HI
Contact intérieur.
Contact ex
log;
Contact eitérieur.
tériear. Cwntact intérlear
3,6626227 3,6Go5o89ii
Maintenant, pour Vienne, le temps observé du contact intérieur à rentrée était
i8'>49"^5So,
ou en temps sidéral
de plus
et, par suite, la latitude gcocentriquc
y'=48oi'8%9,
et
logp=: 1,9991952.
44^ ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
Prenons maintenant T = i8^3o™, nous obtenons, pour cette époque,
Xo==: — 0,7*27530, 7*^ = -f- 0,643 4 '3,
et, d'après les formules (6 ),
Ç= —0,654897, r, =r 4-0,635482, logÇ = 7,606857 ;
de plus, par les formules du u? 15,
x'^: -h 0,557 1 85, x'^= — o, i2ii4o, et, diaprés les formules (7), (8) et (9),
M = 2•}6oI3'54^ Iogw = 2,863 708, N = io2.i5.58, . log /? = 1 , 756 o3o,
logL=2, 077778, ç = 39*57' 10", r= — 6»4o«,85.
Puisque, dans ce cas, il n*est pas nécessaire de recommencer le calcul, on obtient, d'après la formule (10),
w = H- o**i2™44*»'^ "*" ' >7553.fA -f- 1 ,47o3.v.
De Tobservation du contact intérieur à la sortie, on déduit également, en conservant la même valeur pour T,
5 = — 0,653763, >î = -f- o,633338, logÇ = 1,612367, M = 277*46' 4o% log/ii=:2,87i874, logL= 2, 078638,
et ainsi
« = -I- 0^12^27% 26 -f- 1 ,7553.ft — o,9764.v.
Si l'on adopte pour Poulkowa la valeur
(Ï>'=^59*36'i6",8, logp = 1,99891 72,
on déduit des observations faites ^ ce lieu
tù'= i^» 8™ 26», 57 + 1 ,7559./* + o,5o64.v,
On a, par suite,
ft)' — « = + 55"*4^%4^ — o,g639.v, w' — w = -h 55. 55 ,4i + o,673o.v,
d'où et
Pour déterminer aussi Terreur pi, nous regarderons comme connue la différence de longitude entre l'une des stations et Berlin. Or la différence des longitudes de Vienne et de Berlin est
o^n'"56%4oî nous déduirons donc de la première équation relative à &>
£n outre, puisque nous avons
cos^ A(a — a) =r fxsinN — v cosN, A(5 — d) =fxco5N -h vsinN,
nous trouvons
COS^ A(a — a)=: — 2i",78, ^{$ — d)= — 3", 38.
132. Détermination des longitudes au moyen des occultations d^étoiles par la Lune. — Dans ce cas, les formules sont beaucoup plus simples. En effet, comme alors i:' = o, il vient
a = oL', d=S'.
Nous n'avons donc pas besoin de calculer les formules (i], et les
coordonnées du lieu d'observation sont indépendantes du lieu de
la Lune, car nous avons sim[ienient
g = p cos(jp' sin(0 — a'),
7i =z p [sin(p' cos(î' — cosff' sin^' cos(0 — a') ].
La troisième coordonnée ^ n*est pas employée , puisque, dans le cas actuel, /= o, et par suite X 1= o; nous avons donc un cylindre enveloppant au lieu d*un cône. Le rayon / du cercle, suivant lequel le plan des xj" rencontre ce cylindre, est égal au demidiamètre R de la Lune. Il ne sera donc pas non plus nécessaire de calculer la coordonnée z, mais seulement x et jr que donneront les relations simples
COS^sin(a — a')
SmTT
sin5 cos«î' — cos^ siniî' cosfa — a' )
sin TT
L'équation fondamentale des éclipses se transforme en la sui vante
(K -h AK)-'=: [x -f- Aj7 — Ç)2-f- (j -h Aj — ïî)%
que nous résoudrons de la même manière que précédemment. Prenons encore t — w =:T -i- T', et désignons par x^ et jTo» ^' <?t >' les valeurs de x^y et de leurs dérivées correspondantes au temps T, nous calculerons les quantités auxiliaires
msinM=^o — Ç» /2sinN = .^',
WCOsM=Jo — >3i «COsN=:j',
Ksin^(/ =: m sin (M — N),
et nous trouverons, pour déterminer w, la formule
^ m sin(M — N H-^) , ,
w = r— T-f-^y î^ v~, — -4-/iaH-Avtang'I/,
n smip
dans laquelle h, p et v ont la même signification que précédemment.
