ANALOGIES DE NÉPEB. II
binôme, et obtenir de cette maniè^re des expressions commodes pour le calcul logarithmique.
Soient, par exemple, à calculer les trois formules
cos a = cos b cos c + sin 6 sin c cos A, sin a sin 6 = sin b sin A, sina cosB = cos 6 sin c — sin b cos c cos A.
On posera
sin b cos A = /» sin M,
cos b =/?icosM;
cos a z=z m cos ic — M), sin n sin B = sin 6 sin A , sin a cos B = /Ti sin ( r — M).
Lorsqu'on connaît le quadrant dans lequel se trouve B, on peut,
en remplaçant m par sa valeur — ; — -- — ? se servir des formules
sm M
suivantes. On calcule d'abord
tang M = tang b cos A,
et Ton trouve
' tani; A sin M tanff B nr — ^ ,
^ sin(c--M.)
idJi" ic — M) • tang a = — ^^ • — - .
^ cosB
Il faut remarquer qu'au moyen des Tables de logarithmes de Gauss, qui donnent le logarithme de la somme ou de la différence de deux nombres connus seulement par leurs logarithmes, on calcule plus aisément les trois équations sous leur première forme sans le secours d'aucun an|j;le auxiliaire. Ces Tables ont été publiées par Zeck avec sept décimales, et par Uoûel avec cinq décimales.
7. Calcul approché d'un angle au moyen de la tangente ou du sinus. — En général, on détermine toujours les angles que l'on cherche par leurs tangentes; car celles-ci variant plus rapide-
ment, la valeur de Tangle est alors déterminée avec une plus grande approximation.
Soit ^x une variation très-petite de Tangle, on a
A(L tani'jr j = -: •
On exprime ordinairement les variations d*ang1e en secondes ; mais comme la tangente est exprimée en parties du rayon pris pour unité, il faut exprimer la variation A x aussi en parties du rayon, par conséquent la diviser par le nombre 20626498 (*). Les logarithmes employés ici sont hyperboliques; si Ton veut introduire les logarithmes de Briggs, il faut encore mi^ltiplier par le module M =0,4^4 294^- Enfin, si Ton veut exprimer Aflogtangx) en unités de la dernière décimale des logarithmes employés, il faut encore multiplier par 10^ lorsque les logarithmes ont sept décimales. On obtient ainsi
d'où
A{logtangjp = -; a ur Q ^^' = • ^'^ '
^ Sm2X 200 2b4iO SlU2Jr
^ „ sin2jr ,, •
J^ A(logtangjr).
Cette équation fait voir avec quelle exactitode on peut obtenir la valeur d'un angle au moyen de la tangente. En effet, supposons que l'on em))loie îles logarithmes à cinq décimales seulement ; comme le calcul, en général, n*est sûr qu'à deux unités près de
{*) Le nambre 206 264,8 qui a pour logarithme 5,3 14 4^51, est toujours employé lorsqu'on veut conyertir en secondes d'arcs des grandeurs exprimées en parties du rayon, et vice versa. Le nombre de secondes contenues dans la circonférence est 1396000, et la circonférence exprimée en parties du rayon est siTT ==6,a8^ i853. Le rapport de ces deux nombres est ao6 364«B. Si on veut conrertir en secondes d'arc des grandeurs exprimées en parties du rayon, il faut multiplier ces grandeurs par ce nombre, et les diviser an contraire par ce nombre lorsqu'on veut exprimer en parties du rayon des quantités données en secondes d*arc. Ce nombre n'est d'ailleurs autre chose que le nombre de secondes contenues dans le rayon, et son inverse exprime le sinus ou la tangente d'une seconde.
TRIANGLES RECTANGLES. l3
la dernière décimale, on a
A (log tangx) =n 200,
et l'erreur résultant pour l'angle sera
A x" :rr r- sin 2 J: =: 5 " Sin 2 JT .
Ainsi, avec cinq décimales, Terreur ne sera jamais plus grande que 5"'sin2j;, et, comme le maximum de sin 2 jr est l'unité, tu plus grande erreur ne montera qu*à 5", pour un angle voisin de 45°. Avec des logarithmes à sept décimales, Terreur sera cent fois plus petite, et, par conséquent, l'incertitude de la valeur d'un angle, calculé par la tangente, montera au plus à o",o5.
