I. — De la PRÉGESSION
57. Mouvement annuel de. l'équateur sur récliptique et de l'écliptique sur Véquateur^ ou précession lunisolaire annuelle et précession planétaire . — F'ariation séculaire de V obliquité de récliptique, — Laplace donne, au § 44 ^" livre VI de la Mé' conique céleste^ les expressions des déplacements lents de T^quateur et de récliptique, dans lesquelles le développement des perturbations séculaires de Torbite terrestre a été poussé assez loin pour qu'elles puissent servir dans un intervalle de 1200 ans avant et après i^So. Bessel a développé ces inégalités suivant les puissances du temps écoulé depuis 1 760 , dans la préface de ses Tahulœ Regiomontanœ ; il a poussé le développement jusqu'à la seconde puissance, et les expressions qu'il donne s'étendent à plusieurs siècles avant et après 1760; les voici.
La précession lunisolaire annuelle pour l'époque 17^0 + t est
et la variation même dans l'espace de temps écoulé de 1 75o à 1750 +^
est l'arc de l'écliptique û\e compris entre les points d'intersection de ce grand cercle avec l'équateur au commencement de Tannée 1750 et Féquatenr au commencement de 1760 -f- 1, La précession générale annuelle a pour expression
{*) Dans les expressions développées en séries, ces variations n'^aUèrcnt que les termes dépendant de 1'.
l44 ASTRONOMIE 8PHÉRIQUE.
et la variation même dans Tespace de temps écoulé de 1750 à
i^SoH-f,
/== 5o", 21 1 29.^+ o'',ooo 122 148 3. r*,
est l'arc de Técliptique vraie compris entre les points d*intersection de ce grand cercle avec Téquateiir au commencement des années 1750 et 1750-+-^.
Pour .1750 -f- t, Tangle compris entre Téquatenr et Tocliptique ûxe a pour valeur
et V obliquité moyenne de Técliptique, angle compris entre Pcquateur et Técliptique vraie (en négligeant la nutation), est
g=23«28'i8'',o — o",48368./-.o'^ooooo2 722 95./2(*).
(") Brssel a uo peu modifié les valeurs numériqueis des expressions données dans la Mécanique céleste. Pour le calcul des perturbations séculaires de la Terre, il a fait usage d^une valeur corrigée de la masse de Vénus et sVst servi des observations les plus récentes pour déterminer le coefficient de t dans la précession lunisolaire /^. La valeur de la variation annuelle d« Tobliquité de Pécliptique donnée par les dernières déterminations diffôrn un peu de celle que nous avons adoptée dans le texte; elle est de o",4^4^. Mais dans la suite il faudra, comme Pa fait Bessel, employer la vdienr du texte pour le calcul des grandeurs tt et II, qui fixent la position de Pécliptique vraie par rapport à rédiptique fixe; et le calcul en sera plus exact, puisque, pour la détermination de iz et II, on devra combiner'cette valeur
dl avec celle de 3- déduite des mêmes masses. Les coeflicients de i^ qui dépen-
ut
dent des perturbations causées par les planètes ont été colculés avec Irs massrs employées par Laplace, et auraient besoin d^une détermination pins exacte.
Dans son ouvrage Numerus constans nutationisy en employant pour les masses des planètes les nombres déduits des déterminations nouvelles, et en adoptant, pour la préce.islon lunisolaire, la constanle de Bessel, Peters a donné les valeurs'suivantes pour Tannée 1750 ;
/, = 5o'',37572.* — o",oooio8 4.<S
/ =5o"',ai'|8/|.r-i-o'',oooii34.£%
• ==23oQ8'I7'',9-o^4738.l-o^oooooi4.l^
Mais les valeurs de Bessel étant presque partout employées, nous li's avons conservées dans le texte.
. PROCESSION. î4*'>
On a donc
~ = — o",48368 — o^ooooo54459.^
Soit maintenant [fig.i) AAo Téquateiir, EE» récliptiqne de Tannée 1750, A' A'' et EE' l'équatenr et Fécliptique de Tannée
Fig. a.