Exemple. — L'immersion et Témersion d'Aldébaran, observées à'Bilk^ ]e^g novembre i849) ont donné les résultats suivants :
Immersion. . . 8^ i5"* i2% i , temps moyen de Bilk, Émersion. ... 9. i8 . 19 ,8, temps moyen de Biik.
L^immersion de la même étoile, observée à Hambourg, a donné
8^ 33°* 47% ^> temps moyen de Hambourg.
D'après le Nautical Almanac^ la position de l'étoile était ce jour- là
a' =4»» n'aies 24 =-4-62° 49' S'^jô,"^
De plus, on a pour Bilk
«p'izr 5i°i' io",o, logp = 1 ,999 1201 ,
et pour Hambourg
(p' = 53®22'4", 2, logp = 1 ,9990624.
Enfin le Nautical Almanac donne (temps moyen de Greenwich) les positions suivantes de la Lune :
it
4 II. 9,3i
Nous trouvons donc, pour ces trois époques,
Aa?
-+-0,118741 -ho, 118656
Nous avons maintenant, pour l'immersion à Bilk,
et, par suite, '
?= — c),484oi5, >j =: H- 0,643216;
actuellement, prenons pour T la valeur T = "j^^So", nous aurons» pour cette époque,
'Tq — Ç= — o,25i346, jTo — VI =. — 0,016682,
d'où
M= + 266^12' 10", log/w= 1 ,401226,
N = H- 78.55.50 , log/l =: I ,791 194,
>p = — 6. 43. II , r=-f2">oS85.
Nous déduisons donc de Timmersion observée à Bilk Téquation suivante entre les erreurs /x, v et la différence &> de longitude entre Biik et Greenwicli :
de même Témersion observée à Bilk donnera
» = -I- 27™27», 10 + 1 ,5937. fi -h o,5336.v,
et l'immersion observée à Hambourg
nous aurons donc les deux équations
d'où Ton tire
w' — w = -i-i2"»49S8o et v = — i9",6i.
133. Prédiction d*nne éclipse. — Les équations générales relatives aux éclipses et aux occultations données dans les n^' 131 et 132 servent aussi à calculer le temps de leur arrivée en un lieu donné de la surface de la Terre. Si nous prenons pour T un
PRÉDICTION d'I3NE ÉCLIPSE. 4^^
certain temps du premier méridien voisin du milieu de Téclipse, et si nous formons pour ce temps les quantités a:©» J»» ^ et y\ réquation fondamentale des éclipses est
où Ç et >] sont les coordonnées du lieu de la Terre au temps T -I- T' de la phase cherchée de Téclipse. Par conséquent, si nous désignons par 6^ le temps sidéral correspondant au temps T, Oo+ 6>o sera le temps sidéral du lieu de longitude &>« pour lequel nous calculons Téclipse, si go et n^ sont les valeurs de g et >] au
temps 00 H- wo, et si 1 expression — ^ se rapporte au temps T,
nous avons
Ç = ?o + pcos(p'cos(0o + »o — û) T',
>îz= >îo-l-pcos<p sin(0o + Wo — a] ^ T smc^.
