PAR DES VALEURS NUMÉRIQUES

26. Théorèmes concernant les séries périodiques. — Les fonctions périodiques sont fréquemment employées en Astronomie, quand il s'agit, par exemple, de trouver les périodes dans lesquelles certains phénomènes se reproduisent. Puisque ces phénomènes sont toujours renfermés entre certaines limites qui ne peuvent devenir infinies^ on peut les représenter par des fonctions des sinus et cosinus d'une variable. Soit donc X une telle fonction périodique; on peut lui supposer la forme suivante :

X = <7j, H- «1 cos'x -f- ûr, cos 2 .r -h «3 cos 3 iT -h . . . 4- bx sinar 4- ^a sin2a: -h Jjsin 3j: 4-. . ..

Le cas le plus fréquent est celui où Ton donne, pour des valeurs déterminées de Xy les valeurs numériques de X au moyen desquelles on doit calculer les coefficients. La solution de ce problème sera surtout facile, si Ton connaît les valeurs numériques de X pour la série des valeurs de x

27r 27r 2ir liv

o, — » 2 — 9 i — >«'i in — i) — n n n n

correspondantes aux points de division de la circonférence en n parties égales* et tout d'abord nous démontrerons quelques théorèmes dont remploi rendra la solution plus facile.

Soit A une fraction de la circonférence, telle que /îA:=2 7r, et h un nombre entier ; la somme de la série

sin A A -f- sin 2 /i A H- sin 3 // A H- . . . -f- sin f /i — \)hK

est toujours nulle, et celle de la série

I -h cos^A -I- cos 2/1 A -\- cos 3^ A -h. . .-+- ci)s(/i — i)hk

est nulle, en exceptant le cas oCi hk est égal à 2ir ou à un multiple de 2 7r ; alors la somme de la série est égale à /i. Posons, en effet,

. aie 271" . . 27t » -- ^

cos h / sin — =z e " = T,