TRANSFORMATION DES COORDONNÉES

de la grande distance des étoiles, cet axe, dans toutes ses positions, paraît percer la sphère au même point, le pôle du monde, dont la distance au pôle d&récUptique e&t de 33^ 3o'; de même dans ce mouvement de rotation Péquatenr terrestre reste toujours parallèle à lui-même, il se déplace pourtant dans le cours d^une année de tout le diamètre de Torbite terrestre. Mais, k cause de la distance infinie des étoiles, les intersections de la sphère céleste et de tous les plans avec lesquels Téquateur terrestre coïncide successivement se confondront toujours avec le grand cercle dont les pôles sont les pôles du monde; et les lignes suivant lesquelles ces plans se coupent seront toujours dirigées vers les points d^intersection de Téquateur et de Técliptique.

II. — Transformation de ces différents systèmes de coordonnées.

34. Transformation de i 'azimut et de la hauteur en angle horaire et déclinaison. — Supposons le lieu d'un astre donné par son azimut et sa hauteur, et cherchons à déterminer son angle horaire et sa déclinaison. Pour cela nous ferons tourner Taxe (les z du premier système de coordonnées dans le plan des xz, de Taxe 'des x positifs vers Taxe des z positifs, d'un angle égal à 90® — (p («p étant la hauteur du pôle), car les axes des y coïncident dans les deux systèmes; les formules (i a) de la transformation des coordonnées ou les formules de la Trigonométrie sphérique appliquées au triangle formé par le zénith, le pôle et l'étoile donneront {*)

sin^ = sin<psin/i — cos^cos/i cosA, cos(îsinr= cos/isinA, cos(î cosr = sin A cos<p -H- cos/i sin^ cos A.

Afin de transformer ces formules en d'autres plus commodes pour le calcul logarithmique, on pose

sin/i = //jcosM, cos/i cosA = /// sin M,

{*) Les trois côtés de ce triangle sont respectivement

et les angles opposés

ty iSo^'-^A et Tanglo à Tétoile.

ty8 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

et oii obtient

sin$ =:m sin (^ — M),

cos^ sin t = cosh sin Â,

COS(îcOSr=: /W COS((p — M).

Ces formules donnent sans ambiguïté les grandeurs cherchées, car chaque élément est donné par son sinus et son cosinus; leurs signes déterminent donc le quadrant dans lequel se trouve Fextrémité de Tare qui le mesure. «

Les quantités auxiliaires m et M ont une signification géométrique facile à trouver. A ce point de vue leur introduction revient à remploi des deux triangles rectangles déterminés par le grand cercle abaissé de l'étoile perpendiculairement sur le côté 90** — ^ ou sur son prolongement, et dont la somme ou la différence forme le triangle sphérique obliquangle. En effet, M est donné par la relation

tang^ = cosAcotM,

et il résulte de la troisième des formules (16) du n*^ 8, que M est l'arc compris entre le zénith et le pied de la hauteur du triangle. D'un autre côté la première des formules (10) montre que la hauteur P du triangle se déduit de Végalité

sin A zrr cos P cosM ;

et en comparant cette formule avec Tune des précédentes

sin// z= wcosM,

on voit que m est égal au cosinus de cette hauteur.

E?^EMPLE. — Soient

ff= 52î°3o'i6",o h = 16. 11.44 9^ A z= 202. 4* i5 ,5