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et les valeurs les plus probables de Xy y, z seront celles pour lesquelles I;i
somme
sera minimum. Pour les obtenir on devra donc multiplier les équations primitives de la série par h, h',..^ faire les sommes avt-c les nouveaux coeflicicnts et conduire le calcul' comme précédemment.
Remarque II, — Si Ton a une seule inconnue à déterminer, et si les équations primitives données par les observations ont la forme
0=«-h«r, o = n'-+-«'jr, 0 = «"-+- a" Jr, ..,
X sera égal à 1 avec Terreur probable /•= » r étant Terreur
probable d^une observation. *
2w. Exemple. — Pour éclaircir ce qui précède, nous traiterons l'exemple suivant tiré du 7® volume des Kœnigsberger Beohachtungeny p. xxiii, où Bessel détermine les corrections à faire à la constante de la réfraction. Des cinquante-deux équations contenues dans ce Mémoire, nous choisirons seulement les vingt suivantes, que nous supposons de même poids, et dans lesquelles le terme numérique désigne une grandeur tirée de l'observation des étoiles, y la correction de la constante de la réfraction, et X Terreur constante dont on suppose affectés tous les résultats d'observation.
La forme générale des équations de condition est dans ce cas
n-=z X -\- bjr \
puisque le coefficient désigné ci-dessus par a est égal à Tunité, et les équations de condition déduites de l'ensemble des observations de chaque étoile sont :
Erreurs résiduelles.
a Petite Ourse o = +0,02 H- a: -h o^ijr — o,o3
P Petite Ourse o = + 0,45 + ^-1- 8,27 +0,43
pCéphée 0 = + 0,10 + ^-4- «0,1/ 4-0,14
a Grande Ourse .. . o = — 0,14 4-^-f- 36, oj^ — o,o3
a Géphée o = — 0,62 -h j;-4- 43,9/ — 0)47
^ Céphée o=— 0,25 + ^4- 65, 9 j 0,00
e Céphée o = — o,o3-}-^4- 74,97 -1-0,26
fxCéphée o = — 1,24 + 2^4- 77?^^ —0,94
a Gassiopée 0=4-0,59 + ^:4- 75,5jr 4-0,88
7 Grande Ourse ,. . o = — 0,47 4-«c-l- 79j6j —0,16
P Dragon 0= 0,004- J? 4- 104, 5/ 4-0,42
7 Dragon o = — o,5i 4-^4- ii4?37* —-0,04
îî Grande Ourse .. . o = — 1 ,204-^4- i25,6jr —0,68
a Persée o = 4-0,12 -i-^4- i4îi>i7 4-0,72
a Cocher o = — i ,3i 4- j: 4-2i6,8j —0,37
«Cygne o = — 1,64 4-^4-254,8/ — o,53
6 Cocher o = — 1,394-^4- 280,2/ —0,16
7 Andromède o =-- 1,24 4-^4- 393,5/ 4-o,5i
»! Cocher o = — 1,80 4-^4- 419?^/ 4-0,06
p Persée o =— 2, 16 4-^ H- 481,2/ —0,01
Pour trouver les équations qui donnent les valeurs les plus pro-
bables de ^ et j [équations (A), (B) du n° 23], on doit d^abord former toutes les sommes [««], [«^3» [^^]y [^^] et [bn]. Dans le cas actuel, où les inconnues sont en petit nombre, et où Tun des coefficients est égal à i , ce calcul est très-facile ; mais si Ton a un grand nombre d'inconnues^ dont les coefficients sont^ par exemple, a, by c, d,,,, on fera bien de calculer les sommes algébriques de tous les coefficients de chaque équation, que nous désignerons par 5, et de former avec elles les sommes [a^], [ôj] , . . . ; car on a ensuite les formules de vérification
[ns] = [an] -h [bn] -h [en] -^ [dn] [as] = [aa] -^ [ab] -h [ac] -f- [nd]
Ces sommes une fois formées, on trouve les équations qui déterminent les valeurs les plus probables de or et jr :
2O,O0a:H- 3oi4,70j — 12,72 = 0,
3oi4i7oa: -f- 844586,25/ — 3700,55=0,
et leur resolution se fait d'après le tableau suivant, qu'on peut facilement étendre à. tous les cas :
[«<?] = 4- 20,00, [«^] = 3oi4>70, [tf/2]r:r — 12,72, [rin]=: 20,28;
Calcul de x-
[aa\ [û^i] ^ ^
[ôô,] =4- 390 165,45 [^/?i]= — 1783,20
W^[bbi]z= 5,5912483 log[Ô/î,] r=r 3,25l 200 I «
iogr = 3,6599518
Calcul de x.
\o^[ab]x= 1,1391759
[û^Ïj— 13,7776
[aa].*=:z — 1 ,0576 X = — o", 05288.
Si Ton formait, les grandeurs [«^.], [bs],.,., on obtiendrait encore dans le cas précédent pour vérification du calcul [ ^&, ) = [ ^^, ] ; avec trois inconnues, on aurait
[bb^]-h[bc^]=:[bs^] et [cc2]=:[cs,],
et de même pour un plus grand nombre d*inconnues.
Pour déterminer les erreurs probables de .r et ^, le calcul se (ait comme il suit :
[/z/z] =20,28 [/î/2i] =12, 19 [fla ]=;:-{- 20, 00
[anf [bn,Y q ^ [abf
ip— ^ zriz 8,09 TTr^= 8,i5 TnT= + '<^»7^
[nn,]=zi2^ig [nni]=: 4î04 • [fia,] — -h 9,2.4
r(^)=: -=4=: ==ho", loSiôg,
rfr)=:-T= == zh o'^ 000 5 1 1 8,
d'où l'on voit que le calcul de x, au moyen des équations précédentes, est très-inexact, puisque son erreur probable surpasse la valeur trouvée, mais aussi que Terreur probable de la correction trouvée pour la constante de la réfraction est au plus égale au j de sa valeur.
Si Ton substitue les. valeurs les plus probables de j: et y dans les équations précédentes, on obtient les erreurs résiduelles que nous avons déjà placées à côté de chaque équation. £n formant la somme des carrés de ces erreurs résiduelles, on a 4)^4' valeur qui s'accorde avec celle de [«/îj], nouvelle preuve de l'exactitude du calcul.
Remarque. — Consulter sur la méthode des moindres carrés : Gacss. — Theoria motus corporum calestium, p. 2o5 et suivantes. Gacss. — Theoria comhinationis obsen>aUonum errorihus minimis ohnoxiœ. Encke. — Articles du Jahrbuch, de Berlin, pour i834, i835, i836et i853. LiAGRE. — Calcul desprobahilités et Théorie des erreurs, — Bruxelles, i852. Bebtrand. — Traduction française des Mémoires de Gauss, sur la Cornhinaison des observations » — Paris, i855.
8o ASTRONOMIE SPHfiRIQUE.
