o — « = 3oo®46',9, et, par suite

Ço = — ",43361, logÇo= 1,75470,

>îo=: -4-0,69560, logLo= I ,72716.

op cet intervall'î de temps contient 3609,86 secondes sidérales: en multipliant ce nombre par i5, et en le divisant par aoôsGS aiin d^exprimer les dérivées en parties du rayon, on a bien

PRÉDICTION d'une ÉCLIPSE. 4^9

En ourre

— =: pcosf cos(©oH- wo — a) — ^ — = + 0.00702 (*),

— = pcos^ sin(0p-f- Wo — a) sina=:— - 0,04352;

on on conclut

ii en résulte

M =: 187** 44» ^ 5 logm = 1 , 05628 , N= 99- ^ »9» log/i = 1,69522,

'^= i2°i9',o; d'où

T =r — i,o57 = —1*^3'", 4, r'zrr + I ,046 = H- I .2 ,8.

Le con)meDcement et la fin deTéclipse ont donc lieu aux époques marquées par

t:=i i9^4'">3, t' ^=z 2l'*IO"»,5.

(* ) On a en effet en temps

ou en arc

d'ailleurs

et le logarithme de ce nombre exprimé en parties da rayon est i,4i7y6.

46o ASTRONOMIE SPHËBIQUB.

La- différence entre ces époques et celles qui ont été données par l'observation n'est que de 3"*. En recomnoençant le calcul avec T = i8^ et T = 20^, on aurait des valeurs déjà très-approchées des époques inconnues du commencement et de la fin de réclipse. •

Les valeurs des angles de position des points de contact pour le commencement et la fin de Téclipse sont

267** et II 1°.

Remarque, — Sor le calcul des éclipses, consulter:

Bessel. — Ueber die Derechnung der Lange aus Sternhedeckungen {Astronomische Nachrichien, n®» 151 et 152).

Bessel. — Astronomische Untersuchungen (vol. Il, p. 96 et suiv. ). Hansen. — Astronomische Nachrichten, n®' 339 à 342.

ISi-. Méthode des dislances lunaires, — On peut encore trouver les longitudes par Tobservation de la distance de la Lune à une étoile ou au Soleil. Cette méthode a l'avantage de pouvoir être employée à un moment quelconque, pourvu que la Lune soit audessus de l'horizon ; aussi est-ce la méthode dont les marins se servent habituellement.

Dans ce but, les Éphémérides contiennent les distances de la Lune au Soleil, aux planètes et aux étoiles les plus brillantes, telles qu'elles seraient vues du centre de la Terre, et calculées de trois en trois heures d'un premier méridien déterminé. Si maintenant, en un lieu quelconque, on mesure, à une époque déterminée, la distance de la Lune à l'un de ces astres, et qu'on la corrige de la réfraction et de la parallaxe, on trouvera la distance vraie que l'on aurait obtenue au même instant en se plaçant au centre de la Terre. On cherche alors dans les Éphémérides le temps du premier méridien correspondant à cette distance; la différence entre ce temps et l'époque où a été faite l'observation, et qui est exprimée en temps du lieu, donne la longitude du lieu d'observation. Mais cette méthode suppose que les Tables sont exactes, de sorte que leurs erreurs ne sont point éliminées du résultat; elle ne présente donc pas une précision comparable à celle que donnent les observations correspondantes faites pendant les éclipses. De plus, nous devons remarquer que le moment du contact de deux

astres peut être observé beaucoup plus exactement qu'une distance des mêmes astres.

Pour calculer la réfraclion et la parallaxe des deux astres, il faut connaître leurs hauteurs. En mer, on observera donc ces hauteurs un peu avant et un peu après l'observation de la distance hmaire; les variations de ces hauteurs dans ce petit intervalle de temps pouvant être considérées comme proportionnelles au temps, une simple proportion permettra de trouver les hauteurs apparentes des astres au moment de l'observation de la distance lunaire. On trouve ensuite les hauteurs vraies des centres des astres en corrigeant les hauteurs observées de la réfraction, de la parallaxe et du demi-diamètre des deux astres.

