TRANSFORMATION DES COORDONNÉES
Le calcul sera le suivant.:
cosA 1 ,9669481/1 m sinM. ... i ,9493620/7
cosA 1,9824139 /TicosM.... 1,44^4744
sinA 1 ,5749045^ M=:— 72® 35' 54", 61
sinM.... 1,9796542/?
(p — M = i25«6'io%6i
sin((p — M).... 1,9128171
ces (y — M).... 1,7597036/2
cos^sinr. .. 1,5573184/2 sin^... 1,8826249
cos^cosf. .. 1,7294114^ cos^. . . 1,8104999 r=2i3»56'2",22 ^=:-i-49°43'46>o
cos/... 1,9189115/1
35. Transformation de Vangle horaire et de la déclinaison en azimut et hauteur. — Dans la suite, on aura plus fréquemment à résoudre le problème inverse : Un lieu étant donné par son angle horaire et sa déclinaison, on veut trouver son azimut et sa hauteur. Les formules du n*' 3 relatives à la transformation des coordonnées donnent les équations suivantes :
sin ^ =: sin y sin § -f- cos(j) cos<^ cos^, cos^ sin A = cos à sin ty cosh cos A = — cos^ sin^ -f- sin<p cos^ cos/,
formules auxquelles on donnera une forme plus commode par rintroduction d^un angle auxiliaire. Posons, en effet,
cos^ cos/ = m cos M,
sin^ = //i sinM;
il en résulte
sin // == m cos (y — M),
cos h sin A = cos $ sin r,
cos A cos A =2 m sin(f — M),
lOO ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
OU aussi
cosM tangr
" sm((j) — M)
, cosA ,^.
^'°g^'=tang(y-M)'^^-
Dans le cas où Ton cherche la distance zénithale seule, les for mules suivantes sont commodes. De la première des égalités précédentes on déduit poursin^ ou cosz
t cosz = cos (ip — S) — 2 cosf cos^ sin' -
ou
sin' - = sin^ h coso coso sm* -•
Posons maintenant
n z=i sm 5 m = y^^* ? coso ,
il vient
sin' - = mM 1 H sin' -
OU, SI I on pose — sm - = tangN,
sin - = — et sm - = -: — —sm-»
2 cosN 2 smN 2
Lorsque sinN est plus grand que cosN, il est préférable d'employer la seconde formule.
£n outre, comme nous le verrons plus tard, il faut, dans la formule qui sert au calcul de /i, employer f — S pour les étoiles qui passent dans le méridien au sud du zénith, et ô — ^ pour celles dont la culmination se fait au nord du zénith.
Appliquons les formules de Delambre au triangle formé par le
(*) Puisque Tazimut est toujours du môme côlé du méridien que Tangle horaire, il n''y aura jamais d^ambiguïtc pour le choix du quadrant.
TBANSFORMATION DES COORDONNÉES. lOI
zénith, le pôle et Fétoile; nous obtiendrons, en désignant par p Tangle qui a son sommet à l'étoile,
z , A — p . i . o cos — sin == sm - sm
cos — cos = cos — cos -
. Z . A-\-p . t « sin - sm =r in -- cos ^
sm — cos — z=: os - sin
Comptons l'azimut à partir du point nord, comme on le fait dans le cas de Tétoile polaire ; en d'aufres termes, remplaçons A par i8o.** — A dans ces formules, nous obtenons
Z./J-+-A t d — © cos - sin = cos - cos >
cos - cos = sin - sin 7
sm - sin =: cos - sm ?
sin - cos = sin - cos •
Il arrive souvent que pour une même latitude, on a à faire un grand nombre de ces transformations (*). Dans ce cas on abrège beaucoup le calcul en réduisant en tables certaines des quantités à déterminer. La transformation suivante est surtout commode. On avait
[a) sin// = sin f sin ^ + cos 7 cos (^ cos/,
[b) cos h sin A = cos $ sin /,
[c) cos// cos A = — cos ç sin ^ -4- sin ^ cos ^ cos r.
{*) Si, par exemple, on veut observer des étoiles données par leurs ascensions droites et leurs déclinaisons, à Taide d^un instrument sur lequel on ne peut lire que les hauteurs et les azimuts, il faut d'abord calculer Paiiglo horaire à Paide de Tascension droite et du temps sidéral.
Désignons par Ao et ^o les valeurs de A et ^ qui correspondent 'd h = o dans les équations précédentes, et qui, par suite, sont données par les équations
(d) o = sin® sint^o -♦- cos^ cos^a cosf,
[c) sinAo = cos^o sin^,
( /) cos A 0 = — cos (f sin ^o -h sin ^ cos ^o cos i.
Multiplions Téquation (/) par cosip, Téquation (d) par sin 7, et retranchons la seconde de la première. Multiplions l'équation (/) par sin ^, et Téquation (^) par cos (p, et retranchons la seconde de la première, nous obtenons
cosAt cos y = — sin ^09
cosAo sinf = cos^o cos/,
sinAo = cos ^0 sin r.