Mais, quand on calcule un angle par le sinus ou par le cosinus, A(log sin j;) ou A (log cosj:) contiennent, au lieu du facteur sîn2â:, les facteurs tangjr, ou cota:, dont les valeurs peuvent varier de 0 à 00 ; On voit donc que de petites erreurs, dans le logarithme du sinus ou du cosinus d'un anji^le, peuvent produire de grandes erreurs dans la détermination de Tangle, et qu*il est ainsi toujours préférable de calculer les angles par les tangentes.
8. Formules relatives aux t/iartf^les rectangles. — Si dans les formules des triangles sphériques obliquangles on fait un des angles égal à 90", on obtient les formules pour les triangles rectangles. Dans la suite, nous représenterons toujours Thypoténuse par //, les deux côtés dé Tangle droit par c et c', et les angles respectivement opposés par C et C. Si, dans la première des formules (2), on pose A = 90®, on a •
cos/i == cosc cosc',
et, dans la même hypothèse, la deuxième des formules (3) donne
sin A sinC==sinc.
De la première des formules (4)» oq tire
sin/i cosG= cosc sine'» .
l4 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
et, en divisant par la valeur de ces A, on a
tangA cosC = tangc', tandis que si l'on divise par sinA sinC ■=■ sine, on a
cotC = cote sine'
ou
tangc = tangC sinc^
On aurait pu aussi obtenir ces deux formules par la deuxième des équations (5) et la troisième des équations (7), en y posant
En multipliant la dernière équation par l'équation analogue
tangc' =: tangC sine,
on obtient
cos^ = cote cote ';
enfin, si l'on combine les deux équations
sin/^sinC'= sine',
sin^ cosC = cose sin*',
on obtient
cosC = sinC' cose.
Ainsi, on a les six formules suivantes qui comprennent toutes les combinaisons des cinq éléments
cos^ r= cose cose',
sinez=: sinA sinC,
, - , tance= tanffAcosC,
tange= tangC sine',
cosA=:i cotCcotC,
cosC = cosesinC,
au moyen desquelles, deux éléments d'un triangle rectangle étant donnés, on peut trouver les autres.
La comparaison de ces formules avec celles du n° 6 montre que l'emploi des grandeurs auxiliaires m et M repose sur la décomposition du triangle quelconque en deux triangles rectangles.
FORMULES IHFFÉKEICTIELLES. l5
En effet, si on abaisse, par exemple, du sommet C d\in triangle quelconque un arc de grand cercle perpendiculaire sur le côté c, m représente dans les formules du n° 6 le cosinus de cet arc perpeirdiculaire et M la portion du côté c comprise entre le sommet A et le pied de Tare perpendiculaire.
9. Formules différentielles de la Trigonométrie sphérique. — En Astronomie, il faut toujours emprunter certaines données à des observations dont on ne peut jamais garantir Inexactitude absolue; on doit donc admettre pour chaque donnée la possibilité d'une petite erreur. Dans chaque problème, on aura à discuter l'influence d'une petite variation des données sur le résultat cherché. Nous sommes ainsi conduits à différenlier les formules de la Trigonométrie sphérique, en regardant toutes les grandeurs comme variables.
Si l'on différentie la première des équations (2), on a
— sina£/a = [ — sinécosc -h cosôsinccosA] db H- [ — cosb sine -f- sin h cosr cos A] de — siub sine sin A ^ A.
I/e coefficient de db est égal à — sin ^i cos C; celui de de est égal à — sina cosB, et si l'on remplace le coefficient de ^A par — sina sinr sin 6, on obtient la formule différentielle
da = cosC db H- cosB de + sin c sinB^A.
Différentions la première des équations (3), après avoir pris les 4
logarithmes des deux membres
coiadà -\-coiBdB=z coi bdb -f- cotAe/A.
Au lieu de différentier la première des formules (4)) différentions la première des formules (5], résultat de la combinaison des formules (3) et (4)» nous obtiendrons
r-r^ dB -f- FcotB cos A — sin A coscl dA
sin'B
sine
siii^b
db -f- [cot^ cose -h cos A sinc]^r,
l6 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
OU
sinA ,^ cosC ,. sine ,, cosa ,
sin'B sinB sm^o sinb
En hiuitipliant cette équation par sinB, on trouve
sina ,^ ^ ... sinC ., cosasinB ,
^-7 dB — cosC ^/A = 7—rdb H r—, — de,
s\no sino sinb
ou enfin
sina^B z=z sinCr/À — cosa sinB^^c — sin b cosC^/A.