Au lieu d'observer ces hauteurs, il est préférable de déterminer par le calcul les hauteurs vraies et apparentes des deux astres. A cet effet, on suppose connue approximativement la différence de longitude du lieu d'observation et du premier méridien, et on cherche ensuite dans les Ëphémérides la position de la Lune et celle de Tastre pour le temps approché du premier méridien qui correspond au temps de l'observation. Puis, à Taide des formules du n° 35, on calcule les hauteurs vraies des deux astres et aussi, approximativement du moins, leurs azimuts, si Ton veut tenir compte de l'aplatissement de la Terre. Les formules du n® 67 permettent alors de calculer la parallaxe de hauteur/?'. Pour la Lune nous emploierons la formule

tangp' =: PS^"/^sin[z— (y — y')cosA] ^ I — p sinp cos[z — (tf — tf') cosA J '

déduite de celle que nous avons donnée, en remarquant que

cos(<p — (p') cos j(A'-f- A) sin(<p — <p')

COS7 cosj(A' — A)sin7

est presque égal à l'unité.

Enfin on cherche, en tenant compté des indications des instruments météorologiques, la valeur de la réfraction correspondante à ces hauteurs affectées de la parallaxe, et toutes ces corrections fs^ites, on obtient les hauteurs apparentes des deux astres. Mais

puisque, dans le calcul de la réfraction, on doit déjà employer les hauteurs apparentes, c'est-à-dire les hauteurs affectées de la parallaxe et de la réfraction, il sera nécessaire de recommencer le calcul.

Corrections dues à la parallaxe et à la réfraction. — On n'observe jamais la distance des centres des deux astres, mais seulement la distance de leurs bords. Il faut donc augmenter on diminuer la distance observée de la somme des demi-diamètres apparents des deux astres, suivant qu'on a observé les bords les plus voisins (intérieurs) ou les bords les plus éloignés (extérieurs). On fera donc subir au demi-diamètre donné par les Tables deux corrections relatives, Tune à la parallaxe, l'autre à la réfraction.

Si r est le demi-diamètre horizontal de la Lune, ce demi-diamètre, affecté de la parallaxe, a pour valeur

r' = r(i -l-/?sinA),

où p est la parallaxe horizontale exprimée en parties du rayon. La réfraction diminue le diamètre vertical d^un astre, maisnVn change pas le diamètre horizontal ; le demi-diamètre mené dans la direction de la distance mesurée est donc le rayon vecteur d^une ellipse dont le grand axe est égal au diamètre horizontal de l'astre, et dont le petit axe est égal à son diamètre vertical. Il est facile de calculer (nous donnerons ces formules dans le second volume) la diminution qu'éprouve le demi-diamètre vertical ; on peut encore en prendre la valeur dans des Tables spéciales dont l'argument est la hauteur de l'astre, et qui sont données dans tous les ouvrages de navigation. Dès lors soit tt l'angle que le cercle vertical passant par le centre de la Lune fait avec la direction de la distance mesurée, h' la hauteur du second astre et A la distance: on a, dans le triangle formé par les deux astres et le zénith,

sin ( A' — A) cos/i' sin// — cosAsin/i

Sin7r=r ; y COStt n:= 9

sin A sin à cos h

d'où

cosi^(A-f- h H- //')sinj (A-t-/i — //)

langui 7r =

sinf(A — fi -f- h')cos{{ù — h — h' )

►'*» ^ Il *K

D'ailleurs, si a représente le demi- axe horizontal de Tellipse et b son demi- axe vertical, on a

' cos^TT H — - sin^TT

Distance vraie des centres des deux astres. — Après»avoir ainsi déduit de la distance observée la distance apparente des centres

* i ^•••*" Jes deux astres, il est facile d'obtenir, en combinant les hauteurs

ivr».*.v apparentes et vraies des deux astres, la distance vraie de leurs

7J>i*f" centres, telle qu'elle aurait été observée du centre de la Terre.

>*:»-i:f Désignons en effet par H', h' et A' les hauteurs et la distance ap-

•iî.«r'3r*' parentes des deux astres, par E la différence de leurs azimuts;

ii^'i^--' nous aurons, dans le triangle formé par le zénith et les lieux appa-

îjiirjis rents des deux astres,

cosA'= sinH sin^'H- cosH'cos/i' cosE, '-'• =: cos(H' — //) — 2cosH'cos// siu^jE.

k nj^ ^ cos A^sinHsinA H- cos H cos /* cos E ,

vÀv»^' = cos(e — A ) — 2 cosH cos/i sin^-i-E;

^jg^' en éliminant sin'~E entre les deux équations, on en déduit

'^ ^ , . cos H cos A r , ,.,, ,,,,

riiifs^ (a) cosAi=cos H —h) -h — rrlcosA'— cos U'— h ].

