DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES
Ail moyen des deux dernières formules, on peut développer en séries les analogies de Néper, car Téquation
t / / X sin|(A — B)
^' ^ ' sm|(A-+-B) ^'
donne
\{a — b)=z\c — tangjBcoty Asin^
H- y tang2}Bcol'| Asin2c — . . . ,
ou
\c:=z{[a — h) -h tangj BcotlAsin(fl' — b)
^tani;2jBcot'| Asin2(« — 6) -h
De même Téquation
cosJfA — B)*
donne les séries
j(a + 6)==|c-f- tangy A tang y B sin c
+ y tang Y A tang^l B sin2c + . . .
\cz=:i\[a'\-b) — tangl A langiBsin(a H- b) \ lang'y A tang'y hsmi[a -¥• b) — . . .
On transforme en séries semblables les deux autres analogies
5** Il arrive souvent qu'une quantité / donnée par une équation de la forme
cos y = cos:r + b,
doit être développée en série ordonnée suivant les puissances de b Le théorème de Taylor appliqué à Téquation
j = arc cos (^cos.r H- ^ ) ,
donne, en posant
cosa: = z et y ^=z f [z -\- h) ^
ei puisque
df dx I
d"^/ \ sinxj d.v coso:
dz d(cosx) sinx
\ sino:/ dz^ dx ei{cosx) sin'or
/. COS.r\
d*/ \ sin'j:/ dx i-h3col^.r
dz^ dx d[cosx) sin'x
sina: siu^x
b^ — M I -h 3 cot'-c ) -—- +
6° De même si on avait Téquation
sinj = sin-c4- ô, on aurait la série
^ = jr H h j COt X
, , , cosor cos'jr
+ i[i H- 3 tangua:] — —
Remarque. — Voir, pour les développements en séries, un Mémoire de Encke, inséré dans le n® 662 des Astronomische Nachrichten,
IL — brTERPOLATION.
J2. But de l'interpolation. — On se sert constamment, en Astronomie, de Tables qui donnent les valeurs de certaines fonctions correspondant à des valeurs déterminées des variables. Mais,
dans l'application, on a aussi besoin de connaître les valeurs de la fonction pour des valeurs des variables qui ne sont pas contenues dan^ les Tables. Les méthodes qui permettent d'obtenir ce résultat portent le nom de méthodes d^ interpolation. Elles ont pour but de substituer à la fonction, dont l'expression analytique est ou entièrement inconnue, ou incommode pour le calcul numérique, une autre fonction plus simple, déduite des valeurs numériques données, et qui puisse remplacer la véritable fonction dans les limites des applications qu'on veut en faire.
D'après le théorème de Taylor, on peut toujours développer 'une fonction en série, suivant les puissances entières des variables. Ce théorème ne souffre d'exception que dans le cas où, pour une valeur déterminée de la variable, un des coeflicients différentiels devenatit infini, la fonction cesse d'être continue dans le voi* sinage de cette valeur; le calcul d'interpolation étant une conséquence de ce théorème, exige que la fonction soit continue entre les limites des applications.
Notation des différences, , — Soit w Tintervalle ou la différence de deux arguments consécutifs (différence qu'on regarde ici comme constante); un des arguments étant représenté par /r, un autre le sera par a -\- nw^ n étant la variable; soit, de plus, f{a-V- nw) la fonction correspondante à cet argument.
Désignons psur /'{a -+- /» -h y) la différence entre deux valeurs consécutives /{a -h nw), et /[a -I- (/i -h i) w], (a H- /z H- y) est la moyenne arithmétique des deux arguments consécutifs, le facteur ft» étant sous-entendu (*). Ainsi, la différencey{fl -h w) — f[a) est désignée pary'(a -l-{); la différence/'(aH-2çr') — /[a -+- w) est désignée pary*'(« 4- 1). La même notation sert pour les différences d'ordres supérieurs, ordres qui sont indiqués par le nombre des accents. Par exemple, la différence /'(a -+- 1) — /'{a -l-|) est désignée par /'\a -fa), différence seconde.