1760 + /; Tare BD dont a rétro{;radé le point d^intersection de i'équateur et de récliptiqne fixe est la précession lunisolaire /, en tannées'. De plus, A'BE et A' CE sont les inclinaisons t» et c de récliptiqne fixe et de l'écliptique vraie sur Téquateur de 1 750 H- t. Soit S une étoile quelconque ; menons les arcs SL, SL' perpendiculaires sur récliptiqne fixe et Fécliptique vraie, DL est la longitude de rétoile ej\ i']5oj CL' sa longitude en 1750 H- /; «lésignons par D' le point de Fécliptique mobile qui, sur Fécliptique fixe, était désigné par D; Farc CD', c'est-à-dire Farc d^écliptique vraie compris entre Féquinoxe de 1760 et celui de 1750 -f-/, est la précession générale; cette partie de la précession en longitude est la même pour toutes les étoiles. Pour obtenir la valeur complète (le la précession en longitude d^une étoile, il faut ajouter Fsrc I. 10
lf\6' ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
D'L' — ,DL à la précession générale. Cette dernière parue est d'ailleurs beaucoup plus petite que la première, en raison de la lenteur s^yec laquelle varie l'obliquité. Pour la calculer, on a besoin de la position de Técliptique vraie par rapport à réclipticjne fixe, position qui est donnée par les inégalités séculaires delà Terre, et que Ton peut déduire aussi des expressions précédentes. Appelons n la longitude du nœud ascendant de Técliptique vraie sur récliptique û\e (c/est-à-dire celui des points d'intersection des deux grands cercles à partir duquel Pécliptique vraie a une latitude boréale par rapport à l'écliptique fixe), et prenons pour origine l'équinoxe fixe de l'année 1760, les longitudes étant comptées de B vers D, et d'ailleurs E étant le nœud descendant de TécHptique vraie sur l'écliptique fixe; nous aurons
DE=:i8o°--n, BE = i8o« — n— /, et CE=: 180" — n — /.
Soit TT l'inclinaison de l'écliptique vraie sur l'écliptique fixe, c'està-dire l'angle BEC, les analogies de Néper appliquées au triangle BEC donnent
tang - sin ( n H | = sm tang ,
tang - cos I n -I ] = cos tang •
Or B est le point de l'équaleur qui, en 1760, coïncidait avec le" point D; pendant le temps t le point d'intersection de l'écliptique et de l'équateur a donc rétrogradé sur ce dernier de l'arc BC. Cet arc est la précession planétaire pendant le temps f, désignonsle par a ; avec ce même triangle BEC, nous obtiendrons la formule
tantî - cos = tanc cos •
Ces trois équations vont nous permettre de développer a, n et n en séries procédant suivant les puissances du temps t.
Nous remplacerons par So -+- -9 les sinus et les
tangentes des petits angles j (/, — /), ja et ~(s — ««) par les arcs
PRÉGESSION. l47
eux-méraes; dès lors la dernière équation deviendra
/, / 1 /, / . C Eo
n 1= i \ — sin 60 — 7^ — 77? 9
cosso 2 cos'so 200 205
où les expressions de /,, / et e — =0 sont de la forme
leur substitution donne
\ — \ /V, — V I \ — \ ïjsinîA
COS60 \ cosso 2 200 2b5 COS-âo /
et enfin, en introduisant les valeurs numériques
fin
— = g", 17926 — o'', 000 532 078 6.^ Pour n et TT, le calcul se fait de la même manière; on a
. e -h Eo sm
tang n H — - = tang -
sm
et
tang' - = I tang' tang^ h lang' j cos' 9
d'où, en procédant comme plus haut,
(/i -f- /\ • tf sin Co o, cos 60
i , , . , , ., à}[t — 5o)sinsoCOS6o
Remplaçant encore t — z^ex. a par leurs expressions -nt H-yj'r^
l48 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
vl at -ha'i\ il vient
n H = arc tang
a'jï — au' . a
-f- ^cos' n ( 206 265 sin «0 H — cos e, ) 1
et, CD introduisant les valeurs numériques,
nz= i7i'>36'io" — 5"ï2i.r,
it = 0^488 92. r — o",ooo oo3 07*1 5 ./\
58. Variations annuelles de la longitude et de la latitude des étoiles, — Lorsqu'on connaît les variations relatives des plans auxquels sont rapportées les positions des étoiles, il est facile de déterminer les variations qui en résultent pour ces positions elles-mêmes. Désignons par X et p la longitude et la latitude d'une étoile rapportées à récliptique vraie de i^So-f-/, et prenons un système d'axes rectangulaires dans lequel le plan des xy soit Técliptique vraie de 1 750 + tj et où l'axe des x passe par le nœud ascendant de récliptique vraie sur l'écliptique fixe; les coordonnées de Tétoile seront
cospcos(). — n — /), cos ^ sin (X — n — /), sin p.
Désignons/de même par L et 6 la longitude et la latitude de rétoile rapportée à l'écliplique fixe de 1750, et prenons un second système d'axes rectangulaires qui ait pour plan des xy l'écliptique fixe et même axe des j: (jVie le premier; les coordonnées de rétoile seront
cosBcos(L — n), cosBsin(L — II), sinB.