" ^ ' ^ cos H cos /i ■*

/ ^ Actuellement posons

iir0 cos H cosA i ^ ^

sk^ ^^^ cos H' cos /i' "C^ • '

Désignons de plus par H , A et A les hauteurs et la distance vraies des deux astres, nous avons de même

(B) E-'h = d, H'— A'=fi?',

' {*) Dans la plupart des cas C sera plus grand que Punité; il ne sera

moindre que Punité, que si la hauteur de la Lune est très-grande et celle du second astre très-petite.

d et â?' étant toujours pris positifs; nous pourrons alors poser

aussi

car dans le cas où C est moindre que Tunité, cos£^' et cosA' sont eux-mêmes petits: avec ces notations Téquation (a) deviendra

* COSA — COSA"= COSû? — COSû?",

ou, en introduisant les sinus de la tlemi-somme et de la demi-différence des arcs, et remplaçant les sinus des petits arcs A — A'' et û? — fl?" par les arcs eux-mêmes,

sin|(A-f- A")

A A"=(rf rf") ,,.,. , .„,,

enfin prenons siny(A'H- A'') au lieu de sin-5-(A + A'''), et posons m\ ^-(^ ^,,sin|(^4-^")

l'équation [a) se trouve en définitive remplacée par la relation

qui, dans la plupart des cas, est suffisamment approchée. Mais si A diffère' notamment de A', il faudra recommencer le dernier calcul et chercher, avec la valeur que nous, venons d'pblenir pour A, une nouvelle valeur de x au moyen de la formule

' ^sin|(A-f- A'M ^ ^

Nous avons supposé ici que Tangle E a la même valeur pour le centre de la Terre et pour un point de sa surface. Or, nous avons montré dans le n^ 67 que la parallaxe change aussi Tazimut de la Lune. A et H étant Tazimut et la hauteur vrais, pour avoir Fazimut vu d'un point de la surface nous ajouterons à Fazimut géo-

(*) Bremicker. — Ueber die Réduction der Monddistamen {Astronomische Nachrichten, n» 716).

centrique Tangle A A, calculé par la relarion

.sin/>sinA . , ,,

AArrrp -— SID (<p — (p .

cosH

Dans la formule qui donne cosA,. on aurait donc dû employer cos(E — AA), et non pas cosE 1= cos(A — a); la variation qui en résuite pour A est

cosH cosA sin{ A — rf)

smA

psin/7 cos^sinA sin(A — n) . ,

sin(^ — (j.').

smA

correction qu'il faut ajouter à la valeur trouvée précédemment pour A.

Exemple. — Le 2 juin i83i, à 23^8™45* de temps vrai, on a trouvé pour distance des bords les plus voisins du Soleil et de la Lune A'= 96^47' ïo"> ^^ ^^ 1*^" ^""^ I21 latitude boréale était 19° 3i' et la longitude comptée à Test de Greenwicli était estimée égale à 8**5o™. La hauteur du baromètre était 29,6 ponces anglais, le thermomètre du baromètre marquaitSS^F.et le thermomètre extérieur 90® F.

D'après le ^autical Almanac, les lieux du Soleil et de la Lune étaient les suivants :

Juin 2

Temps moyen de

Greenwich.

Asc. dr. C •

Déclinaison C •

Parallaxe.

— io.5o.58,o

Asc. dr. 0 .

Déclinaison Q.

