X := x' cos fv — j ' sin «», X ^=x' sin w* -h^' cosd
.27 ' = ,x COS w H- j^ sin w, / ' 1= — :f sin fv -h j cos w.
Ces formules sont vraies pour toutes les valeurs positives ou négatives de Xyjr et w,
2. application des formules précédentes aux coordonnées polaires, — Soiient Xy y, z les coordonnées rectangulaires d'un point O, û' l'angle que le rayon vecteur passant par ce point fait avec sa projection sur le plan des xf, B' l'angle que cette projection fait avec la partie positive de l'axe des x, ou l'angle qu'un plan passant par l'axe des z et par le point O fait avec le plan des xz, et compté de o° à Sôo*' de la partie positive de l'axe des .r vers la partie positive de l'axe des j. En prenant le rayon vecteur égal à l'unité, on a
x=: cos B' C0j5 a', y ■=. sin B' cos a\ z := sin a\
Si l'on appelle a l'angle que le rayon vecteur fait avec la parlie positive de l'axe des «, et si l'on compte cet angle de o" à 36o" de la partie positive de l'axe des z vers la partie positive des axes des x et /, on a alors
X =1 sin a cosB', y = sin a sin B', s = cos a.
TRIGONOMËTRIB SPRÉRIQUE. 3
Si^n conçoit maintenant un second système x!^y\ z' de coordonnées rectangulaires dans lequel Taxe des j^' coïncide avec celui des y^ el les axes des x^ et des z' font l'angle c avec les axes des x et des z; si l'on nooime h Tangle que le rayon vecteur fait avec la partie positive de Taxe des z\ Af Pangle que fait le plan passant par le point O et Taxe positif des z* avec le plan passant par les axes positifs des x et des z (les deux angles b et A' étant comptés respectivement dans les mêmes sens que a et B'), on a
.r' = sin b cos A' , / ' = sin ^ sin A' , z' m cos b.
Et comme, d'après les formules de transformation des coordonnées,
z = x' sin c -\- z' cos r,
xz=ix' COS c — z' sin c,
on obtient
cos û z=: sin ^ sin c cos A' + cos b cos r,
sin a sin B' = sin b sin A',
sin a cosB' = sin b cosc cos A' — cos b sin c\
3. Formules fondamentales de la Trigonométrie sphérique, — Supposons maintenant une sphère ayant pour centre Torlgine, et décrite d'un rayon quelconque (supposé égal à l'unité); si l'on joint par des arcs de .grands cercles le point O et les intersections Ti, II des axes des z et des z' avec la surface de la sphère, on obtient ainsi un triangle sphérique OZZ' dans son acception la plus générale, les angles et les côtés pouvant être plus grands que 180". Les trois côtés OZ, OZ', Z'Z seront respectivement a, ^, c. L'angle sphérique A au point Z', formé par les plans passant par O et TI et par Z' et Z, sera égal à A', tandis que Fangle B au point Z sera généralement égal à 180° — B'. Si l'on introduit donc A et B, au lieu de A' et B', dans les équations du n*' 2, on obtient les formules suivantes, applicables à tout triangle sphérique :
cos a = cos b cos c -h èin b sin c cos A,
sin A sin B == sin ^ sin A ,
sin a cos B = cos ^ sin c — sin b cos c cos A.
Ce sont là les trois formules fondamentales de la TrigontAélrie sphérique, qui n'expriment autre chose qu*une simple transformation de coordonnées.
On peut toujours considérer un sommet quelconque d'un triangle sphérique comme étant la projection du point 0 sur la surface de la sphère, et les deux autres sommets comme les points d'intersection des axes des z et des z' avec celte surface; alors les formules précédentes sont applicables aux autres éléments, si l'on permute convenablement entre eux les côtés et les angles. On aura, en rassemblant tous les cas,
cos a z= cos b cos c -\- sin b sin c cos A , ( 2 ) { cos b = cos a cos c -h sin a sin c cos B,
cos c = cos a cos b -\- sina sin b cos C ;
/ sin â( sin B = sin 6 sin A,
(3) ( sin a sin G = sin c sin A,
( sin ^ sin C = sin <? sin B ;
sina cosB = cosb sine — sinb cosccosA, sinû cosC = coscsinA — sinccos^cosA, sin A cosA = eosfl sine — sinacosccosB, sin b cosC = cosr sin^ — sine cosa cosB, sine cos A = cosa sin b — sin^r cosb cosC, sin r cos B = cos b siu a — sin ^ cosa cosC.
4. Diverses formules de Trigonométrie sphérique» — Si Ton divise les formules (4) par les formules (3) correspondantes, on obtient
sinAcotB = cot^ sinr — cosc cos A,
sin AcotC = colcsinô — cos^ cosA,
sïnB col A = cotû sine — cose cosB,
^ ^ sin B cote = cote sina — cosacosB,
sinC cot A 1= colfl sin ^ — cos^ cosC, sinCcotB =cot6slp.;— cos«çosC.
W lOT
Si i'oD donne à la dernière équation la formé
. ^ « cos^ sintf sinB . ^ ^
smC cosB = : — -, 00$ tf smB cosC,
sino
on obtient
sin C cos B.= cos b sin A — cos a sin B cos C,
ou
sin A cos A =:cosBsinC -f- sinBcosCcosa.