On a ainsi le tableau suivant des arguments, des valeurs correspondantes de la fonction et de ses différences.
{*) Cette notation très- commode a été introduite par Encke dans son IMémoire Sur les quadratures inécaniqueSy dans le Jahrbuch de Berlin, 1837.
24 ASTRONOMIE SPHÉRIQUË.
Argument. Fonction. Diff. ï. DiCf. II. Diff. lïl. DifT. IV. Diff. V.
a — "^iv f[a — 3 rr )
a — iw /(a — a«') f"(a — i]
Toutes les différences qui onf même argument sous le signe fonctionnel se trouvent sur la même ligne horizontale; les différences d'ordre impair ont toutes un argument égal à a augmenté ou diminué d'une fraction dont le dénominateur est a.
13 Formule d'interpolation de Newton, — D'après le théorème de Taylor, on a
[a) f[a -\- niv) = a -h p /itv -f 7/2* fv^ ■+■ Sn^tv^ -f . . . .
Si l'expression analytique de la fonction était connue, on pourrait évaluer a, p, 7, ^, . . . , car
or on suppose que cette expression n'est pas donnée, ou du moins ne peut être employée, et qu'on connaît seulement des valeurs numériques de la fonction répondant à des valeurs déterminées de l'argument. Mais, si dans l'équation (a) on substitue successivement les diverses valeurs de /i, on obtient autant d'équations qu'on connaît de valeurs de la fonction, lesquelles serviront à faire connaître autant de coefficients, a, p, 7, ^, . . . .
On voit immédiatement que a^=/(a} et que p^v, 7«'%..., s'expriment linéairement au moyen des différences de la fonction donnée qui peuvent elles-mêmes se ramener à une certaine série de différences, de telle sorte qu'en général /{a -4- nw) peut être pris sous la forme
/(^-f-,i«.)z=/(û)4-A/'(fl-f-i)+B/>-hi) + C/>-l-|) + ...,
où A, B^ G>. . . sont dfs fonctions de n déterminées par l'introduction de certaines valeurs de cette variable.
Si n est un nombre entier, la fonction y (a H- nw) se déduit de f[a) et des différences précédentes par de simples additions successives, en considérant les différences d*un certain ordre comme constantes, supposant ainsi que les valeurs de la fonction forment une progression arithmétique d'ordre supérieur. Si les différences premières sont constantes, /[a H- nw) sera simplement égal à f{a) -H nf'[a H- J); si les différences secondes sont constantes, on devra ajouter <i la valeur précédente le produit de /"{a -4- 1) par la somme des nombres de i à /i — i, c'est-à-dire
par : si les différences troisièmes sont constantes, on
devra ajouter à la valeur obtenue précédemment le produit de
f"'[a -h 2 ) par la somme des nombres i , H- 2, i -f- 2H- 3, . . . ,
f^(n — \){n — 2) ^ , 14-2 4-, ..(/? — 2), cest-à-dire par -^ -^ -• On a donc,
en général,
et par suite
C) On le voit aisément par la manière dont la l'onction est formée ii l'aide de ses dilTérences. Si on les désigne en e(Tet, pour abréger, par /',/",/",■■., on obtient le tableau suivant:
Dirr. I. Dirr. n. nitr. m.
fW+f f..f. ./" f
/« + /!/'+ 6/"+4/'" f.'l/fZ-Vf' /"+3/"' -^
Cette formule est connue sous le nom ûe formule d'interpolation de Newton, Le coefficient de la différence de l'ordre n est le coefficient de «" dans le développement de (i H- ^)'*.
EXEMPLE. — Le Jahrhuch de Berlin de t85o donne pour les longitudes héliocéntriques de Mercure, à midi moyen :
„ , ^ Diflf. I. Diff. IL
Diff. III. Diff. IV.
Janv. 0
3io. 6.5i,5 -f- i8 48, o
/ Il
-^îi 44,4
-t-io,i
Si Ton 'veut en déduire la longitude de Mercure à midi moyen pour janvier i, on fera
/(rt) = 3o3"25'i",5 et «:={,
ensuite
' Produits.