Le temps de robservation correspondait à i4^i8™4^' temps moyen de Greenwich, et pour ce temps on a

Asc. droite ([•• • = 337.19.39,6 Asc. droite O... = 70.11.18,6 Déclinaison ([ . . = — iu.29.4i»3 Déclinaison o •• =^-+-22.12.3379 Parallaxe ([ = 56.48,5 Parallaxe O = 8,5

et par suite aux angles horaires

correspondent les hauteurs et les azimuts vrais de la Lune et du

Soleil

/i = 77 43-56 , 7, a =z — 75. 4>4' La parallaxe de la Lune calculée avec la formule

t y^ PSiP/^sin[z~(y~-y^)C0SA]

I — psin/7cos[z — (y — y')cosA]

est p'=: 56'35*',4; la hauteur apparente H' de la Lune est donc 4°45'23", o. Reste à trouver la réfraction; on se sert d'abord de H' pour en obtenir une valeur approchée, on recommence ensuite ce calcul avec la hauteur corrigée et en tenant compte des indications des instruments météorologiques. On obtient ainsi R = 9' 3", 2, la hauteur apparente affectée de la réfraction est donc

pour ie Soleil, on trouve de même

£n multipliant la parallaxe horizontale par 0,2725, on a. le demidiamètre horizontal de la Lune

et avec cette valeur on trouve pour demi-diamètre apparent affecté de la parallaxe

Le demi-diamètre vertical est diminué de 26'', o par la réfractioii, et puisque tt =z 5° 48', le rayon de la Lune dans la direction de la distance mesurée est

le demi-diamètre du Soleil était du reste i5'.47 jO; donc la distan ce*apparen te des centres de la Lune et du Soleil était égale à

De plus les formules (A), (B) et (C) donnent

log C = o , 000 463,

fl'=: 72.49.4^»

rf"=: 72.50.48,

et enfin un double calcul, fait à Taide des formules (D) et (E), donne pour distance vraie des centres dn Soleil et de la Lune

Maintenant, d'après le Nautical Almanac, les distances vraies des centres des deux astres sont

Temps vrai de Greenwich.

ainsi la distance 96^30' 39^^ correspond au temps vrai de Greenwich 14*^^4"^^%^» ®' puisque le temps vrai de Tobservation était, 23** 8*" 45% o, la longitude du lieu a pour valeur

8*" 43" 49% 8, à Test de Greenwich.

La valeur de la différence de longitude ainsi trouvée est si voisine de la valeur adoptée d'abord, que le calcul des positions du

468 ASTRONOMIE SPHfiRIQUB.

Soleil et de la Lune fait pour le temps vrai de Greenwich trouvé en dernier lieu ne peut amener qu'un écart excessivement faible. Si la différence entre la valeur trouvée et la valeur admise était jilus considérable, il serait nécessaire de recommencer le calcul avec les lieux du Soleil et de la Lune obtenus par interpolation pour i4^a4"55% temps vrai de Greenwich.

Bessel a donné au n" 220 des Astronomische Nachrichten (*) une autre méthode qui permet d'obtenir une plus grande approximation dans la détermination de la différence des longitudes à Faide des distances lunaires. Mais^ en mer, on se sert toujours de la méthode précédente ou, tout au moins, d'une méthode complètement analogue; d'autre part sur terre, on a pour la détermination des longitudes des procédés qui comportent une exactitude beaucoup plus grande; aussi est- il inutile d'exposer ici la méthode suivie par Bessel.

135. Méthode des culminations lunaires, — L'observation des culminations de la Lune en des lieux différents fournit un excellent moyen de détermination des longitudes. A cause de la rapidité du mouvement dé la Lune, le temps sidéral de sa culmination est, en effet, bien différent pour chaque lieu de la Terre. Par conséquent, si l'on connaît son mouvement en ascension droite, on peut de la différence des temps sidéraux de culmination en différents lieux déduire la différence des longitudes de ces lieux. D'ailleurs les observations étant toujours faites dans le méridien, la parallaxe et la réfraction n'ont pas d'influence sur la longitude obtenue; c'est là le grand avantage de cette méthode. En outre, pour rendre encore les résultats indépendants des erreurs instrumentales, on n'observe pas réellement le temps sidéral de la culmination de la Lune, mais bien les différences des temps sidéraux de culmination de la Lune et d'un certain nombre d^étoiles voisines de son parallèle, dites étoiles de la Lune^ dont les positions sont données dans les Éphémérides astronomiques avec une trèsgrande exactitude, et sont publiées à Pavance pour permettre aux

( *) L^oxemple précédent e«t lire de ce Mémoire.

