PROBLÈMES RELATIFS AO MOUVEMENT DIURNE

Lorsque Taslre est à T horizon h = o^ et l'on a

o = sîn (j) sin^ -t- coscp cos^ cos/o« on

[a) cos/o = — tangy tang(î.

Au moyen de cette formule on trouve pour une latitude déterminée y, Tangle horaire correspondant au lever ou au coucher d*un astre dont la déclinaison est S, La valeur absolue de cet angle s'appelle le demi^arc diurne de Tastre. Si l'on connaît le temps sidéral du passage de Tétoile au méridien, c*est*à-dire son ascension droite, on aura le temps sidéral du lever ou du coucher en diminuant ou en augmentant Tascension droite de la valeuK absolue de ^o*

Les règles <]ue nous avons données permettent ensuite de transformer en temps moyen le temps sidéral obtenu. f

Exemple. — Calculer Tépoque du lever et du coucher d'Arcturiis à Berlin pour 1861, janvitr o. — On a pour Arcturus

a = 14^9™ 19% 3, (î=H- T9'*54'3i9^ de plus

Avec ces valeurs on obtient pour le demi-arc diurne

Arcturus se lève donc à 6** 16" Sy" et se couche à 11^ i"'59* de temps sidéral.

Pour trouver l'heure du lever et du coucher d'un astre errant, il faut connaître la déclinaison pour cette époque ; on résoudra donc la question en faisant le calcul deux fois, par la méthode des approximations successives. Pour le Soleil le calcul est simple. On prend d'abord une valeur approchée de la déclinaison, avec laquelle on obtient une valeur approchée de Tangle horaire du Soleil ou du temps vrai au moment de son lever ou de son coucher. Or dans les éphéméridcs les déclinaisons du Soleil sqnt données pour midi vrai; on peut donc par interpolation trouver la déclinaison à l'époque du lever ou du coucher, et avec elle recommencer lo calcul.

l3o ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

Pour la Lune, le calcul est plus long. Après avoir cherché les temps moyens des deux culminations inférieure et supérieure consécutives, on en peut déduire le temps moyen correspondant à chaque angle horaire intermédiaire ; dès lors si avec une déclinaison approchée de la Lune on trouve un angle horaire approché du lever et du coucher, on aura la valeur correspondante du temps moyen; on trouvera ensuite par interpolation une valeur plus approchée delà déclinaison, avec laquelle on recommencera le calcul. On verra un exemple de ce calcul au n** 78.

Remarque, — L^équatton (a) relative à ran{|[1e horaire du lever et du coucher peut se mettre sous une autre forme, parfois commode, et obtenue par une transformation connue :

tang — := — — ; r-*

4-9. Lever et coucher des astres aux diverses latitudes. — La formule (a) du n® k% donne la raison de toutes les apparences que présentent le lever et le coucher des astres pour les différents points de la surface de la Terre.

Si B est positif, Tétoile est au nord de Téquateur, et cosfp sera négatif pour un lieu de Thémisphère boréal ; /g sera donc plus grand que 90°, et Tétoile restera plus longtemps au-dessus de Thorizon qu'au-dessous. Au contraire, pour une étoile de déclinaison australe, ^0 sera plus petit que 90% et, en un lieu de Thémisphère boréal de la Terre, Tétoile restera moins longtemps au-dessus de rhorizon qu'au-dessous. Pour Fhémisphère austral, f est négatif, et tout se passe en sens inverse, car dans ce cas Tare diurne d'une étoile australe est plus grand que 11 heures. Si y = 0, ^0 = 90'* pour toute valeur de ^; à Téquateur les étoiles restent donc aussi longtemps au-dessus de Thorizon qu'au-dessous. Si ^ = o on aura aussi, pour toute valeur de f, ^0 = 90**; on voit donc qu'en un lieu quelconque de la Terre les étoiles équatoriales restent le même temps au-dessus et au-dessous de l'horizon.