/'(û-Hi) =-h6°4i'5o^o, n = ^ -f-3**2o'55'>;
/" [n-hi] = H- 0.18. 48,0, ^'^~ '^ = — i — o. 2.21 ,0;
rm I IN ,, , n(n — \)[n — 7.) , . ^
f"'[a^\) =-f-o. 2.44,4, — -^ - = ^-h ^-o. o.io,3;
/^^(a-h2) =-t-o. 0.10,1, -^ '\ / •' =^~TT8— o- o- 0,4.
Il faut ajouter à/ (a)
La longitude de Mercure, pour janvier i à o**, est donc
La formule de Newton peut s'écrire sous une forme plus commode qui offre l'avantage démultiplier par des fractions plus
simples
f{a ^nw)=f{a)-\-n j^/'(« + ^) + ^j /"(« + i)
On a alors dans l'exemple précédent
Produits.
/■^(fl-f.2) =r:+0<» O' I0",I, ^— 5 = - | - O» o' 6", 3 /'{«+!) -O' 6^3 =r+o. 2.38,1, ^^rzr-J -O. I • I9 .0 /"(a -h l) — I.19 ,0 ==+ o. 17.28 ,8, =~7 —O. 4*^^>2
/(rt)4:3o,8'43^9r:=r3o6«43'45",4,
14. Juires formules d'interpolation, — On peut encore transformer la formule de Newton de manière à n'employer que les différences placées sur une morne ligne horizontale, c'est-à-dire « en partant de /(a), les différences qui oot pour argument a et « 4- |; les deux premiers termes de la formule de Newton sont ainsi conservés; et on a
/"(« + 2) =/" (a 4- I) +/'{fl + I)
on obtient ainsi, pour coefficient de /*''(«)
pour coefficient de /"'"(« -f- ^ )
pour coefficient de /'^(rt)
et enfin pour coefficient de /*"(« H- ^ )
La loi de formation est évidente, et la formule complète s*écril
A la place des différences contenant [a 4- ^), introduisons les différences contenant [o ^ \)y il vient
Ainsi, les coefficients des différences d'ordre impair restent les
nièmes^ tandis que le coefficient âe/^'{a) est
et le coefficient de /**' ( ût ) est
(/îH- 1 ) n [n— 1) (/î -i-i) /î [n — 1 ) [n — 2) {n — i) // (/ï-f- i)(/î-f-2)
On obtient ainsi
où la loi de formation est évidente.
Quand on doit interpoler une valeur dont Targuinent tombe entre « et a — Wy n est négatif. Mais si Ton veut que n soit toujours une quantité positive, il faut dans la formule précédente remplacer n par — /?; et Ton a
\ m Je
(/i-Hi)/?(/y— i)(/i — 2)^,^^^^
^ TÏXr — --^^^^
On emploiei'a cette formule dans tous les cas où Ton voudra interpoler pour des arguments qui précèdent a.
En écrivant les formules (2] et (3) comme on a fait précé-
3o ASTRONOHIE SPHÉRIQUE.
demment pour la formule de Newton, on obtient
f{a + n<x.) =/(aj + n j /'(« + jj + ^ if "[a) ' (2a) { '
On emploiera la première formule (2fl) si [a -h nw) est plus près de a que de (<2 -f- w), la seconde (3a) si (a — nw) est plus près de a que de {a — fv) ; et si, dans le tableau donné ci-dessus des fonctions et de kurs différences, on imagine une droite horizontale dans la région de la valeur de la fonction qu'on veut interpoler, il faudra toujours se servir des différences qui sont les plus rapprochées de la ligne horizontale, soit en dessus^ soit en dessous. On n^a pas besoin d'avoir égard aux signes des différences, il faut seulement corriger chaque différence de manière qu'elle se rapproche de celle qui est de l'autre rôle de la ligne horizontale. Par exemple, si l'on emploie la première formule, et que l'argument tombe entre a et a -f-|«', la droite horizontale passera entre /"'(«) et /"(a -\- i); il faudra donc ajouter à /*"(«)
Donc suivant que/'^(a) sera plus grande ou plus petite que y'(rt 4- i), f"[cL) sera diminuée ou augmentée par cette correction, et ainsi s'approchera toujours àef"[a-^\).