différents observîiteurs d'observer les mêmes étoiles dans les différents lieux. Cette méthode a été proposée an siècle dernier par Pigott ; mais elle ne fut appliquée que beaucoup plus tard, lorsque, par les progrès accomplis dans les méthodes d^observation, les résultats ainsi obtf^nus eurent pu acquérir Texaclitude nécessaire. Soit a l'ascension droite de la Lune au temps T d\in certain

premier méridien, — - ^ "77'^** ses dérivées; et supposons qu'en

un lieu dont la longitude à Test du premier méridien est &>, on ait observé la culmination de la Lune au temps du lieu T-f- f -h w, correspondant au temps T -h ^ du premier méridien ; pour cette époque Tascension droite de la Lune a pour valeur

. a 4- ? ^ ~t'- h -jf ' h . . . .

dt "" dt^ ^ dt^

Imaginons qu'en un autre lieu de longitude &>' on ait observé la culmination de la Lune au temps de ce lieu T-hr'-+- w' correspondant au temps T+^' du premier méridien; pour cette époque l'ascension droite de la Lune a pour valeur

Les observations étant faites toutes deux dans le méridien, les, temps sidéraux des observations sont égaux aux ascensions droites vraies de la Lune. Dès lors, si nous posons

et si nous admettons que, dans les Tables où nous prenons a et ses dérivées, les valeurs de l'ascension droite de la Lune soient toutes trop petites de la quantité Àa, nous aurons les équations

da , d'à. , d^a. ^ ^ dt^ ^ dt' ^ ' dt^^^ '

, . / ^ût , , d^oL , . d^a

• ^ f// ' dt^ • de' ^ '

470 ASTRONOHIE 8PHÉR1QUE.

d'où

et puisque nous avons aussi

il suffira pour pouvoir calculer w'* — a> de déterminer t' — £ à Taide de Tcquation (a). Or cette équation n'est pas seulement fonction de t' — /, elle contient encore t'^ — t^j mais par une transformation convenable on peut Tamener à ne renfermer que t' — /. En effet, au lieu de T, introduisons la moyenne arithmétique des temps T -*- f et T -I- f', c'est-à-dire le temps

il faudra remplacer T-f-/^etT-h^'parT'— y(/'— r) etT+J (f'— r); supposons, en outre, que a et ses dérivées — » . . ., correspon-

Ce V

dent au temps T', nous aurons les équations suivantes

, t , , . da. , , , , d^oL . , , d^a

^^ ^ de *^ ^ de' *" ^ de^

.et par conséquent

Pour résoudre celte équation par rapport à t' — t, nous négligerons d*abord le terme en (if' — /)^, et nous remplacerons ensuite dans le second membre /' — e par la valeur ainsi obtenue. Nou« trouvons alors

dt \ de

Si la différence des longitudes des deux lieux ne surpasse pas deux heures, le dernier terme est si petit, qu'on peut le négliger

MÉTHODE DEg GCJLMINATIONS LUNAIRES. ^'J \

complètement. Cette solution n*est d*aîlleurs qu'indirecte, puisque la détermination de T' suppose déjà une connaissance approchée de la différence des longitudes.

Pour l'application de celle méthode, il est nécessaire d'ajouter quelques remarques.

adopter la même unité pour — ; ainsi h étant Tare qui représente la variation de l'ascension droite de la Lune en une heure sidérale, on aura

et,

dt i5 36oo

Or, dans les Ephémérides, les positions de la Lune ne sont pas rapportées au temps sidéral, mais au temps moyen ; on n*y trouvera donc que le mouvement de la Lune en une heure de temps moyen, mais comme 366,24220 jours sidéraux valent 365,242 20 jours moyens,

Un jour sidéral = 0,997 269 3 jour moyen,

et, par conséquent, si A' désigne le mouvement de la Lune en ascension droite pour une heure de temps moyen, on a

^ ^ dt'^ iS 36oo

Il en résulte

, __ i5x 36oo 0'— -0 "~ 0,997 269 3 //

et, d'après l'équation (6),

mais, pour la Lung, le second terme de la parenthèse est toujours plus grand que l'unité, il vaut donc mieux écrire l'expression précédente comme il suit

, , , J i i5x36oo \

(e) w — «'= 0'— 0 -j-, TT-^ — I ),