Posons ensuite
sin^ = sin 7 cos B,
cos y cos t =z sin 7 sin 6 ,
cos^ sin/ = C0S7 ;
l'équation (d) donne
0 = sin7sin(<yo-l- B) ou
et réquation (a)
sinA = sin7 sin((î 4- B).
De plus, retranchons le produit des équations (c] et (e) du produit des équations (^) et (/), nous avons
cos^sin(A — Ao) =: cosysin/sin(^ — ^0) = COS7 sin(^ -f- B);
de même au produit des équations (c) et (/) ajoutons le produit des équations (^) et (^) et celui des équations (e) et (e/), nous obtenons
cos h cos (A — Ao) = cos 9 cos S^ sin^ / -f- sin 5 sin ^» -4- cos S cos ^0 cos'/
= cos(^ — ^0) = cos(^ -f- B).
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. Io3
Le système entier de formules est ainsi :
Ssinep = sin7CosBy ^.j . cosf cosr= sin7 sinB,
( cosç sinf = C0S7;
IsinB = cosAo cos^ , cosB cost = cosAo sin^ y cosB sin/ = sin A»;
l sinA =r:sin7sin((î -f-B),
(3) < cosAcos(A — Ao) = cos(^-h B),
( cos/i sin(A-- Ao) = cos7sin(^-f- B).
Posons
D=::sin7, €==0057, ^ — A«=:tt;
ces formules donnent
tangB = cot(p cos/, tangAo = sin(p tangf,
sinAr=Dsin(B-t- ^), tangw = Ctang(B-f-<î), A = Ao -h «.
D et C sont les sinus et cosinus d'un angle 7 donné par l'équation
C0I7 = sinB tangr = cot(j>sinAo (*).
Ces formules ont été données par Gauss dans les Tables auxiliaires de Schumachery nouvellement éditées par Warnstorff, p. i35, etc. On réduit ces grandeurs D^ G, B et Ao en Tables dont l'argument est t\ le calcul de la hauteur et de Tazimut, au moyen de Pangle horaire et de la déclinaison, se trouve alors ra-
C^) On a en effet diaprés les formules (a)
cot (f sin A, = sin B tang t .
Io4 ASTRONOMIE SPHËRIQUE.
mené à celui des formules
siD^=:Dsin(B-l- 5), taûgtt=:Ctang(B4-^), '
A = Ao-+- «.
Dans les Tables auxiliaires de Warnstorff on trouve une Table de ce genre, calculée pour la latitude de TObservaloire d'Altona. Il suffit d'ailleurs de calculer ces Tables de ^ =: o à / = ô**. Car Téquation tângAo = sin^ tang^ montre que Ao et e sont toujours compris dans le même quadrant, et qu^ainsi à un angle horaire égal à 12** — t correspond un azimut égal à i8o'* — A. Il résulte de plus de Téquation relative à B que cet angle est négatif si f^S^ ou >go", et qu'avec un angle horaire 12^ — t, on doit employer la valeur — B. Au contraire, les grandeurs
G = cos7sin/ et D == ySn^f + cos^wcos^
ne changent pas si Ton remplace / par 180® — t. Dans le cas où e serait compris entre 12^ et 24**, on ferait le calcul avec le complément de ^ à 24^ et, au lieu de la valeur trouvée pour A, on prendrait son complément à 36o°.
Ici encore il est facile de trouver la signification géométrique des angles auxiliaires. ^0 et Ao sont les valeurs de ^ et A correspondant à une valeur nulle de h dans la première des équations primitives; S^ et A» sont donc Tun la déclinaison, Tautre Taûmut du point où le cercle horaire mené par Tétoile coupe l'horizon. De plus, comme B = — ^q, B + 5 est Tare SF (fig. i) du cercle horaire prolongé jusqu'à l'horizon (*). Considérons le triangle FOK, rectangle en K, formé .par l'horizon, l'équateur et le côté FK = B, et dans lequel Tangle en O est égal à 90® — ^ ; on aura, en lui appliquant la sixième des formules (10) du n'* 8,
sin <j> = cosB sin OFK.
Mais on a aussi
sin 9 = DeosB;
{*) Dans cette figure P. est le pAIe, Z le zénith, OH Pborizon, OA Péquateur et S Tétoile.
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. Io5
donc D est le sinus et par conséquent C le cosinus de i^angle OFK.. Enfin, comme on le voit facilement , l'arc FH == A« et Tare
Fig. I.
On trouve aussi les formules données précédemment par la considéralion des trois triangles PFH, OFK,, SFG rectangles en H, K, G. Le premier triangle donne
tangÂo == tang^siuf,
le second
langB = cot <f cos/,
coty = sinBtangr = cot«psin Ao;
* et le troisième
sîn/f =:sin7sin(B H- S), tangif nr C0S7 tang (B H- 5) .
On peut se servir de grandeurs auxiliaires analogues pour la résolution du problème inverse traité au n® 3ky c'est-à-dire pour le calcul de l'angle horaire et de la déclinaison d'une étoile à Taide de sa hauteur et de son azimut. On a, en effet, dans le tiîangle SLK rectangle en K, en désignant LG par B', LK par »', AL par A',, le cosinus de l'angle SLK par C» son sinus par D%
C'tang {h — B') r=:iangtt', D'sin(/i — B')==sin(î,
Io6 ASTRONOMIE SPHÊRIQUE.
et
OÙ
tangB' = cotf cosA, taogA', =: siof taDg A ;
et D' et G' sont les sinus et cosinus d'un angle 7' donné par Téquation
coty' = sinB' tang A.