Ainsi, quand le Soleil est au nord de l'équateur, le jour est, pour un lieu de l'hémisphère boréal, plus long que la nuit; l'inverse a lieu quand le Soleil est au sud. Mais si le Soleil est sur

PROBLÈMES RELATIFS AU MOUYEMBMT DIURNE. l3l

Téquateur, pour tout lieu de la Terre le jour est égal à la nuit. Pour les habitants de Téquateur^ il en est toujours ainsi.

La valeur de r» ne sera du reste possible que si tang({> tang^ <^ i . Dés lors, pour un lieu de latitude <p, un astre ne se couchera pas si lang^<cotangf ou ^^go" — (p; si ^z=go° — y, fo= i8o°, Tastre n'atteint Thorizon qu*à sa culmination inférieure; quand ^>9o° — (fy il ne se couche jamais. Au contraire, la déclinaison australe est-elle plus grande que 90° — <p, Tastre ne s'élève jamais au-dessus de l'horizon.

Puisque la déclinaison du Soleil est toujours comprise entre — s et + 8, il y a certains lieux de la Terre pour lesquels le Soleil, aux jours des solstices, ne se lève ou ne se couche point; ce sont ceux qui ont pour latitude boréale ou australe, 90° — e ou 66° 3o'. Ces lieux sont situés sur les deux cercles polaires. Pour un lieu situé dans l'intérieur de Tun des cercles polaires, le Soleil reste en été d'autant plus longtemps au-dessus de l'horizon, en hiver d^autant plus longtemps au-dessous, que l'on se rapproche davantage des pôles.

Remarque, — Un point A de l^cquateur se lève quand son angle horaire est égal à 6^. Soit a Pascension droite de ce point; on obtient les étoiles qui se lèvent en môme temps, en faisant passer an grand eerele par le point A et par les points de la 'sphère céleste définis par les ascensions droites « — 6** et a -4-6**, et les déclinaisons — .(900 — ç>) et -+-90*' — f.

On obtient aussi les étoiles qui se couchent en même temps que le point A en faisant passer un grand cercle par le point A et les points dont les ascensions droites sont a +6^ et a — 6^ et dont les déclinaisons sont respectivement — (90" — p) et H- 90® — çp. Ainsi le point qui, à Tépoque du lever du* point A, était h sa culmination inférieure et à Phorlzon, sera à Pépoque de sa culmination supérieure élevé d^un arc 9 au-dessus du pâle, ou d'un arc !2o •u-dessus de Thorizon nord. Sousjune latitude de 4^^ les constellations tournent, en la heures sidérales, de 90^ par rapport à Thorizon, car le grand cercle qui se lève en même temps qu^on point de Téquateur est perpendi. culaire à Thorizon au moment du coucher de ce point. A laquai eur,toule» les étoiles qui se lèvent en même temps se couchent en même temps.

50. Amplitude ortive et amplitude occase, — Pour trouver le point de Thorizon où une étoile se lève et se couche, il suffit de poser A = G dans Téquation

sin(^ = sintpsin^ — cos^ cosA cosA,

l32 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

trouvée au n® Si- On a ainsi

sin(^

(à) cosAo = —

COS(p

La valeur négative de Ao est l'azimut de Tétoile à son lever, la valeur positive est Tazimut à son coucher. La distance de l'étoile au moment de son lever ou de son coucher aux vrais points est et ouest s'appelle amplitude ortive ou amplitude occase. Désignons-la par A|, nous aurons

Ao=90°-I- A, et, par suite,

^ COSy

où Ai est positif, si l'étoile se lève ou se couche en un point situé au nord de la ligne est-ouest, négatif si ce point est au sud.

La formule (c) relative à l'amplitude ortive ou occase peut se mettre sous une autre forme; en effet

I — sinA, sin>|/ — siniî

I H- sinA, sin>|/ -h sin^

où ip = 90° — «p; on en concUit

tang -

^ ^ tang -^

Pour Arcturus, on obtiendrait, avec les valeurs de ^ et ^ données plus haut,

51. Distance zénithale d'une étoile à l'époque de sa cnimi' nation. — . Dans l'équation

sïnh = sin^ sin^ -h cos^ cos^cos/, remplaçons cost par 1 — 2 sin^ ~^ nous obtiendrons sin/i =: cos(^ — S) — 2 cosf cosiîsin^ -•