On atteint encore une exactitude plus grande, si Pon prend pour dernière différence^ la moyenne arithmétique des diffélances qui sont les plus rapprochées de la ligne* horizontale. Nous désignerons la moyenne arithmétique des deux différences, en conservant le même nombre d'accents, et en mettant entre
INTERPOLATION. 3l
parenthèses la moyenne arithmétique des deux arguments, de sorte que
Alors, contrairement à ce qui avait lieu précédemment, on a des fractions pour les différences d'ordre pair, et des nombres entiers pour les différences d'ordre impair, de sorte qu'aucune ambiguïté n'est à craindre. Par exemple, si l'on s'arrête à la seconde différence, dans cette extrapolation, on prendra la moyenne arithmétique entre /''(«) et /''(a -f- 1), c'est-à-dire /'\a -+- I); au lieu du terme
on prendra le terme c'est-à-dire
Lorsqu'on ne prenait que/''(«), tout le troisième terme manquait, tandis que maintenant il manque seulement
Ainsi, pour nz=z\^ Terreur qui ne dépend que des différences troisièmes est exactement nulle.
Pour le cas de « = y, interpolant au milieu de l'intervalle, il est indifférent d'employer la formule (2) ou la formule (3), car on peut interpoler en avant avec l'argument a, et en arrière avec a-\- w. LsL combinaison des deux équations donne une for*
32 ASTRONOMIE SPHÊRIQUE.
mule plus commode. Pour w = y, la formule (2) devient
/(« + -; «<) =/(«) + ;-/'(« + {) + ^il^'/"(«)
Au contraire, la formule (3) appliquée à l'argument a -\- w donne
/(a + » =/{a ^i)^ \f\a +1) + ^iUlzil /"(«+,)
Si l'on prend la moyenne arithmétique des deux formules, les termes contenant les différences d*ordre impair disparaissent, et on obtient, pour Tinterpolation faite au milieu de Tintervalle des arguments, la formule suivante qui est très-oomniode et ne contient que les moyennes arithmétiques des différences d'ordre pair
OU
OÙ la loi de formation est évidente.
ExEivfPLE. — Cherchons la longitude de Mercure pour janvier ^^11^, Nous emploierons la formule (2^) et les différences
suivantes :
Diff. I. Diflf. II. Diff. III. Diff. IV.
Janv.4 3i7° 7'29'',5 -h2i'32'',4 ** -h 10", i
Ici n=. j\ donc en ne faisant aucune attention aux signes
et Ton obtient
Moyenne arithmétique des
Diff. IV o° o' f4 X r'i ~ o° o' 3",2
Diff. III corrijjées o. 2.5i ,3X77 = 0, i.ii ,4
Diff. II corrigées 0.22.43 ,8 X f =0. 8.3i ,4
Diff. I corrigées 7 . 1 3. 39 ,0 X v ^== ^ .48. 24 ,7
la longitude de Mercure pour janvier 4,5 est donc
Si Ton cherche la longitude pour janvier 5,5, on emploie la formule (3^), et l'on prend les différences qui se trouvent des deux côtés de la ligne horizontale inférieure. On trouve ainsi :
^ Janvier S^^^ longitude = 322° 36' 56'', 7.
Gomme application de la formule (4«), nous chercherons la longitude pour janvier 5,o. Nous obtenons
Moyenne arithmétique des
Diff. IV X — Ti = — o*» o' i",4
Diff. II corrigées X — i^= — o, 2. 52, 3
Valeurs de la fonction . . =: 320.48.34 ,7
et, par suite, la longitude pour janvier 5,o est
Formons maintenant le tableau des valeurs interpolées et de leurs différences :
(*) Hansoo a donné dans ses Tables de la Lune des Tables qui facilitent remploi des formules précédenies.
34 ASTRONOMIE SPHËRIQUE.
Diff. I.
