du calcul, et de cette manière on rend le résultat aussi indépendant que possible des erreurs des Tables.
Il faut encore développer les quantités / et i' déterminées par
les équations
de*
ou
ni = sinNA^H- cosNA^,
/i/'= sinNA^- — cosN àx.
Les quantités x et jr dépendent de a — «, S — délit. Considérons-les comme inexactes, nous aurons
Ax = A A (a — tf) -4- B A(^ — ^) -f- C Att, ày z= A'A(a — a) + B'A(^ — d) -+- C'Att,
où A, B, C sont les dérivées de x par rapport à a — a/ S — d et ir, et A', B', C les dérivées dej-y par rapport aux mêmes grandeurs. Mais puisque A(a — a), A(^ — d) et Att sont toujours de petites quantités, on peut, dans Texpression des dérivées, négliger les termes où sin{a — a) et sin(^ — d) entrent comme facteurs, et y remplacer cos (a — a) et cos (^ — d) par l'unité.
44^ ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
On obtient ainsi
cos^ , , cosS
A = H — : — cosfa — a)=z — — 9 siHTT sinir
u sin^
B =: : — smfa — a) = o,
sinTT ^ '
cos^sin(a — a) cosir x
sinV tangTT
.- cos^sinâf sin (a — a) A'=: H : ^^ ' = O,
sinTT
g,^cos(^— ^/) I
smTT sinir
tangTT
comme i et i', et, par suite, A(a — a), A(^ — d) et Att sont
toujours exprimées en parties du rayon, il faudra, pour avoir
en secondes les erreurs des éléments, diviser les dérivées par
!io6265. Posons
206265./1 sinTT '
nous aurons
w=: + ^sinNcos^ A{a — a) -f- A cosN à{S — d) — // cosTT Att (jf sinN -h j cosN) ,
i's= — h cosN cos5 A(oL — a}-h h sinN A('1 — d) + ^ cosTT A7r(j?cosN — jsinN),
ou, en multipliant la première équation par cos^, la seconde par sinij;, et ajoutant,
(w -f- r 5 tangrp ). —7—
=:sin(N — i];)cos(î A (a — a) -f-cos(N — ^) à{$^d) — cosir [j?sin(N — '^)-!-/cos(N — ip)] Air,
il en résulte
« Mn(M-N-HO
tù = t TH s ;
n Sln^p
.sinrN — ^) .^, . , cosfN — •«1') . , ^ ,v
COSij* COSrp ^
.206265 . , . ra?sin(N — -J/) H- rcos(N— •»[/)'
Enfin, en posant
, , ra?sin(N — ^^)^-JCOs(N— •J;)'!^
L cos^/ J
fA = 4- sinNcos^ A (a — a) H-cosN A((J — d)^
V = — cosNcos^ A(a — a) -t- sinN A(^ — //),
a = 206 265 sin TT àlf
n = C0S7r Att,
xsm(N — -^p) 4-jcos(N — ^) E = j >
on obtient en définitive •
m sin(M — N-h4») (M) { " /î sin4»
Ap-t- Av tang^l^ + h(T séc^ — /tEû.
Chaque observation d^une phase d'une éclipse donnera une équation analogue ; et puisque chacune d^elles contient cinq inconnues, il suffira de cinq de ces équations pour en trouver les valeurs. Dans la pratique , on ne pourra pas déterminer a et n, à moins que les observations n'aient été faites en des lieux très-éloignés les uns des autres. Au contraire, le calcul des coefficients montrera toujours l'influence que peuvent avoir sur le résultat les erreurs dont sont entachés / et tt. Il sera également toujours possible de débarrasser la différence de longitude des erreurs de i». et v, mais on ne pourradéterminer la dernière de ces quantités que si Ton connaît les différences en longitude du lieu et du premier méridien. Si p et V sont connues, les erreurs des ascensions droites et des déclinaisons données par les Tables s'obtiendront au moyen
444 ASTRONOMIE BPBfiSIQUB.
des équations
GQsd à{a — a) ^fisinN — vcosN, à{a — (/] = ft cosN + V sinN.