Mais puisque les deux plans fondamentaux des deux systèmes
PRÉGBSSION. l49
d'axes foDt entre eux l'angle tt, on a, d*après les formules (lo }
(la n° 1,
!cos(X — n — /) cos^ =r cosB cos (L — n), sin (\ — n — /) cosp = cosBsin(L — n]coS7r + sinBsin7r, — sinp = cosB sin(L — n) sinir — sinBcosTr.
Ces formules s'obtiendraient encore en appliquant au triangle sphérique formé par l'étoile , le pôle de récliptique de i^5o et celui de Técliptique de 1750 + ^ les formules du n® 3, dans lesiiuelles on ferait
fl = go«— P; ^ = 9o!»— B, c = n, A=:9o«4-L — n, B = 90°— (X — n — /).
Au lien de ces formules rigoureuses, il est facile de trouver des formules approchées, suffisantes dans la plupart des cas; appliquons au triangle considéré la troisième et la première des formules (m) du n® 9, en y remplaçant d*abord
sin h cosC par cosc sin a — sin c cos a cos B, sin /^ sin C par sin r sin B;
de plus rappelons-nous que L et B sont des constantes, et remarquons quCTT est un petit angle, nous aurons les équations
d(\'-'U — l) = — cin-{-ic tangp sin(> — n — /) rfn
-4- tangp ro3(X — n — /) dit,
^/pzrr-h 7rC0S(X — H — l)dn --sin(X — n — /)flf7r.
Divisons par dt^ et dans le coefficient de dll remplaçons n
dir par / — 9 nous aurons pour les variations annuelles de la longidt
tilde et de la latitude de Tétoile, les formules suivantes
dX dl û A „ / ^n \ ^»f
— ==--4- tangBcosIX — n — / r '1 -r'
dt dt ^^ \ dt dt
r/B , L , du \ diz
dt \ dt ] dt
i5o ASTROKOMIR SPBËRIQUE.
OU. puisque
de
si Ton pose
M = / -f- n -h r -? r= 1 7 lo 36' i g" -+- 39", 79.^
dt on aura
-=- + langpcos(>-M)-,
I —■ =1 — sm (a — M ) -r :
[ dt ^ ' dt
dl dtr les valeurs numériques de-,- et — ^ ont été données dans le nii-
* dt dt
méro précédent.
Variations annuelles de Pascension droite et de la déclinaison des étoiles. — Représentons encore par L et B la longitude et la latitude d'une étoile rapportées à Técliptique fixe et à l'équinoxe de 1750; la longitude de l'étoile comptée du point d'intersection de.réquateur de l'jSo -{- 1 ayec Técliptique fixe de 1750 sera égale à L + /,, où /, est la valeur de la précession lunisolaire pendant le temps écoulé entre 1760 et 1760 7+- 1. Les coordonnées de rétoile par rapport à un système d'axes rectangulaires dans lequel le plan des x/ est Téclip tique fixe de 1760 et où l'axe des a: passe par le point pris pour origine des longitudes^ auront pour expressions
cosB cos(L -r /,), cosB sin(L -T- /,), sinB.
Soient a et ^ l'ascension droite et la déclinaison d'une étoile rapportées à Féquateur et à l'équinoxe vrai de 1760 -+- 1; comptée à parlir de l'origine adoptée précédemment, cette ascension droite a pour valeur a -4- «, et les coordonnées de l'étoile rapportées à un second système d'axes, dans lequel le plan des a:^ est le plan de réquateur vrai, et où l'axe des x coïncide avec le premier, ont
PRÉCESSiON. l5l
pour expressions
cosS cos[ci -i- a)y cos^sin(a-|- tf), sinJ.
Lès deux plans coordonnés font entre eux l'angle So, on a donc d'après les formules (i) du n" 1
icos(a H- a) cos(î = cosB cos(L 4- /,) , sin (a 4- a)cos$ = cosB sin(L + /,) cosso — sinBsineo, sin S = cosB sin ( L + /, ) sin e^ -h sin B cosso •
Ces formules s'obtiendraient encore en appliquant au trianjjle sphérique formé par l'étoile, le pôle de l'écliptique et celui de réquateur, les formules du n** 3, dans lesquelles on donnerait aux éléments les valeurs suivantes :
« = go** — $, ^=go° — B, c = s^» A =90*»— ;L-h /,), Bingo^-i- a -f- r7.
Au lieu de ces formules rigoureuses, il est facile de trouver des formules approchées; il suffit de différentier les équations précédentes, ou d'appliquer les formules {iiy du n** 9 ; L et B étant des constantes, on obtient ainsi
cl [a. -+- a) = [coséu-H sinso tang^î»in(a -f- û)] «'//, — tang^cos(aH-rt}/^/6^j
dû := cos [oL -\- a] sinso fllx -h sin ( a H- « ) ^e^ ,
et les formules qui expriment les variations annuelles de Tascensien droite et de la déclinaison de l'étoile sont
(IciL (la . dix
-r = r -H (cosso -h sine^ tani(5sina) — -
dt dt ^ o / ^^
/ . dl^ dèA
+ a sine^ — — tani'o cosa,
\ dt dt j ^
d$ , dl, / . d/, deA .