Diff. H.
Diff. III.
Janv. 4)0
La régularité de la marche des différences montre l'exactitude du calcul de l'interpolation. Cette preuve, au moyen des différences, est souvent employée dans les calculs servant à la détermination d'une série de valeurs d'une fonction dont les arguments croissent par intervalles égaux. En effet, si par exemple il s'est introduit dans le calcul de /{a) une erreur a:, le tableau des différences deviendra le suivant :
/{rt-h2ri^) y"(«-h2)
On voit ainsi que le calcul des différences met en évideùce Terreur commise sur la valeur de la fonction, et que la plus grande irrégularité se manifeste dans la ligne horizontale contenant la valeur inexacte de la fonction.
i5. Calcul dss dérwées d'aune fonction donnée par des valeurs numériques, — Il arrive souvent qu'on ait à employer les valeurs numériques des dérivées d'une fonction dont l'expression analytique est inconnue, et qui n'est donnée que par une série de valeurs numériques correspondantes à des valeurs équidistantes de l'argument. Pour trouver dans ce cas les valeurs numériques des dérivées, on se sert des formules d'interpolation.
Si Ton développe la formule d'interpolation de Newton suivant les puissances de /?, on a
on a aussi, par le théorème de Taylor, €l par la comparaison des deux séries,
On trouve des valeurs plus commodes pour les dérivées à l'aide de la formule (2) du n° 14. Introduisons dans cette formule les moyennes arithmétiques des différences d'ordre impair en posant
nous obtenons
formule qui contient les différences d'ordre pair qui se trouvent sur la même ligne horizontale que f[a), et les moyennes arithmétiques des diflerences d'ordre impair qui sont des deux cotés
36 ASTRONOMIE SPHËRIQUE.
de cette ligne. Si on la développe suivant les puissances de n on a
et, par suite,
d'fia)^ I
[/» - :-/^{«) + tIt/''"('') -. • .],
Si Ton cherche les dérivées pour une valeur de la fonclion qui n*est pas comprise dans les données, par exemple f[a + nw)^ on remplacera dans ces formules a par (« -h /ï), de sorte que
Mf^ = i-r/'(«+«)-i/>-H.)
d^ fin -i- nw) t r ^», N 1 -r / V 1
da^ w
Les différences que Ton doit employer ne se trouvent pas dans ie tableau, il faut les calculer; pour les différences d^ordre pair^ par exemple /"(« -h 72 ), cela est facile, car on peut les obtenir par rinterpolatioD ordinaire en considérant /''(«),/"(« -4- «),... comme les fonctions, et les différences troisièmes, comme leurs différences premières. Quant aux différences d'ordre impair, ce sont des moyennes arithmétiques, et Ton doit tout d*abord trouver une formule pour Tinterpolation des moyennes arithmétiques. Nous avons
et, par la formule (2) du n° 14,
I • 2 • o /'(« + I + /i) =/'(« +{-)+ n/"(a) + "J^Lt^r^a + 1)
On obtient ainsi, en prenant leur moyenne arithmétique, la formule d'interpolation des moyennes arithmétiques :
/'(« + r,)=f\a) + nr{a) + -^/"{«)
^if'-^"^^- TTTs /"W+---'
les deux termes
ri^ ^ n
proviennent en effet de la moyenne arithmétique des termes
qui donne
38 ASTRONOHIE SPHÉRIQUE.
En combinant les deux termes qui contiennent f^^[a)y on pourra écrire ainsi la formule précédente
. l/'[a + n)=/'{a) + nf"{a)
Lorsqu'on donne une série de valeurs numériques d'une fonction dont les arguments procèdent par intervalles égaux, on peut, avec les formules (5), (6) et (7), calculer les valeurs numériques des dérivées de cette fonction pour un argument quelconque, au moyen des dilTérences d'ordre pair et des moyennes arithmétiques^ des différences d'ordre impair.
On peut encore trouver pour ces dérivées d'autres formules dans lesquelles on emploie les différences d'ordre impair et les moyennes arithmétiques des différences d'ordre pair.
