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La constante h reste la même pour un système (Inobservations également lionnes, c'est-à-dire pour lesquelles la probabilité d'une certaine erreur A reste la même. Dans ce système^ la probabilité qu'une erreur soit comprise entre — ^ et -\-à est

— / e-f^'^'d^=-^ / e-''dx.

Dans un autre système d'observations, la probabilité d'une erreur A est exprimée par -^e~^*"^', et la probabilité qu'une er-

reur soit comprise entre les limites — ^' et H- ^' est

4= / e-A"AVAz=4= / e-''dx.

Les deux intégrales sont égales si h§=:h^S'; et par conséquent si h=z2,h\ il est clair qu*une erreur 7.x est aussi probable dans le second système qu'une erreur x dans le premier. Le premier système est donc d'une exactitude deux fois plus grande que le Second, et la constante h peut dès lors être considérée comme mesure de la précision ou module de la convergence des observations.

21. Erreur moyenne, — Erreur probable, — Au lieu de la mesure de la précision des observations, on emploie plus habi-

MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 5q

tuellement Terreur probable. Dans une série d'erreurs rangées par ordre de grandeur absolue, et où chacune d'elles est écrite autant de fois qu'elle se présente réellement, on donne à celle qui occupe exactement le milieu le nom d'erreur probable. Désignonsla par r; la probabilité qu'une erreur soit comprise entre — r et -j-r est égale à {, et on a l'équation

OU, si Ton pose hAz=zty

4= f^' tr^''dc=-, doù f^'e-'^dt^^' Slizjo ^ Jo 4 •

Cette intégrale atteint la valeur

y;![ =0,44^11 lorsque /i/'=:o, 47694 (*)»

et, par suite, la relation entre r et h est

nhr

L*intégrale -p / e~^^dt donnera la probabilité d'une er-

reur moindre que n fois l'erreur probable, et si l'on calcule,

par exemple, la valeur de l'intégrale pour /i z= —5 on prendra

nhr= o, 23847^ ^^ ^" trouvera 0,264 pour la probabilité d'une erreur qui est moitié moins grande que Terreur probable; c'està-dire que sur 1000 observations, il s'en présentera certainement 264 où Terreur est plus petite que la moitié de Terreur probable. On trouve de même en faisant successivement n égal

(") Voir pour le calcul de cette intégrale le n® 17.

6o ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

à -, 2, -• 3, -î 4) ' S ^I"® *"'' looo observations, il y <n

aura

plus petite que \ - r,

OÙ TeiTCur sera

et, quand on compare ainsi une longue série d*erreurs d'observations arrivées réellement, on peut se convaincre que la présence d'une erreur de grandeur déterminée s*accorde presque exactement avec les résultats de cette théorie.

On peut encore arriver, d'une autre manière, à la valeur de Terreur probable d'une certaine série d*observations. Supposons qu'on ait une série d'erreurs réelles d'observations A, A',...; la probabilité de leur présence simultanée est

rr '

et, si Ton suppose (jue ces erreurs aient lieu réellement et ne puissent varier beaucoup, le maximum de W dépendra seulement de hy et cette valeur de ^, pour laquelle le maximum a lieu, sera la valeur la plus probable qui convient à ces observations. Dési gnons, pour abréger, la somme des carrés de toutes les erreurs A, A', . . . par [AA], en sorte que

nous aurons pour la condition du maximum

e- AMAAi __ 1:1 — f-AMAAif^^]

tt'- n

d'où résulte

La' racine carrée du quotient de la somme des carrés des erreurs vraies d'observation par le nombre des observations, s'appelle erreur moyenne de ces observations; si celle erreur avait été commise sur chaque observation, elle aurait donné pour somme des carrés d'erreurs Celle que l'on a réellement. Désignons-la par e, en sorte que

nous avons alors

hsji r=r 0,47694 \/2e,

rz=: 0,674489 8.

22. Détermination de la valeur la plus probable dUtne inconnue déduite d'un système d'équations et de son erreur probable. — Nous pouvons maintenant résoudre le problème proposé : « Déduire du système d'équations (i) donné par des observations, les valeurs les plus probables des inconnues x, j, z, . . . , leurs erreurs probables, ainsi que celles de chaque observation. »

Dans l'expression (2), de la fonclion W, qui donne la probabilité de la présence simultanée des erreurs A, A', A",. . ., substiluons, au lieu de «p(A), ç(A'),..., leurs valeurs tirées de l'équation (3); nous aurons, si toutes les observations sont è^nlement bonnes,