Posons maintenant
/wsinM= aro — So> wcosM=jo — ^0»
/i sinN = y — p cosf cos(0o H- «o — «) , j
TicosN =^' — pcosç sin(0o H- «o — «) ^ sm<f,
sini}/ = -- sin(M — N), Lo
OÙ Lq désigne la valeur de L qui correspond au temps T; nous trouverons
T'= co5(M — N)=j= --^cosxl; = /— T— Wo;
on devra prendre l'angle ^ dans le premier ou le quatrième quadrant, et employer le signe supérieur pour le commencement de
(* ) Pour une occuUation, on a L = K = o,Q7a5.
454 ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
réclipse, le signe inférieur pour la fin; en d^autres ternies, si l'on pose
cos(M — N) COSrJ^ = T,
cosfM — N) -\ — ^ cosJ/ == t',
répoque du comroencenienc de Téclipse exprimée en temps moyen du lieu est
r = T + wo -f- T et celle de la fin
/' = T -h Wo H^ t' .
Une première approximation donnera les époques des contacts à quelques minutes près, et cela suffit parfaitement aux besoins des observations. Cependant si Ton désire une valeur beaucoup plus approchée, on recommencera le calcul en se servant de T + t et de T H- t' au lieu de T.
Il est encore nécessaire de connaître les points du bord du Soleil (ou de la Lune, dans le cas de Torcultation) où se font les contacts. Si dans les expressions
nous remplaçons T' par la valeur
cos (M — N ) i^ — cosil; ,
nous trouvons
X — ?=-: — - (msinMcosNcosNsin^* — m cosMsinlS cosNsinip smip ^
qi/w sinM cosN sinN cos^]; zh m cosM sinN sinNcos\|;;,
ou bien
msin(M — N) .
siny
= zpL.sin(N=p>p),
et de même
j — >3 = qp Lo cos( N q= ^).
PRÉDICTION d'une ÉCLIPSE. 4^5
On aura donc, pour Tentrée,
j: — Ç = — Lo sin (N — 4;] = La sin (N H- i8o«— 4») , jr — >î = - L,cos(N — -p) = LoCOs(N + i8o«— i]»),
et, pour la sortie,
x — Ç == Lo sin (N -h 4<) , y — ï3 = LoCOs(N + 1^).
Nous avons vu, au n° 131, que Ç — ar et >j — y sont les coordonnées d'un lieu de laTerre situé sur la surface du cône enveloppe, par rapport à un système d'axes dans lequel Taxe des z est la ligne qnî joint les centres des deux astres, et l'axe des:r est parallèle à Téquateur ; .r — Ç et^ — n sont donc les coordonnées d'un point situé dans la direction de la ligne qui joint le lieu de la Terre au point de contact des deux astres, et dont la distance au sommet du cône est égale à la distance qui sépare ce dernier point et le lieu
de la Terre. — - — et — - — sont ainsi le sinus et le cosinus de
l'angle que l'axe des j* ou le cercle de déclinaison passant par le point Z(*) fait avec la ligne menée du point Z an point de contact. Mais puisque ce point Z est toujours voisin du centre du So-
leil, nous pouvons, sans erreur appréciable, supposer que — - —
Lo
et — sont le sinus et le cosinus de l'angle que le cercle de
déclinaison passant parle centre du Soleil fait avec la ligne menée du' centre du Soleil au point de contact. Dans une phase quelconque, cet angle est donc donné par les expressions
iO = N — •»!/ H- 180°, pour le commencement, Q' = N H- ip , pour la fin.
Pour une éclipse annulaire de Soleil il faudra prendre à l'entrée N -I- \[; pour l'angle de position correspondant à un contact intérieur, et N — 4* + 'S<^" ^ ^** sortie.
("*) Le point Z est le point dMntersection do Taxe des 5, ou de la ligne joignant les centres des deux astres avec la sphère céleste.