En effet, si dans la formule d'interpolation (3) du n° l^- on introduit la moyenne arithmétique des différences d'ordre pair, en posant
et remarquant que
on obtient
Si l'on remplace n par n -\ — ? la loi des coefficients devient
plus simple, et on a
En développant celte formule suivant les puissances de /?, on obtient, d'après la formule (4) du n** 14,
+ 6fc^'^^"^^'—-]
La comparaison de cette formule avec le développement de
4o ASTRONOMIE SPHÉRIQDE.
/[« -f- (« H- î ) fv] donné par la série de Taylor, montre que
da
si-'"*-*''--]
Ces formules sont stirtout commodes quand on veut calculer les dérivées d'une fonction pour un argument qui est la moyenne de deux arguments consécutifs. Soit Targument a -\- [n -{- ~) w^ on aura
et alors on calculera la différence /'(a + { -f- /i) et généralement toutes les différences d'ordre impair par les formules ordinaires de l'interpolation. Comme les différences d'ordre pair sont des moyennes arithmétiques, la formule à employer ?e déduira de la formule ['^) pour Tinterpolation des moyennes arithmétiques d'ordre impair, en y remplaçant a par a -t- y et en augmentant tous les accents d'une unité; on aura, par exemple,
f"[a -t- l + n) =f"{a -I- i) -(- nf'"[a + \)
Exemple. — Dans le Jahrhuch de Berlin de 1848, on trouve, pour les ascensions droites de la Lune,
h h m 8 Dîff. I. Diff. H. DifT. 111. Diff. IV.
Juin. 12. O l6 l4 26,33 m g
Si Ton cherche la dérivée première pour juillet i3, 10^, 11** et 12'*, à Faide de la formule (9), on doit d'abord calculer pour ces époques les différences premières et les différences troisièmes. La troisième des différences premières se rapporte à Targiiment juillet i3, 6^; elle est /'(a -h ~). Pour 10**, 11^, 12^, n sera respectivement j, -j^, ~. Si Ton interpole d'après la méthode ordinaire, on obtient
Pour 10^ -f-25"'57',n — 2%5i,
Pour II*» H- 25. 58 ,81 — 2 ,58,
Pour 12** -1-26. o ,49 — 2 ,64.
Pour un intervalle w= 12**, les dérivées sont donc
Pour ïo^ H- 25™ 57% 21,
Pour II**... -{- 25 . 58 , 92 ,
Pour 12**.. -1-26. 0,60;
si l'on veut les avoir pour i** d'intervalle, on doit diviser par 12, et Ton obtient les valeurs suivantes
Pour 10** -H 2*° 9% 77»
Pourii** -f-2. 9,91,
Pour 12** -f-2.io,o5,
qui expriment pour ces époques le mouvement horaire de la Lune en ascension droite.
4^' ASTRONOMIE SPHÉRIQUB.
On aurait pu employer la formule (6), qui renferme les moyennes arithmétiques des différences d'ordre impair; alors, en prenant a ==: juillet i3, 12^ et /i := — |, ce qui correspond «^ juillet i3, 10^, et en remarquant que diaprés la formule (7)
/'(a-')=-(-25"-56',77 et /> i)= a'.Si,
on aurait obtenu pour valeur de la dérivée
Les différences secondes sont
Pour 10** -4- 20% 55,
Pour 11*^ -{-20,34,
Pour 12^ -f- 20 , 1 2 .
En retranchant le douzième des différences quatrièmes et divisant par i44> ^^ obtient les dérivées secondes :
Pour 10** -i- 0% 1432 ,
Pour II"* H- 0,1417,
Pour 12** -f- o , 1 402 ,
où l'heure est prise pour unité de temps.
Remarque. — Consulter sur l'inlerpolalion le Mémoire de Enckc, dans le Jahrbuch, pour i83o, et le Mémoire déjà cité sur les quadratures mécaniques, dans le Jahrbuch, pour 1837.
ni. — Théorie de quelques intégrales définies employées
EN Astronomie sphérique.