Cette équation correspond à la première des équations (4) où les angles sont changés en côtés, et réciproquement. En permutant les lettres, on obtient les six équations
sin A cos 6 = cosB sinC -f- sinBcosCcosâf, sin A COSC = cosC sinB -h sin C cos B cos a, sin B cosa = cos A sin C + sin A cosG cos b, sinB COSC = cosGsinA + sin C cos A cos 6, sinCcosa = cosA sinB + sinAcosB COSC, sin C COS b = cos B sin A + sin B cos A cosc .
La division de ces équations, par les équations (3) correspondantes, donne
sma coib = cotBsinC -f- cosGcosa, sin a cote = cote sinB -f- cos B cos il, sin b cota = cot A sin C -f- cosC cos b. ' sin A cote m cofCsinA-f- cosAcosô, sine cota z=z cot A sinB -+- cosB cosc, sine cot 6 ::= cot B sin A -f- cos A COSC.
Les équations (6) donnent ensuite
COS A sin C = sinB cosû — sin A cos C cos ^, cosB sinC = sin A cos 6 — sinB cosC cos a.
Si Ton substitue dans la première équation la valeur de sin A cos <6 tirée de la seconde, on obtient, en divisant par sinC,
cos A = sinB sinC cosa — cosB cosC,
b ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
et, par une permutation des lettres, les trois équations suivantes correspondantes aux formules (2), où les côtés sont changés en angles et vice versd :
IcosAr=sinBsinCcosa — cosBcosC, , cosB =: sin A sin C cos b — cos A cosC, . cosC = sin A sin B cos c — cos A cosB.
5. Formules de Delambre et de Néper, — Si Ton ajoute les deux premières des formules (3), on obtient
ou
sin/z[sinB H- sinC] ^= sînA[sin6 -f- sine]
sin I fl cos|(B — C) cos ^ « sin |( B -f- C)
■=z sin J A sin~(^ -f- r) cosy A cosy (^ — c),
et par soustraction
sinyasin}(B — C) cos|flcosj(B -+- C ) ■=- sin|AcoSy(^-+-c)coSy Asin^ [b — c).
On obtient de même, par l'addition et la soustraction des deux premières formules (4),
sin|« cosy (B -r- C) cosy âr coSy.(B H- C) =:sinyAsiny [b -hc) sinj Acosy (^ +<^)>
sin{ « sin|(B — C) co§| asin| (B -f- C)
=:COSy AsiUy (Ô c) COSy AcOSy (^ — c).
Ces quatre équations contiennent le produit de deux des formules de Delambre, et on peut, par la combinaison de ces équations, obtenir ces formules isolément; il faut, à cet effet, se procurer encore une autre équation dans laquelle paraisse une combinaison nouvelle de ces formules. Pour cela nous nous servirons d^tme des équations suivantes :
cosjflcos|(B -f-C) cos^ârsinKB -4- C)
=:siny A COS y (b -f- tjCOSy Acosy [b — c),
siny fl cosy (B — C) siuyfl siuy (B — C), = sinyAsiny(6 -f-c)cosy Asiuy [b — c).
FORKULBS D£ DELAHBRB. 7
que l'on obtient par Taddition et la soustraction des deux premières formules (6) ■ Si Ton pose maintenant
sin I A sin j (é -f- c) = a, sin { a cosy (B — C) =: a',
sin jAços|(^ -\'c)=:py cosj.«cos}(B-f-C) = p',
cosj Asiuy (^ — c) =7, sin 7 a sin y (B — C) = 7',
oos j A cos| (^ — c) = ^, cos| a sin | (B -f- C) = ^',
on a les six équations
a' S' =z 0L$y 7' P' = 7p, a' p' = ap, a'/ =: a7, 7' 5' = yS, p'^' = p^,
d'où Ton tire
OU bien
On a ainsi, entre les angles et les côtés d'un triangle sphérique, les relations suivantes :
sin I A sin -\ [b -\- c) = sin | a cos y (B — C), sin Y Acosy(6 -I- c) = cosjûcosy (B -h C), ^^^ 1 cos| A sin J (b — c) = sin | « sin |(B — C),
' coSyAcosJ(6 — c) 1^ cosyfl sin|(B H- C),
ou aussi
sin y A sin j ( ^ -f- c) = — sin y fl cos~ (B — C),
sin y A cos I ( 6 H- c) = — cos } a sin 7 (^ "^ ^)> C0S7 A sin Y ( 6 — c) z= — sin ~ « sin y (B — C), cosy A cosy (3 — c) = — COS î a sin y (B H- C).
