TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. IO

Véquinoxe du printemps fait avec Téquateur, et M le sinus de cet

arc.

Exemple. — Soient

L*einploi des formules (b) et [c) donne

cos^. . . 1,9820131 tanga... i,o6o56o4

tang^... 7,4681562/1 ^^^(N-O .7

- cosN "• 1,0292017» sina... 1,0077093

e=i:-h 23 27.31 ,72 tang(N — g)... i,4ii4653

N-er=r— 92.13. i3 ,60 sinX... 2,0897293»

cos(N — e]... 2,5882086» P = — 17° 35' 37", 53

cosN ... 1 , 5590069 cos p . . . 1 , 9791948

Vérification,

cosp sin> . . . 2,0689241 n cos(î sin a . . . 1 ,0397224

Si Ton applique les formules de Delanibre au triangle formé par 1 étoile, le pôle de Téquateur et celui de Técliptique, on obtient, en désignant par 90® — E Tangle à Téloile qu'on appelle angle de position (Gauss, Theoria motus, p. 64),

sin (45» — ê^ sini (E - X) = cos (45° -f- ï") sin (45° - ^^

sin (45*» — -^ j cos j ( E — )^ ) z= sin ( 45« -h - 1 cos (45° — - 45o£\sin|(E + ;)z=sin(45°-{-^)sin(45<>--* cos(45«-^)cosj(E + >)=:cos(45" + ^^œs(45«-~'-^^

IIO ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

formales particulièrement comniodes, si Ton veut déterminer à la fois "ky p, ainsi que l'angle 90® — E.

Remarque. — Encke a donné dans le Jahrbuch de i83l des Tables qui facilitent beaucoup le calcol approché de la longitude t^t de la latitude au moyen de rascension droite et de la déclinaison. On les obtient par une transformation des trois équations fondamemales du n** 9, tout à fait analoj;ue à celle qui a fourni les- Tables du n^' 35. On trouve des Tables plus complètes dans le Jahrbuch de i856.

38. Transformation de la longitude et de la latitude^ en ascension droite et en déclinaison. — Pour ce cas inverse, on obtient des formules entièrement semblables. Les formules (i) rela> tives à la transformation des coordonnées ou le triangle sphérique déjà considéré donnent

cos 8 cos y. = cos p cos^ , cos^ sin a = cos p sin \ cos e — sin p sin s , sin 8 = cos p sin> sine -t- sin ^ coss.

Ces équations s'obtiennent encore en remplaçant dans les trois équations primitives du n® 37, p par B et ). par — a. De cette manière, on déduit aussi des formules (b)y en cbang^ant encore

Nen — N,

tangp

tangN

sinA

cos(N-f-e) ^""g'^ cosK ^"g^'

tang^= tang(N H- e) sin a,

et de [c)y la formule de vérification

cos(N 4-8) cos^sina

cosN cos p sin X

où N désigne l'angle que fait avec l'écliptique l'arc de grand cercle mené par Tétoile et l'équinoxe de printemps.

Enfin, dans ce ras les formules de Delambre conduisent aux

TRANSFORMATION BBS GOORDONNÉBS. III

équations :

sin ^450- i^sinl(E-i-a) = sinUs- 4- ^ sin ^45» - î^") ,

sin (45° j cos j (E H- a ) = cos ( 45*» H- - ) cos f 4^° — ^^^ ) »

^45o|\sin;-(E-a)z=:cos^45" + ^)sm(45°--î""^

cos

cos

/ 450 j cos{ { E — a) = sin (45*' +*- ) cos f 4^° — —^

Il n'est pas nécessaire de donner un exemple de ce calcul, puisque ces formules s*emploient absolument comme celles du numéro précédent.

Remarque, — Pour le Soleil, qui se meut dans lo plan de récliptiquei les formules se simplifient. En effet, soient L la longitude du Soleil, A et D son ascension droite et sa déclinaison, on a

tang A = tang L cos e,

sin D = sin L sine,

et aussi

tangD = tangcsin A.

39. Angle compris entre les cercles de déclinaison et de latitude, —• Formules différentielles relatives aux deux transformations précédentes. — Les formules de Delambre permettent d'exprimer immédiatement en fonction de X et ^ ou a et §, l'angle à l'étoile dans le triangle déterminé par Tétoile , les pôles de l'équateur ' et de récliptique, c'est-à-dire l'angle compris entre le cercle de déclinaison et le cercle de latitude de l'étoile. En effety cet angle >] est égal à 90** — E. Mais on peut le déterminer sans recourir aux formules de Delambre, à l'aide des équations

cosp sin y} = cosa sine,

cos^cosy] = cose cos^ + sin s sin ^ sin a,

ou

cos^ sinv] = cosX sin s ,

cos ^ cos y] = cosc cos^ — sine sinp sinX,

112 ASTRONOMIE SPHÉRIQUfi.

OU, si on pose dans le premier cas

cose = m cosM, sine sin a = m sinM,

et dans le second

on obtiendra

cose = n cosN, sine sin). =: n sinN,

cos p sin ïj = cos a sin e , cosp cos>3 = m cos (M — ^),

et

cos<^ sin>i = QQsk sine, cos(^coS7] = n cos(N -4- p).

L'emploi de l'angle >3 est surtout utile quand on cherche Teffet d'une petite variation de X, p et e sur a et ^, et réciproquement. On obtient, en effet, en appliquant au triangle considéré la première et la troisième dçs formules (i r) du n° 9,

r/p = cosTîfi?(î — cosB ûnndoL — sinXr/e, cosp<^/X = sinïîf/^. -h cos^cosijr/a -h cos). sinp^e^

et réciproquement,

dBzzz cosïjûfp -h cosp sin>îC?X H- sina«?e, co%§ doL^=i — sin7]<ip -I- cospcosTj^X — cos a sin ^^e.

Bemarque. — Nous avons dit, dans la Remarque précédente, que le ccnlre du Soleil parcourt Pccliptique; mais cela i^est pas rigoureuBement exact, car les perturbations des planètes donnent aii Soleil une pi'tilc latitude boréale ou australe qui ne peut jamais dépasser une seconde d^arc. On doit donc, après avoir calculé Pascension droite et la déclinaison, au moyen des formules données' dans la Remarque du n^ 38, les corriger do rinfliience de la latitude. Si on la désigne par fi, on a los formules différentiel les

cos D dD = cos>7 dB,

et, en remplaçant sin)} etcos}; par leurs valeurs tirées des formules qui donnent cos ^ sinv; et cos^cosi»;, où Pon a fait tout d^a bord /3 = o,

cosD rf A.== — cos A sin « ^R, cos D dD = cos e d\i.