Ainsi pour le calcul des grandeurs auxiliaires on a les mêmes formules que plus haut, avec cette seule différence que Tazimut A remplace partout l'angle horaire /. On peut donc se servir des Tables auxiliaires précédentes, à la condition de prendre pour argument Tazimut exprimé en temps.
36. Angle para llacti que, — Formules différentielles relatives aux deux transformations précédentes, — La cotangenle de i'angle 7, que Gauss désigne par E, peut servir à calculer l'angle ayant pour sommet l'étoile, dans le triangle formé par le pôle, le zénith et l'étoile. Cet angle compris entre le cercle vertical et le cercle de déclinaison s'appelle angle parallactique ; il est fréquemment employé. Si Ton possède les Tables auxiliaires, indiquées ci-dessus, Tables dans lesquelles on a introduit aussi la quantité E, on calcule aisément cet angle, que nous désignerons par />, à l'aide de la formule
obtenue en appliquant au triangle rectangle SGF de lay%. i la cinquième des formules (10) du n** 8. Si au contraire, on n'a pas ces Tables à sa disposition, on se servira des formules
cos^ sin/7 = cos({) sinr,
cos/i cos/? = cos ^«sin^ — sini^ cos^ cos/,
que donne le triangle SPZ ; et en prenant
cosf cosf = n sinN, sinf = /icosN,
tràitsforhàtion des coordonnées. 107
on obtiendra
cos // sinp ■= ces ç sin f ,
cos// cos/? = n cos ( ^ -f- N ),
formules commodes pour le calcul logarithmique.
On emploie Tangle parallactique, par exemple, dans le cas où Ton veut calculer Tinfluence d^ine petite variation dans Tazimut et la hauteur sur Tangle horaire et la déclinaison. On a, en effet, en appliquant au triangle déterminé parle pôle, le zénith et l'étoile, la première et la troisième des formules (11) du n** 9,
dS = cosp dh -\- cosf df^ -f- cos h sin/» ^ A, cos§dt z= — sin/? dh 4- sin^ sin^^(p + cos A cosp ^A,
et pareillement
dh = cos/? d$ — cos A dff — cosiî sin/? dty cos h dA. = sin/? d$ — sin A sin A ^<p -f- cos^ cosp dt,
37. Transformation de ^ascension droite et de la déclinaison en longitude et en latitude — Pour passer de l'ascension droite et de la déclinaison à la longitude et à la^latitude, il suffira de faire tourner l'axe des z" (n** 32) dans le plan des y" ^\ de Taxe des j'' positifs vers Taxe des z" positifs, d'un angle s égal à l'obliquité de Técliptique. Les axes des x" et des x'" coïncident dans les deux systèmes : on déduit des formules (i ^r) du n° 1
cospcosX = cos 5 cos a, cosp sinX = cos^sina cose + siuiî ^ins, sin p = — cos^ sin a sin e -h sin^ cos« .
On aurait encore pu obtenir ces formules par la considération du triangle sphérique déterminé par l'étoile, le pôle de Féquateur et celui de Técliptique. Les trois côtés ont pour valeurs 90°—^, 90** — p, ej les angles opposés, 90° — >, 90® -h a et l'angle à l'étoile.
Pour rendre les formules précédentes calculables par logarithmes, on emploie les grandeurs auxiliaires
, , (M sinN = sîn^,
McosN = cos^sina, ,
Io8 ASTRONOMIE SPHËRIQUE.
et les trois équations deviennent
cos p cos A = cos^ cosa , cosp sin> =: Mcos(N — i), sinp =:Msin(N — e).
Cette méthode offre de plus l'avantage qu'on peut déterminer
toutes ces auxiliaires par leurs tangentes; il suffit de remplacer M
, cos^sina ,,
par sa valeur rr— ? et 1 on a
cosN
tang^
tangN= -r-^9 ^ sma
{i}) l , . cos(N- i)
cosN
lang^ = — zzzn^ — ^^^S^»
tangp = tang(N — e) sinX.
Les formules primitives donnent X et p sans aucune ambiguïté; mais si Ton fait le calcul à l'aide des formules {b), le quadrant dans lequel se trouve X ne parait pas tout d'abord bien déterminé. La formule de vérification
COSp COSX =: cos ^ cos a
permet de lever la difficulté, et montre qu'il faut prendre X dans un quadrant déterminé par le signe de tangX et par la condition que cosa et cosX aient le même signe.
Gomme vérification du calcul on peut encore emplover Téj^alité,
, » cos(N — e) cospsinX
(cl ——^^—^^^^^ ^
cosN cos^sina
obtenue par la division des équations
cos^sinX =: Mcos(N — «), cos (^ sin a = M cosN .
L'interprétation géométrique des grandeurs auxiliaires est facile : N est l'angle que l'arc de grand cercle mené par Tétoile et
