II
Moy.
\ trouve, pour la
somme des a
irrés des
erreurs résiduelles,
fini] —
et, puisque le nombre m des observations est égal à 3i, l'erreur probable d\iiie observation isolée est
o%i64, et Terreur probable de la moyenne
Quoiqu'on ne puisse pas admettre qu'avec aussi peu d'observalions, les erreurs seront distribuées comme l'indique la loi donnée au n^21, on peut cependant être convaincu que Ton a, dans ce cas, une approximation suffisante. En effet, d'après la théorie
avec trente et une observations, les nombres des erreurs qui sont plus petites que
jr, r, |r, ar, |r, 3r, sont respectivement
tandis que ces nombres sont, d'après le tableau ci-dessus,
Uerreur qui est exactement placée au milieu, dans le tableau des erreurs rangées par ordre de grandeur absolue, c'est-à-dire Terreur probable, est o, i8.
23. Détermination des valeurs les plus probables de plusieurs inconnues tirées d^un système d^ équations, — Dans le cas général où les équations de condition (i) données par les observations contiennent plusieurs inconnues, trois par exemple, les valeurs les plus probables de ces inconnues sont encore celles pour lesquelles la somme des carrés des erreurs résiduelles est un minimum. Mais cette somme de carrés devant être un minimum tout aussi bien par rapport à œ que par rapport à j et 2, cette condition donnera autant d'équations que d'inconnues, et ces dernières pourront alors être déterminées.
L'équation du minimum relativement h x est
db. , dû,' „ dû,"
^-—^ti!-~ -I- A" — - H- . . . — o, dx dx ax
j, , , . . , . dùk db' ,
ou puisque, d après les équations (i), — =za, — — = « , . . .,
dx dx
A/2 -h A'fl'-f- ^"a"-\-.. .r=0.
Substituons pour A, A%. . . leurs expressions tirées de (1), et
I posons
I aa -\- a' a' -^ a" a" -\- . . z=z[aa^^
ab -^ a'b'^ a" ^'' -f- . . . = [ab] ,
et ainsi des autres; nous aurons, pour les équations du minimum,
(A) [aa]x -\-[ab]x -h[ac]z -^[an]=:o,
(B) [ab]x-^[bb]x -h [^c]z rf- [A/i] =0,
(C) [ae]a: -h [bc]x -h [cc]z-h [cn\=o.
On tire de ces trois équations les valeurs les plus probables de X, y et 2.
Pour les résoudre, multiplions la première par p — ^î et retranchons le produit de la seconde ; multiplions de même la première par \ — \^ et retranchons de la troisième; nous obtenons
\aa\
deux équations ne contenant plus x
(E) [ôc,]j-f-[rc,]3-h[r/i,] = o, dans lesquelles on a posé
et ainsi des autres.
f bCy 1
Multiplions ensuite réquation (D) par [ , , -i^ et retranchons de (E), nous aurons Téqnation
(F) [ccj] z 4- \cn^\ — o, dans laquelle
L'équation (F) donne la valeur de 2, et les équations (D) «( (A) les valeurs de y et de x.
Si Ton déduit maintenant [AA] des équations (i), et si Ton se reporte aux équations (A), (B), (C), on trouve pour la somme des carrés des erreurs résiduelles
[AA] = [w/i] -1- \an'\x 4- [^z?] j -f- [c/z] z.
Pour éliminer or, j, z, on multiplie Téquation (A) par ^ — -^f et on retranche de la précédente, ce qui donne
r hn 1
Après avoir multiplié Féquation ( D) par . . .'o retranchons de la précédente, il vient
et en remplaçant z par sa valeur tirée de Téquation (F), on obtient enfin^ pour le minimum de la somme des carrés,
[anY [bn,f [en,]' r .