La première des formules (8), traitée comme la première des formules (2), donne .
r/A r= — coscc^B — cosbdC 4- sinbsmCda,
En résumé, les équations différentielles de la Trigonométrie sphérique sont donc
da = co&Cdb -\- cosBe/cH- sin^ sinC^^A,
cotflrrftf H- cotBi/B = coIÔé/6 H- cot AéfA, (11) { .
sin^£^B = sinC^^ — cosa sin B^/c — sin^ cosC^^A,
dA = — coscJB — cosbdC -+ sin b sinCda .
10. Formules approchées pour de petits angles. — Quand on emploie de petits angles, on peut, sans erreur sensible, prendre le cosinus égal à l'unité, et Tare égal à son sinus ou à sa tangente ; ainsi, si Ton veut exprimer Tare en secondes, on peut remplacer siria, ou tang^, par 206266 a. Mais, si les angles ne sont pas assez petits pour qu*il soit permis de négliger le carré de l'arc, on peut procéder de la manière suivante; on a
et d'où
Sin«
çosfl = I — I fl' 4- j7 <i' — . . . ;
y^cosa = 1 — j a' -f- . . . .
DÉVELOPPEMEIfTS EN SÉRIES. I 7
On obtient donc, en ne conservant que les troisièmes puissances,
sin/7 u
on
= v/cos«,
a = sinfl y/sécrt .
Celle formule peut être employée jusqu'aux angles de 10°, pour lesquels Terreur n'atteint pas une seconde, car
log sin r 0° y/ sec 10"= i , 24 ^ 8864 «
et en y ajoutant le logarithme 5,3i4425i, on trouve pour nombre correspondant 36ooo", 74 ou io"o'o",74-
11. Développements' en séries fréquemment employas dans V Astronomie sphétique, — i° Si Ton a une expression de la forme
a sin .r
tant; r = •>
I — a cosx
on peut facilement développer^ en une série qui procède d*après
les sinus des multiples de l'angle x. En effet, posons tangz = —,
, , ndm-— mdn . • > \ , .
dou azrrr ^ ^ — . 1 cxpressiou pr<'cedcnie nous donne, en
'considérant « et j comme variables,
rly sin .r
fi
da I — la cos jc -h û^
et si, par la méthode des coefficients indéterminés, nous développons en série suivant .les puissances croissantes de a, nous avons, en supposant fl<^i,
-^ zzrsinj: H- «sin2.r -+- rt^sinSx -+-. , . (*). da
(*) On voit facilement que le premier terme est sinx et que le coefflcicnt A,^ de a" se trouve par la relation de récurrence
A„=2A„,cosx — A,.,.
l8 ASTRONOMIE SPHÏRIQUE.
Intégrons cette équation, en observant que y s^annule avec a-, nous obtenons '
(12) y z=. aûïïx -\-\a^%\\\*ix + |a'sin3j7 -f-. . . .
2° On rencontre souvent deux équations de la forme
A sinB =r ^sinar, AcosB = I — flcosx.
Il s'agit d'exprimer B et log k en séries procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de x. Or
^ £7sin:r
tang B =
I — acosx
La formule (12), appliquée à Tangle B, le donne immédiatement en une série procédant suivant les sinus des multiples de x. Pour développer log A en série, prenons la valeur de A
A = y I — ia cos.xr -f- à^, La méthode des coefficients indéterminés donne
aç.o%x — a^
I — la cosx -f- a
= ÛCOSJ7 -t- fl^cos2x-h o'cosSr H- . . . (*).
En multipliant cette expression par ? le premier membre
est égal à
1 û?log(l — 2flC0SX -f- «')
2 da et, en intégrant, il vient
log v^i — 2û! cosar -t- fl^ = log A (i3) \.
( izz — (âcosx -f- \a}cQ^ix -f- \ fl'cos3^ -f- . . .),
car pour a =1= o, on a log A = f>.
C^) On voit que le coef&cieot de a est cosx et que le coefficient A„ de a' est donné par la relation
A„=2A„, coso; — A„,.
DÉVELOPPEMENTS EN SÊBIES.
3° Soient les deux autres équations
Asin B = asinXy AcosB == I -+- acoso;,
en remplaçant, dans (12} et (i 3), a? par i8o^ — j:, on obtient
(i4) B = asin.r — { fl'sin2j: H- jû'sinSa? — . . ., log ^i -h 'iacosx -{- a"* z= log A
= acos.r — ~^a^ cos2jc -f- \a^ cos^x — . . .
4° Lorsqu'on a l'expression
tang j r=: /ztangx,
on peut la ramener facilement à la forme
a sin .V
lang / = ;
I — acosx
car
tangj — tango: (n — i)langj:
tang(j — x)