Tableau des formules employées dans le calcul d'une éclipse, — Ainsi, les formules qui servent au calcul d^une éclipse sont les suivantes. Pour un temps voisin du milieu de Téclipse ( le mieux sera de prendre une heure ronde j^ temps du méridien auquel conviennent les Tables du Soleil et de la Lune, on calculera les formules (i), (2), (3), (4) et (5) du n® 131, ainsi que les valeurs des dérivées a/ et /' ; on calculera ensuite les formules analogues aux formules (6) :
g<, = p cosç' sin(0o H- w, — a) y
TnQ = p[cos<isin(p' — smdcostf' cos(0o"'- «o — «)],
^0=:: p[sin^siny' + cos^cos^'cos(eo H- w* — û)], #
où 00 est le temps sidéral correspondant au temps moyen T, et 6>i la longitude du lieu comptée positivement à Test du premier méridien ; et si Ton pose
m sin M = .r« — Ç^ , wcosM=:^o — *ïo»
/2 smN = :c — pcostp cos(0o -I- wo — «) -. »
^ (0 — a) n cosN =y — p cosç' sin (00 -4- «0 — a) %md,
Lo := «0 ^^0 > et A^ étant compris entre — 90° et -f- 90°,
sin^'^— sin(M — N), Lo
T = cosfM — N) cosi}/,
Z =z cos(M — N) H cos^|/,
le temps^ moyen du lieu correspondant au commencement et ù la fin de Téclipse sera donné par les valeurs
/ =: T -+- Wo + T, pour le commencement,
j' = T -f- Wo -4- t' , pour la fin.
PRÉDICTION d'une ÉCLIPSE. 4^7
Les expressions (A) donnent les points du bord du Soleil où se font les contacts.
Tableau des formules employées dans le calcul d'une occultation. — Dans le calcul d'une occultation les formules sont beaucoup plus simples. Pour le temps T du premier méridien, temps voisin du milieu de Toccultation, on calculera
coS(^sin(a — a')
sinTT
sin $ cos^' — cos^ sin 8' cos (a — a' )
ro= : '
SIUTT
ainsi que les dérivées x' et y' ; on calculera ensuite les quantités
Çft r= p COSip' sin (00 -f- Wo — a') ,
>ij = p [siny' cos^' — coS(p' sin 5' cos(6o H- &>o — <*')]»
où 9o est le temps sidéral correspondant au temps T; et si Ton pose
m sinM = J^o — Çoi
m cos M = jo — >îo »
dB
/ï sin N = jr' — p cosç' cos (0© + wo — a' ) —n
dÇ> n cosN = j' — p coscp' sin (00 -f- wo — a') -— - sin^',
dt
sin 4»= ---sin(M — N) (où Ton a— -90'><^ip <90'')>
logK 1= 1 ,43537, m /«, «% K. , , m ,«, mT\ K. ,
T=: C0S(jV1 — N) C0S^^, T = COS (M — N) H COS^»,
{*) Ed effet, dans les dérivées précédentes on a pris l'heure pour unité de
temps, -7- est donc la Tariation de Tangle horaire en une heure moyenne; dt
le temps moyen du lieu, correspondant à Témersion ou à Timmersion, sera donné par les expressions
t = T H- «0 -f 'f » pour l'immersion , ^' = T -h »o H- t', pour l'émersion.
L'angle de position est dans ce cas l'angle qne le cercle de déclinaison passant par le centre de la Lune fait avec la droite allant de ce point au point de contact; cette droite est donc dirigée ici du centre de l'astre le plus rapproché vers le plus éloigné; il faut dans les expressions (A) changer >p en aJ; — 180'', et Ton a
Q = N — ^j< , pour l'immersion ,
Q' = N + \j; — 180*^, pour l'émersion.
Exemple. — Calculer le temps du commencement et de la fin de l'éclipsé de Soleil du 7 juillet 1842 pour Poulkowa. Prenons T = 19^, temps moyen de Berlin ; d'après le n** 131
j:'= -f- 0,55718, y = — 0,1 21 33, log> = 3,66262,
ûr = io6°55',8, <= + 22"32',8,
De plus, nous obtenons
et, puisque la différence &>o de longitude entre Poulkowa et Berlin est égale à + 1^7™ 43% il vient
