IX

" ' dir,

cos^Ç-f-— sin^Ç

et par suite

/"^ xe-'sm'C, , — r , , Tl

/ A=^^V^[(-l-T')^(.)4--|, y/.cos'Ç + - sin'Ç

OÙ

Tr=y/|cotç.

On obtiendra aussi

,0) r Ji=^^:Ê^.-d.=^ph^T)m-\\

19. Remarques préliminaires. — Forme des équations de condition données par les observations. — En Astronomie, on détermine constamment les grandeurs par Tobservation. Mais quand on observe plusieurs fois un même phénomène, on doit trouver des résultats différents pour chaque observation ; car l'imperfection

des instruments employés et celle de nos sens introduisent dans les observations des causes simultanées d^err^urs qui altèrent les résultats. Il est donc important d'établir une méthode à Taide de laquelle, et malgré les erreurs de chaque observation, on puisse de l'ensemble des observations déduire un résultat aussi approché que possible de la vérité.

Les erreurs que l'on rencontre dans chaque observation peu- Tent être divisées en deux classes : elles sont en effet constantes ou accidentelles. Les premières sont communes à toutes les observations et peuvent tenir soit à une propriété particulière de rînstrument employé, soit à la personnalité de l'observateur (*) qui produit dans chaque observation la même erreur. Les erreurs accidentelles au contraire sont difTérentes dans chaque observa tion tout aussi bien par leur grandeur que par leur signe, et, par suite, n'indiquent pas l'existence d'une cause agissant toujours dans le même sens. CTn peut éliminer ces dernières en multipliant le plus possible les observations; car on doit s'attendre à ce que, dans un très-grand nombre d'observations, le résultat propre à chacune d'elles soit aussi souvent trop grand que trop petit. Le résultat final sera encore affecté des erreurs constantes, s'il en existe, aussi longtemps, par exemple, que le même observateur emploiera le même instrument. Pour éliminer ces erreurs, on changera la méthode d'observation, l'instrument et l'observateur, de telle sorte qu'en combinant les résultats obtenus au moyen de chaque méthode, ces erreurs deviennent des erreurs accidentelles, et que, dans le résultat final, elles se compensent en grande partie Tune par l'autre. Dans ce qui va suivre, on considérera donc toutes les erreurs comme accidentelles, en supposant que les méthodes aient été assez multipliées pour rendre cette hypothèse admissible. Dans le cas où ceci n'a pas lieu, il faut regarder les résultats obtenus par les méthodes suivantes comme affectés d'erreurs constantes.

Quand on détermine une grandeur par uûe mesure directe, il

(*) Voir, à la fin du seoond volume, une Note de M. Wolf sur Péquation personnelle.

est naturel de prendre la moyenne arithmétique de toutes les observations comme une valeur s*approchant le plus près possible de la vérité. Souvent on ne détermine pas une grandeur isolée par l'observation directe, mais on trouve des valeurs qui donnent certaines relations entre plusieurs quantités inconnues, et Ton peut toujours supposer que les équations entre les grandeurs observées et les inconnues sont linéaires. En général, il est vrai, la fonction /(Ç, lî, Ç, . . .) qui lie les grandeurs observées et les inconnues 1, 13, ^, . . • n'est pas linéaire; mais si Ço> ^o, ^o?- • • désignent des valeurs approchées des inconnues, qu'on peut toujours déduire facilement des observations, et Ço-h ^^ ^o-^y^ ÇoH- z». •• les valeurs exactes des inconnues, chaque observation donnera une équation de la forme suivante :

d%f^ dno aÇo

en supposant que les valeurs adoptées soient assez approchées pour qu'on puisse négliger les puissances supérieures de Xyjr^z, .... Ici /(Ç, >î, Ç, . . .) est la valeur observée, /(So» »îo» î^o» • • •) celle que Ton a calculée au moyen des valeurs approchées des inconnues; dès lors /(ïo, >îo, Ço5 • • -j — /(Ç> j?, Ç, ...)=: « est une

quantité connue. Désignons — ■» ~— • -7— ^ • • • par a, Oy c,. . . ,

rtÇo drio «Ço

et distinguons par des accents les grandeurs de même espèce se rapportant à des observations différentes. Les diverses observations donneront des équations de la forme

O =^ n -\- ajc -{- bj' -h cz ~[- . . , O z= Tî' + a^jc -\- b'x -h r'z -^- . . . ,

dans lesquelles .r, /, z, . . . sont les inconnues à déterminer, et n la différence entre la valeur calculée et la valeur observée de la fonction de ces inconnues. Nous aurons autant d'équations quMl y a d'observations; le nombre de ces dernières doit être pris assez grand pour que les valeurs obtenues pour ^, /, z, . . soient autant que possible indépendantes des erreurs d'observation; de plus, comme on le voit facilement, les observations doivent être

telles, que les coefficients <z, ^, c, . . ., dans ces differeni.es équations, aient des valeurs diverses.; car, si par exemple deux des coefficients étaient presque égaux ou proportionnels dans toutes ces équations, les valeurs des deux inconnues correspondantes ne pourraient pas être séparées.