-— z=z cos a sm s„ [a sm e^ — ) sin a :
di dt \ dt dt ]
l52 ASTRONOMIE 8PHÉRIQDB.
OU, en négligeant dans chaque équation le dernier terme qui est très-petit, comme le montrent les valeurs précéd(>ntes (*},
doL fia ^ . % . X dfi
■ (cosf, 4- sme. tanga sina) — »
d$ . dl,
—r- ■=■ cos CL sm f é — r • di dt
Posons
dl, dû
cos s, -z r- = W,
de dt
. d/, sm..-^/!,
les formules deviennent
/ da
=: m H- /ï tang^ sin a.
— - = « cosa,
et en introduisant dans les expressions de m et n les valeurs
, dix da I .
numériques de •», — et —t on obtient
Variations séculières, — Pour obtenir la valeur de la précession, soit en longitude et latitude, soit en ascension droite et déclinaison dans le temps écoulé depuis i ^So-j-r jusqu'à 1 760-1-/', il faudrait intégrer les équations (B) ou (D) entre les limites t et t\ Cependant pour obtenir celte valeur jusqu'aux termes du
(*) La valeur numérique du coefficient a sin e,j^ — -j^cal — 0,000 003 2/1 7 1.<
diaprés les valeurs données dans le texte. Théoriquement, («tte valeur doit être nulle. Ce désaccord provient de ce que dans le calcul des termes du premier et du second ordre, on a employé des valeurs différentes pour les masses.
PRÉGBSSION. l53
second ordre inclusivement, il suffit de connaître la valeur de la
dérivée première correspondante à Tôpoque Soient en
eiïel/(/) et/{i') deux valeurs d'une fonction dont on cherche la différence/(/') —/{t) ; dans le cas actuel, ceire difféi-ence est la précession pour t' — /; en posant
un a
/(O =/(x - Ax) =/(*)- Ax/'(x) + i r/», c), /(t']z=/{JC + ^x)=f(x) + Ax/'(x)+{^x^/''{x),
où/'(j:) ii/''(4;) représentent les deux premières dérivées de /(.r]. On en conclut
/(r')-/(f) = 2Ax/'(x) = {/'-r)/'('-^-).
Ainsi pour obtenir la précession pendant un intervalle de temps /' — t, il suffit de calculer la valeur de la dérivée correspondante à la moyenne arithmétique des époques extrêmes, et de la multiplier par Tintervalle qui les sépare. De cette façon on tient compte des termes du second ordre.
Exemple. — Cherchons la précession en longitude et en latitude de lySo à i85o pour une étoile dont le lieu était en 1760
On a d^abord pour Tannée 1800 (n® 57)
Puis en calculant approximativement la précession de 1760 à 1800, on obtient pour 1800
X = 2io°42',i, p = -1-33° 59', 8,
l54 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
et par suite, d'après les formules (B), on a pour 1800
d\ ~di
en conséquence, la valeur de la précession de 1750 à i85o est
En longitude £n latitude .
Cherchons également la valeur de la précession en ascension droite et en déclinaison de 175© à i85o pour une étoile dont Pascension droite et la déclinaison en 1750 étaient
a = 220° I ' 24", (î = -h 20°,2 1 ' 1 5'^; on a pour 1800
m zm 46", 043 67, « = 20'', 069 57 ,
et, pour une première approximation de la position de Fctoile à cette époque,
on obtient donc à l'aide des formules (D)
tang(î. . .
sina. . .
n tang^
sina — 4*78806 m -f- 46, 043 67
tang^sina'. . .
cosa. . .
dt
dt ^
la précession dans l'intervalle de 1760 à i85o est donc
En ascension droite -h 1° 8' 45", 56,
En déclinaison — 25. 23, 14.
Dans les catalogues, on indique habituellement à côté de chaque étoile la précession annuelle en ascension droite-et en déclinaison [variatio annua) pour l'époque du catalogue, et en outre sa va-
PROCESSION. i55
riadon en un siècle {yariatio scecuians). Dès lors si t^ est l'époque du catalogue, la précession de l*étoile pendant l'intervalle t — r» est, d'après ce qui précède,
1 variatio annua -\ ^- variatio sœcularis \{t — /o),
Si l'on différenlie les formules
— =r iw -h /i taneo sm a ,
en y considérant toutes les grandeurs comme variables, et en désignant par m* et n' les variations annuelles de m et, de //, on obtient
— n= /i^sin 1'' sin2a(2 4- tang'^)