Soit que l'on cherche deux côtés et Tangle compris, ou bien un côté et les deux angles adjacents^ les deux systèmes d'équations donnent les mêmes valeurs, on, du moins, des valeurs ne différant entre elles que de 36o°. Si par exemple on cherche A, by c, alors les deux systèmes donneraient pour \{b -^ c) et y (6 — c) les mêmes valeurs
8 ASTRONOMIE SPHÊRIQUE.
et pour ^A des valeurs différant de i8o", ou bien pour -^A les roémes valeurs, et pour y(^-4-r),|(^ — c) des valeurs différant de iSo®. Ainsi, dans tous les cas, les valeurs de A, de b et de c, tirées de \\m ou de l'autre système, ne différeront jamais que de 36o**: ces quatre formules (9) sont donc générales, et il est indifférent, dans le calcul de A,- b, r, dVmployer les valeurs /?, B, C, ou ces mêmes valeurs augmentées ou diminuées de 36o®.(*).
Les quatre équations (9) sont employées lorsque, connaissant un côté et deux angles adjacents, ou bien deux côtés et Tangle compris, on cherche les trois autres éléments du triangle; on s'en sert le plus commodément de la manièi*e suivante.
Supposons que ^, B, C soient donnés; on cherchera d*abord les logarithmes de
(i) cos-HB-C),
cosj(B
(2) sin^a.
cos^ a.
(3) sini(B-C),
sin; (B
et ceux de
(7) sin Y«cos| (B — C), (9) bin-j«sin|(B — C),
(8) cosjacos' (B-f C), (10) cos>sini(B-f-C).
Les quotients de (7) par (8) et de (9^ par (10) sont, d'après les formules de Delambrè, égaux à
tang{(^-hc) et tangj(A — r),
ce qui fait connaître b et c. Ensuite on cherche cosj{^ -+- c) ou sin j(^ H- c), selon que le cosinus est le plus grand, ou le sinus; et de même pour cos^ {b — c) et siny (6 — c); on retranche le logarithme du premier (cos ou sin) du plus grand des deux logarithmes (7) ou (8) et le logarithme du second du plus grand
(*) Ces formules sont désignées en France sous le nom dejormules de Delamhre, qui les publia pour la première fois, en 1807, dans la Connais^ sance des Temps pour 1809 (p. 44^)* Gauss ne les donna que deux ans plus tard dans l'ouvrage Theoria motus corporum cœlestium^ p. 5o et suiv.
{Note des traducteurs.)
FORMULES DE DBLAMBRE. 9
des deux logarithmes (9) ou (10), on obtient ainsi sin| A. et cos^A; de là on tire tangjA^ et par conséquent A. Comme sin| A et cosy A doivent donner le même angle que tang j A, on a là un moyen de contrôler l'exactitude du calcul. Exemple. — Soient données les valeurs suivant^ (*)
a= II» 25' 56", 3,
C = . 1 1 . 18.40 , 3, on a
cosy(B— C) ... 2,797 64i3, cosj (B+C) ... i ,127 8046/?,
siuy 0 ... 2,998 260$, cosy fl ... 1 ,997 835 1,
siny (B— C) ... 1 ,999 1432, sinj(B-+-C) . . i ,9960526,
inlacos^ (B~C) ... 3,7959018, sm\ flsin|(B— -C) ...2,9974037,
~a cosj (B-hC) ... 1,1256397/2, cosyflsin^ (B-i-C) ... i ,9938877, i(^ + r):=:i770i9'i3",49, .;(^~r)^5«45'24",i3,
. COSy(^ -f-C) ... 1,9995248/?, COSy(^ C) ... I ,997 8042,
sin|A ... 1 ,126 1149» b =: i83" 4'^7'*62,
cosj A ... 1 ,9960835^ c r= 171 .33.49 > 36,
Si l'on avait pris ••
B=— 175^53' 4", 6, et par conséquent
SID COSt
on aurait eu
\(b-hc) = — 2.40.46 )^it i{b-^c)= 185.45.24 ,i3.
(*) La lettre .n placée après un logarithme indique que le nombre doit être pris avec le signe — .
lO ASTRONOMIE SPBÉRIQUE.
et enfin
On trouve les Analogies de Néper, en divisant les formules de Delambre les unes par les autres. Si Ton remplace respectivement À, B, C par B, G, A et a^ by c par b^c^ a^ les équations (9] donnent
, / . « cos ^(a — b\ , ^
tangi(A-B) = ^'"t!"~f!cotiC, **^ ^ ' sin^ [a-^-b] '
,, cosWA — B)
, , . sin^fA — B) . , tangH«-^)=^.4^^^^3;tangi..
6. Emploi d^un angle auxiliaire, — Comme presque toutes les formules des n°' 3 et ^ contiennent des binômes, et sont par conséquent incommodes pour le calcul logarithmique, il peut y avoir avantage à les convertir en monômes; on y parvient par rintroduction d'angles auxiliaires. Soient deux quantités quelconques, X et j, positives ou négatives; on peut toujours poser
les équations
ar in /w sin M,
/ r= /W COSM,
alors
tangM = -9
sjx^ -+- jV
et les valeurs de M et m sont toujours réelles. Or, dans toutes les formules précédentes, les binômes sont formés de deux termes dont Tun contient le sirius et Tautre le cosinus d*un même angle. Si Ton suppose les coefficients du sinus et du cosinus proportionnels au sinus et au cosinus d*un même angle auxiliaire, on pourra appliquer les formules connues pour le sinus et le cosinus- d*uD
on a alors