Pour obtenir à Taide d^un grand nombre de pareilles équations les meilleures valeurs des inconnues, on emploie quelquefois la méthode suivante. On change les signes de certaines équations pour donner le même signe à tous les coefficients de x; la somme de toutes ces équations en fournit une où le coefficient de x est le plus grand possible. On trouve de même des équations analogues pour jy z, . . .; on a ainsi autant d*équations que d'inconnues, et par leur résolution des valeurs déjà fort approchées de ces inconnues. Cette méthode a toujours quelque chose d'arbitraire, et il est préférable de traiter ces équations par la méthode des moindres carrés, qui donne une idée de l'approximation du résultat. Si les observations étaient parfaitement exactes, un nombre d'équations égal à celui des inconnues suffirait pour trouver les valeurs exactes des inconnues; mais chaque valeur de n tirée des observations est en général affectée d'une certaine erreur; par conséquent si Ton substituait les valeurs exactes de ^9 y% ^9""> aucune des équations ne serait satisfaite. Désignons par A Terreur qui en résulte, et que nous appellerons erreur résiduelle^ lefs équations précédentes s'écriront ainsi :

A = n -h ax '■]- bjr -{- cz -\- . . . y

et le problème est maintenant celui-ci : « Déduire d'un grand nombre de pareilles équations, celles des valeurs de x, y, z, . . . qui sont, de toutes les valeurs possibles, les plus probables. »

20. Loi des erreurs d'^ob sensation, — Mesure de la précision des observations, — On peut admettre que les petites erreurs sont plus probables que les autres, que les observations les plus exactes sont les plus fréquentes, et que les erreurs qui dépassent une

certaine limite ne peuvent se présenter. La présence d'une certaine erreur sera donc régie par une loi déterminée, qui dépend de sa grandeur elle-même. Soit m le nombre de toutes les observations^ et supposons qu'une erreur de grandeur A se présente p

fois, — sera la probabilité de l'erreur A, que nous désignerons

par f (a). Cettte expression ^ (A) sera nulle quand A surpassera une certaine limite; elle sera maximum pour a= o et- possédera des valeurs égales pour des valeurs de A égales et de signes con traires. Puisque /> = wy (A), dans les m observations il se présentera i7i(p{A) erreurs de grandeur A, w«y(A') erreurs de grandeur A',. . .; mais le nombre de toutes les erreurs doit être égal au nombre des observations; on doit donc avoir

Cette somme, qui est l'erreur totale, doit être prise entre certaines limites — k et -\-k\ mais puisque, par hypothèse, f(A) est nul en dehors de ces limites, il est indifférent de prendre cette somme entre les limites — h et + X ou entre les limites — oo et +od . De plus, comme toutes les valeurs de A comprises entre ces limites sont admissibles, car aucune grandeur ne peut être donnée entre —X- et H-X sans qu'elle soit une erreur possible, le nombre des erreurs, et par conséquent celui des ?(A), est infiniment grand, et, d'après l'équation précédente, chaque ^ (A) est un infiniment petit. La probabilité qu'une erreur soit comprise entre certaines limites est égale à la. somme des valeurs de 7 (A) comprises entre ces limites; si ces deux limites sont infiniment rapprochées, <j>( A) peut être considéré comme constant dans Tintervalie, et ç(A) d^ exprime là probabilité qu'une erreur soit comprise entre A et A -f- dùk, La probabilité qu'une erreur soit comprise entre les limites a el b est donc exprimée par l'intégrale définie

(p(A)rfA,

et par ce qui précède,

D'après les principes du calcul des probabilités, siy (A), ^(A'),... sont les probabilités des erreurs A, A', ... , la probabilité de la présence simultanée de toutes ces erreurs est égale au produit des probabilités des erreurs isolées. Désignons par W la probabilité de la présence d\ine série d'erreurs A, A',. . . dans un certain nombre d'observations, nous avons

Si donc, pour certaine^ valeurs adoptées de or, j, z, . . . , les erreurs A, A', A",. . . expriment les erreurs résiduelles des équations (i), W est la probabilité que ces erreurs ont été commises et représente la mesure de la probabilité du système des valeurs de jc, j^, «.... Chaque autre système de valeurs de j?, jr, 2... donnera aussi un autre système d'erreurs résiduelles, et les valeurs les plus acceptables pour ^r, j^, z,... seront celles qui rendront maximum la probabilité que ces erreurs aient été commises, et par conséquent celles pour lesquelles la fonction W est un maximum; pour la détermination de ce maximum, il est nécessaire de connaître la forme de la fonction 7 (A).

Plaçons- nous maintenant dans le cas où Ton aurait une seule inconnue, et supposons que l'observation ait donné les m valeurs /i, «', n'\ ... ; prenons pour valeur la plus probable de x la moyenne de toutes les observations :

m d'où

(û ) . n — X -\- n' — X -\- n" — jc -h . . . = o ,

n — Xy n' — X, n" — x, . . . correspondant aux erreurs A, de telle sorte que n — j: = A, n! — j:i= A', . . . . Mais, pour la valeur la plus probable de x, W est un maximum; différentions l'équa -

tion (2) après avoir pris les logarithmes:

dt^ dx

Or, dans ce cas,

db. dts!

donc

dx dx

é/log9(/2 — x) ^logy(/2' — x')

d log<p(/2 — x)

, , . f/logcpf/î' — x)

(/< — or) rt(/î — A)

Mais si la moyenne arithmétique est la valeur la plus probable qui puisse être adoprée, les équations [à] et [h) doivent donner pour X la même valeur, et l'on doit avoir

I c?log(p(72 — or) I ^log<p(/î' — x) __

où /• désigne une constante. On obtient par conséquent, pour déterminer la fonction 9 (A), Téquation

d'où

log9(A)=j^A^-hlogC,

^(A) = Ce' .

Quant au signe de k, on peut le déterminer facilement; car f(A) diminue quand Aaugmente, donc k doit être négatif; en conséquence, nous poserons | /• = — A% et par suite y(A) = CÉ?~'*'^'. La valeur de C est donnée par Téquation

if(à)d^=iC 1 t-^^^'^dà — i,

et puisque 1

d'où

et enfin

e-*' dx =

^SJt:,

/» H- 00 J — oo