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OÙ — est le moyen mouvement sidéral de la Terre en un jour, c'est-à-dire le mouvement diurne qu'aurait eu la Terre si, pendant
M£SURfi DU TEMPS. II7
le temps t, elle avait accompli nn tour entier autour du Soleil avec une «vitesse uniforme. Le premier membre de la dernière équation exprime en conséquence l'angle que cette Terre fictive aurait décrit autour du Soleil dans le temps (/ — T) d'un mouvement uniforme. On appelle cet angle anomalie moyenne; si on le désigne par M, l'équation précédente devient
M r=E — ^sinE,
et, l'angle auxiliaire E une fois déterminé^ on trouvera l'anomalie
vraie par l'équation
coscpsinE
^ cosE — tf
Dans le cas d'une petite excentricité, il est plus commode de développer en série la différence de Fanomalie vraie et de l'anomalie moyenne. On a indiqué diverses méthodes fort élégantes dont l'exposition nous entraînerait trop loin. Si l'on a seulement besoin de quelques termes, ce qui suffit dans le cas présent, on peut y arriver facilement de la manière suivante. Puisque pour e=zOj V = M, orf a
OÙ v',, ^j\ . . . sont les dérivées successives de v par rapport à e^ dans l'expression desquelles on fait ensuite e = o. Prenons les logarithmes des deux membres de l'équation
cos <p sin E
smv = î 9
I — e cosE
et diiïérentions, nous obtenons
cosv , (iE cosE — e d(fi cosE — e
dv = -^— -■ -I-
sinv smE i — 6'cosE cosy i — ecosE
ou
, sinv . smv , a cos 9 ,„ smv .
f/v= -r--dE-{ do=: ^ dE-] d(p.
sinE coscp r cosy
Différentions aussi l'équation relative à M, en y considérant seu-
Il8 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
leinent £ et ^ comme variables, nous aurons
r/E = sinv//f,
fi?v sÎDv , , c?v sinv .
-r =^ (2-4-/?cosv) et — -= (2-f-ecosv),
fl^ cosy ^ de cos'y ^
et, en faisant e = o, nous aurons v'^ = 2 sinM.
sinv Pour trouver les dérivées d'ordre supérieur, on pose P = — —
cos'<p
et Q=2 -f-^cosv. On obtient facilement, en désignant par P'^, ,
Q'„,... les valeurs des dérivées de P et Q pour e = o,
P'^ =: cosM . Vj, =: sin 2 M , Q'^ z= cosM,
v; =:sinM.Q; 4- aP; = |sin2M,
P'i = cosM.v'i — sinM.v'^'+ 2sinM = ysinSM + jsinM, Q'^ 1= — 2 sinM . v'„ =. — 4 sîn'M,
v'; = sinM. Q; h- 2 q; p; -f- 2 p; = V sinSM — f sinM.
On aura donc
V = M -+- 2(? sin M 4- } e' sin 2 M -{- <?' (jy sin 3 M — \ sinM) H- . . .
= Mh- lie — -r j sinM -4- J e^ sin 2 M H- ffe^sinSM H-
Pour l'orbite de la Xerre en i85o, e = 0,0167712, Si Ton substitue cette valeur et si l'on divise par sin i'' pour tout convertir en secondes, on trouve
vr=M -+-6918'', 37 sinM + 72",52sin2M 4- i '',05 sin 3 M,
où la partie périodique, qu'il faut ajouter à l'anomalie moyenne pour avoir l'anomalie vraie, s'appelle équation du centre.
Puisque le mouvement anguiair.e apparent du Soleil est égal au mouvement angulaire de la Terre autour du Soleil, on obtient la longitude vraie du Soleil, en ajoutant à v la longitude cr du Soleil lorsque la Terre est au périhélie. M + cr sera la longitude
HBSUftE DU TEIHPS. II9
d'un Soleil fictif se déplaçant uniformément sur récliptique, ou la longitude moyenne. Soit \ la première, L la seconde, on a pour la longitude vraie du Soleil l'expression suivante
X = L-+-69i8",37sinM-4-72",52sin2M4- i^o5sin3M (*).
Il nous sera nécessaire, plus tard, de connaître l'expression deX en fonction de L; substituons donc L à M, et comme M =:L — bt et Br=: 28o"2i'4i",o, nous aurons
X =r L + 1244", 3i sinL -f- 68o5",56 cosL
— 67 ,82sin2L-h 25 ,66cos2L
— o ,54sin3L — o ,90cos3L.
L'ascension droite du Soleil et sa longitude sont liées par la relation
tang == tangX cose;
d'oii Ton décfuit (formule 17, n" 11)
A = \ — tang- ~ sina^ -+- f tanjj^ - sin4X — . . . , et, en remplaçant e par sa valeur 23®27'3i'',o et divisant en-
corepar sini ,
Azz: X — 889ï",56sin2X + i9r",65 sin4X — 5'V5i sin6X • H- o",i8sin8X -f-. . .,
où la partie périodique prise en signe contraire s'appelle réduction h Vécliptique,
Substituons dans la dernière formule, au lieu de X, la série trouvée plus haut, et développons les sinus de la somme de plu sieurs arcs; nous trouvons, toutes réductions faites, après avoir
{*) A cette expression il faudrait pour plus de rigueur ajouter encore IWei des perturbations provenant des autres planètes, et celui des petits mouvements des points équinoxiaux.
I20 ASTRONOMIE 8PHÉRIQUE.
divisé par i5 pour tout réduire en temps :
A = L -I- 86,53 sinL -\- /^3^,\ScosL
— 596,64 sinaL H- i,69cos2L
— 3,77sin3L — 18,77 cos3L -h t3,a3siD4L — 0,190054^ -h o,i6sin5L4- o,82cos5L
— o,36sin6L-f- o,02cos6L
— o,oisin7L — o,o4cos7L.