On aurait pu obtenir Téquation du minimum sans l'emploi du calcul différentiel. Multiplions en effet chacune des équations primitives (i) successivement par ojc, by, cz, et ajoutons-les, nous «lurons
où
( [a^]z=z[aa]jfr -]-[nb]x -{- [ac]z -i-[an]
En substituant à .r dans (a) sa valeur tirée de (b), on obtient
[c) [AA] = Lî^ + [^A.]7 4- [c^\]z 4- [^A.],
L J où
j [b^,] = [bb,]x^[ùc,]z-h[bn,],
[d] ' I [rA,]=[^c,]jr + [cr,]2H-[c/ï,],
( [/îA,]=r[^^,]7 H- [r«,]3 + [/î/î,].
Si maintenant dans (èr) Ton remplace f par sa valeur tirée de U\ première des équations (a), il vient
équation dans laquelle
\ [nA,] = [cn.,]z -+-[nn,],
et enfin, après avoir dans réqualion (^), remplacé z par sa valeur tirée de la première des équations (/), on a
r . r^Ap r^Ai? \cà,v
' [aa] [ôb,\ [CC2]
où, comme on le voit facilement,
Puisque dans le second membre de Téquation (g) les trois premiers termes qui contiennent .r, j-, z sont des carrés, il faut, pour obtenir le minimum de la somme des carrés des erreurs, poser [flrA]=:o,[^A,]z=o, [cAjj^zzo, équatious ideutiqucs avec celles trouvées pins haut; il en résulte, de plus, que le minimum du carré des erreurs est [72/23].
24. Détermination de l'erreur probable des inconnues, — On peut pour cela se servir du théorème énoncé dans le n** 22 relativement à l'erreur probable; les équations (A), (D), (F), relatives aux valeurs les plus probables de .r, j-, z, montrent en effet que ces valeurs peuvent être considérées comme des fonctions linéaires des grandeurs observées /?, n\ n'\ ....
Si Ton veut tirer .7: de ces trois équations, il faut multiplier chacune d'elles par un certain coefficient choisi de telle sorte que, dans réquation formée par leur somme, les coefficients de y e\ i^e z
soient nuls. Multiplions (A) par ^ ,> (D) par ■ , , ? (F) par
Yaa\ ' ^ L^^iJ
9 et ajoutons les trois résultats, nous aurons pour détcrmi-
[cc,]
ner A' et A" les deux équations de condition
r^^i , r bc,\
et pour trouver x
Pour déterminer j, on multiplie (D) par • •> (F) par — =»
on ajoute et on a et
• ' ^ [bb.y " [cr,j
et en6n
[D z — — l — ii.
Si Ton développe les quantités [bn,] et [cn^], on obtient facilement
(>,} [bn,]=:A'[an]-h[bn],
(S-) [en,] = A'\an] ^- B'[bn] -+- [en];
en raison de la symétrie des grandeurs renfermées entre crochets, il sera permis d'échanger les lettres et d'écrire aussi
(t) [bb,]=iA'[ab]-^[bb],
(y.) [cc,]=z A''\ac] 4- B'[bc] -f- [ce],
(X) [bc,] z= A"[ab] + B'[bb] -{-[bc]=:o,
(p) [ac,] = X'\aa] -f- B'[ab] H- [^7^] =r o {•).
Puisque [««], [^^1] et [c/ia] sont des fonctions linéaires des//, on peut aisément déterminer les erreurs probables de ces grandeurs. D'abord [an] = an -\- a^ n^ 4- fl"/i" -f- . . . . Soit donc r Terreur probable d'une observation ou d'un /?, alors Terreur probable de [an] est
r{[an]) znz r \Jaa -f- a a' -h a" a" -\- , . . r= r\j[aa].
C"^) On voit dti suite à Paide des équations (a), (/3) el (^] que les do-.ix dernières expressions sont nulles.
Déplus, dans f^«i], chaque terme a la forme (A' a -h b)n. Pour élever ce terme au carré, multiplions d'abord par A'/î/?, puis par bn, nous aurons, pour le coefficient de /z^,
M[k'aa -h ah) -{- k' ab 4- bb.
