TT
Ici A, A', ù!\. , . ne sont pas les erreurs réelles d'observation, et dépendent encore des valeurs de a:, y, «>• . .; mais, pour les valeurs les plus probables de jr, /, z, . . . , la probabilité de la présence simultanée des erreurs résiduelles doit être aussi grande que possible, et ces mêmes erreurs doivent être aussi égales que possible aux erreurs réelles que Ton doit attendre dans un nombre donné d'observations; on voit donc que les valeurs des inconnues devront être déterminées par Téquation
A' 4- a'» -f- a''» h- ... — minimum ,
c'est-à-dire que la somme des carrés des erreurs résiduelles dans réquation (i) est un minimum. De là vient le nom de méthode des moindres carrés donné à ce procédé de déterminer à l'aide d'équations semblables les valeurs les plus probables des inconnues.
Plaçons-nous d'abord dans le cas le plus simple^ celui où les valeurs des inconnues sont données par des observations directes ; on peut alors adopter pour valeur la plus probable la^moyenne arithmétique de toutes les observations, comme cela résulte aussi de la condition précédente du minimum.
Soient, en effet,
Hzrzx — /l, A' = Jr' — », a" =r x" — /!,...
les erreurs résiduelles correspondantes à des valeurs quelconques de JT, et désignons
la somme « -h w' -4- /j" -I- . . . par [/?J, la somme /î^-h n'^-{- n"'^-\- . . . par \nn\
et le nombre des observations par m\ nous obtenons, pour la somme des carrés des erreurs résiduelles :
\ (j: — /i)*= mx^ — 2j:[/i] -\~\nn\
= \nn\ — ^—^ -i- w Lr — ^— J ) :
cette équation montre que la somme des carrés des erreurs est
un minimum lorsque
et, dans ce cas, cette somme a pour valeur
Pour trouver l'erreur probable de ce résultat par rapport à une inconnue a: quand on connaît Terreur probable d'une observation isolée, on a besoin de traiter un problème que nous résoudrons d'une manière générale, à cause des applications qu*on en fera dans la suite : « Trouver l'expression de l'erreur probable d'une fonction linéaire de plusieurs variables Xy x\ . . . dont les erreurs probables sont données. »
Soient r Terreur probable de x^ etX = aa? une fonction linéaire de or; il est clair que ar est Terreur probable de X. En effet, si x^ est la valeur la plus probable de x^ olxq est la valeur la plus probable de X^ et le nombre des cas dans lesquels a? sera compris entre les limites x^ — r et x^ -\- r est égal à celui des cas dans lesquels X sera compris entre clx^ — ar et olx^-\- car.
Soit maintenant X une fonction linéaire de deux variables
et soient a et a' les valeurs les plus probables de x et x' , r et / ' leurs erreurs probables. Puisque, pour les erreurs de x et x\ nous
ce* pouvons prendre h:= - et /*'=r —? où c=i 0,47694, la probabilité d'une valeur quelconque de x est
et celle d'une valeur quelconque de x'
c -pi (*'-«')' e
par conséquent, la probabilité de la présence simultanée de deux valeurs quelconques de x et de x* est
c^ - [tI U— «)'+ ^j U-'-«')»]
et la probabilité de la présence simultanée de deux valeurs de x et x\ qui satisfont à Péquation x -t- a' = X, s'obtient en remplaçant dans l'expression précédente x' par X — .r. Désignons cette probabilité par W, nous avons
rr Tz
Faisons maintenant la somme de tous les cas dans lesquels un x se combine avec un x' pour produire X, et donnons à x toutes les valeurs comprises entre — oo et -h oo , c est-à-dire prenons par rapport à x l'intégrale de W entre ces limites; nous aurons considéré tous les cas dans lesquels X sera obtenu, c'est-à-dire que nous aurons déterminé la probabilité de X.
Réunissons tous les termes qui contiennent x et donnons -leur la forme quadratique, nous obtiendrons facilement l'intégrale deW sous la forme suivante ;
^ ar
où Ton pose
c Jr' H- /-'^ / /.'(X — rt') 4-r''«\
rr' \ r^-^r'^ }
et, puisque
Jo 2
on obtient, pour probabilité d'une valeur de X,
s/r^ 4- r'~' sfi
aiÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS. 65
Cette expression est maximum quand X = âf-ha'; la valeur
la plus probable de X est ainsi égale à la somme des valeurs
les plus probables de x et x' ^ et puisque la mesure de la pré-
cision de celte détermination est ? il en résulte que
\/rM-^ est Terreur probable de X.