Tableau lies formules. — Les foirnules (|ui servent à la déterminalion des iunjjituili-s par l'observation d'une éclipse de Soleil sont réunies dans te Tableau suivant :
sinw' cos^ .
A'sinir cosf
A'sinir^
sin,r' A' sioir
où z, J etic sont l'ascension droite, la déclinaison et la parallaxe horizontale éfjiialoriaie de la Lune; a', a, à' et v' l'ascensioi) droite, h déclinaison, la distancç et la parallaxe horizontale équatoriale moyenne du Soleil;
Sinir
sin(^ — tf)cos';{a — fl)+sin(J + rf)sin'l(a — a)
>s(3 — rf)fos'i[j — a) — ctw(3 + rf)sin'7(g — a)^
ig(sinH + K.sinit') =3,668So4l poor U* conlac» eiUriBura, g(sinQ — K.sinit') = 3,6666903 Pour In coaiatu ialérlenni
dAterhination des longitudes par les éclipses. 44^ en prenant
le signe -f-, pour les contacts extérieurs, le signe — , pour les contacts intérieurs; (5) tang/=^, / = a,
où X a toujours le même signe que c ;
IÇ=:pcoSf'sîn(0 — a) y n = p[cos<f sin^' — sin^cos<p'cos(6 — a)], Ç = p[sin€f sin^' -+• coscfcosf' cos(0 — «)],
où f' et p sont la latitude géocentrique du lieu et sa distance au centre de la Terre, B le temps sidéral observe de Tentrée ou de la sortie.
Si de plus on a, pour le temps T, les valeurs
on calculera
lmsinM = aro — Ç, /isinNmj/ (*),
(7) <//icosM = j, — >], /icosN=y, ( /~XÇ=:L;
(8) Lsini|* =:/?isin(M — N),
en prenant ^, dans le premier ou le quatrième quadrant pour rentrée, dans le second ou le troisième pour la sortie; et
/wsîn(M— N^-^^)
{*) Les Taleiirs (Ia 19 et delogn étant presque constantes, il conviendra, si Ton a un grand nombre dVbser^iitions à réduire, de les calculer d'abord pour un certain nombre d'^heures entières. On en déduira ensuite par une simple interpolation les valeurs correspondantes à uo temps donné quel* conque.
44^ ASTRONOMIE SPHËRIQUE.
On aura finalement, pour déterminer &), Téquation
(lO)
6) = f — T — T' + A(t -f- Av tangil».
OÙ
206 265 . /? sin fr
p -1- sinNcos^ A(a — «) H- cosN A(5 -
V — — cosNcos^ A(a — û) -h sinN A(^-
et par suite
cos^ A(a — a) =2 psinN — vcosN, A (5 — rf) ==picosN H-vsinN.
Exemple. — L'observation de l'éclipsé totale de Soleil du 7 juillet 184^, faite à Vienne et à Poulkowa, a donné les résultats suivants :
Contact inlérieur à l'*entrée. , Conlacl inlérieur h la sortie.
Contact extérieur à l'entrée .
Gonlact exicrieur à la sortie.
. Vienne.
]S.5l .32,0 FonLKOWA.
Temps moyen de Vienne.
Temps moyen de Vienne.
ig. 7. 3,5 Temps moyen de Poulkowa. 21 .i2.52;0 Temps moyen de Poulkowa.
Dansle Jahrhuch de Berlin, on trouve les positions suivantes de la Lune et du Soleil :
de
Berlin.
io5. 8.49,93 io5.47'4>^?3l
ioG.26.34,1 i
-+-23.22.10,35 I io6 .5o.38,49
106 53.12,3; io6.55.4(>)24 106. 58. 20, (»9 107. 0.53,91 107. 3.27,78
