INTÉGRALES DÉFINIES

Jr»oo e~^dt est une transformation de Tintégrale eu-

lérienne de première espèce, qu'on appelle fonction'gamma. Pour celte intégrale, on emploie la notation

(l) / e-'a:«->^.rz=r(tf),

OÙ a est toujours une quantité positive, et on trouve en même temps

1 e^' .r «-' elx = I e-* d l^\ == e-' — -{- ~ i x'' e-' dxj la partie en dehors du signe I s'annulant aux limites, on obtient

Jr*co . /»oo

I e-' x*^-^ dx := - I e-'x^'dx, o « Jo

ou bien

(2) «r(fl) =rrr(«4-i).

Mais, comme on le voit facilement.

e-'dx ==r(i) = 1,

On trouve donc pour n entier

Si Ton pose, dans Téquation (i), x=z t^, on aura

Jo

•t^tn''-^)-^^dt=zT[a), J o

etpourû = |,

r e~^^dt^-{T{\).

Jo

Pour trouver la valeur de cette intégrale, on la multiplie par

er-y^ dy^ ce qui donne

a 00 \ 2 /»QO /»00

e-'^ dt\=\ <?-'- dt j ^-/* dx

Jr*co /»oo / e-l''+r')dtdx.

Si Ton pose maintenant j^ =»j:^, alors âfj = tiLc, et on obtient

a 00 \ 2 /^OO /»00

et comme

Jo 2(14-

on aura

(r--')=CrT.

et ainsi

=: Y (arc tangoo — arc tango) = 7»