De plus, en combinant ce résultat avec celui qui précède, on voit que si
l'erreur probable de X sera égale à
On peut facilement étendre cette proposition à un nombre quelconque de termes; ainsi dans le cas de trois termes, on en prendra deux d'abord, puis on combinera le résultat avec le troisième. Par conséquent, si l'on a une fonction linéaire quelconque,
X = aj: -h afx -h ol" x" -I- . - ,
et si /*, r' y r'\. . . sont les erreurs, probables de .r, x\ x'\ . . ., l'erreur probable de X sera égale à
On en conclut immédiatement l'erreur probable de la moyenne arithmétique de m observations, quand l'erreur probable de chacune d'elles est r; car puisque
l'erreur probable est
m — ou -^
Il résulte de là que le rapport de l'erreur probable de /// observations il l'erreur probable d'une seule est --^j ou que le
66 ASTRONOMIE SPHÊRIQUE.
rapport de la mesure de la précision de la moyenne à celle d'une
hsl'm observation est — ; — *
Souvent aussi on exprime la précision relative de deux grandeurs par leur poids. On désigne sous le nom de poids d'une grandeur le nombre d'observations également bonnes qu'il faut prendre pour que leur moyenne arithmétique donne une détermination d'exactitude égale à celle de la valeur donnée. Si donc le poids d'une observation isolée est i , la moyenne arithmétique de m observations aura m pour poids. Les poids de deux grandeurs seront donc entre eux dans le rapport direct des carrés des mesures respectives de leur précision et dans le rapport inverse des carrés des erreurs probables (*).
Il reste maintenant à déterminer Terreur probable d'une observation isolée. Si, dans les équations x — « z=z A, les erreurs résiduelles étaient, après l'introduction de la valeur la plus probable de X, égales aux erreurs réelles d'observation, la somme de leurs carrés divisée par m donnerait, d'après le n° 21, le carré de l'erreur moyenne d'une observation, c'est-à-dire que cette erreur
serait égale à ii- — —• Mais, la moyenne arithmétique des observations faites n'est pas la vraie valeur de l'inconnue, elle n'est que la valeur la plus probable qu'on puisse tirer de ces observations, sauf le cas où le nombre de ces observations serait infiniment grand; les erreurs résiduelles ne sont donc pas les erreurs réelles d'observation, mais en diffèrent plus ou moins. Soient .t:^ la valeur la plus probable de x trouvée par la moyenne arithmétique, et .r H- Ç la véritable valeur. En substituant cette valeur dans les équations de condition, on obtient pour les erreurs d'observation les valeurs x^ — n^ x^ — w',..., que nous désignerons par A, A',..., tandis que la substitution de la valeur véritable aurait donné pour ces erreurs les valeurs
(*) Si donc deux grandeurs ont pour poids ;?= -- et ;?'= — > le poids de leur somme sera ~ rr = —^ — .
Od a d'ailleurs les équalions
Si l'on fait la somme des carrés des deux membres, et si Ton se rappelle que la somme de tous les A doit être nulle, on obtient, d'après la notation employée plus haut,
[AA]-4- w?2 = [5(î],
d'oii l'on voit que la somme des carrés des erreurs trouvée à Faide de la moyenne arithmétique est toujours trop petite.
Puisque [S3]z=: me^, e étant Terreur moyenne d'une observation, et que [AA] = [w/Zi], cette équation peut s'écrire encore
Quoique cette équation ne permette pas de calculer la valeur de e puisque Ç est inconnu, on pourra néanmoins approcher autant que possible de la vérité en substituant à g Terreur
moyenne de jtoj et comme) d'après ce qui précède, cette erreur
g moyenne est égale à -—9 Tiutroduction de cette valeur donne,
pour Terreur moyenne d'une observation.
et pour Terreur probable
De plus, Terreur moyenne de la moyenne arithmétique est
et l'erreur probable
Exemple. — Dans la détermination télégraphique de la différence des longitudes de l'Observatoire de Ann-Arbor et de la station hydrographique de Détroit, on a obtenu, au moyen de trente et une étoiles différentes observées le 21 mai 1861 dans les deux lieux, les différences de longitude suivantes :
Différence
Écart
Différence
Écart
de
de
de
de
oiles.
longitude.
la moyenne.
Étoiles.
longitude.
la moyenne.