Telle est donc la forme du coefficient de chaque r' dans l'expression du carré de l'erreur probable de [^/ii]; on aura par conséquent
[r\bn^^Y=\k![hl\ah\^lab\)^-kI\ab\~^\bb^r^ ou
r\bn,\ = rsl\bb;\,
comme il résulte immédiatement des équations (a) et (t). Enfin, le coefficient de chaque n dans [c/?,] est
En l'élevant au carré, on obtient
k''{k''aa + B'ab -h ac) -h B^k'^ab + B'^3 -4- bc) •4- A'' /7c -f- B' ^>c H- c<?.
Si Ton prend maintenant la somme de tous les carrés isolés, on aura pour le coefficient de r^ dans l'expression de {^[cn2]y,
k''(k''[aa]-^ B'[ab]-h[ac]) -hB' {k''[ab]-hh'[bb] -h[bc]) . +A''[ac]-f-B'[^c]+[cc],
ou simplement [ccj), d'après les équations (z), (X) et (pi); ainsi
r[f/72] = ry/[cf,].
On trouve facilement, dès lors, les erreurs probables de :r,jr tH z. D'après l'équation (7 ), on obtient, en effet, pour le carré de Terreur probable de x,
[aa\ [bbt] [ce,]
On a de même
'"'"■ = '• im* r^)
et
Il nous reste encore à déterminer l'erreur probable d'une observation. Siy dans les équations primitives (i), on donne à x^y^ z des valeurs quelconques, on peut écrire la somme des carrés des erreurs de la manière suivante :
[aa\ {bb,\ [ccj]
Dans le cas où Ton remplace x, /, z, par leurs valeurs les plus probables résultant du système des équations^ les grandeurs [aÂ], [iAc] et [cA,] sont nulles, et [/z/^s] est la somme des carrés des erreurs résiduelles. Ces valeurs ne deviennent les valeurs véritables que lorsque le nombre des observations est in6niment grand. Supposons maintenant que les erreurs véritables soient connues, et qu'on les substitue dans les équations précédentes, [AA] serait la somme des carrés des erreurs véritables; de sorte qu'on aurait
où les grandeurs [âr A], [èAi] et [cAj] ne seraient pas nulles, mais ne pourraient différer beaucoup de zéro. Puisque ces grandeurs sont élevées au carré, on voit que la somme des carrés des erreurs trouvées au moyen des valeurs les plus probables est trop petite, et, pour se rapprocher de la vérité, on peut, dans le cas du minimum, remplacer hes grandeurs [ûA], [^A,], [cAj] par leurs erreurs moyennes. Mais comme dans les équations
aXf^ 4- ^Xo -r czo -h « = A ,
aucune des grandeurs du premier membre, autre que/i, n'est affectée d'erreur, A est donc affectée de la même erreur que /?, et les erreurs moyennes de [^A], [^Aj] et [cA,] sont égales à celles
qu'on a trouvées pour [an], [^«1] et [c/ïj], Substîtuons-les dans les équations précédentes, nous aurons
on
y tn —
Ainsi, dans le cas d'un nombre fini d'équations avec plusieurs inconnues, on aura Terreur moyenne d'une observation en divisant la somme des carrés des erreurs que donne la condition du minimum, par le nombre des observations diminué du nombre des inconnues, et prenant la racine du carré du résultat.
De même, Terreur probable d'une observation sera
liemarque I. — Dans ce qui précède, on a toujours supposé que toutes les observations employées à la détermination des inconnues sont également bonnes; si tel n^est point le cas, et si Ton désigne par h^h'^h", .., la mesure de la précision d^une observation isolée, la prot>abiUté des erreurs A, A', A'',. . ., pour chaque observation isolée sera
La fonction W aura pour valeur
