PRÉCESSION

On pourrait, par rélimination de L et B entre les deux systèmes d*équations, trouver des formules qu*il serait aisé de rendre ensuite calculables par logarithmes; mais il est plus simple de les obtenir immédiatement par les considérations suivanles (*). Soient [fig. 3) :

Fig. 3.

^ .fE'

EE' récliptiqne fixe de 1750,

AN réquateur moyen de 1760 -+- /,

A'N réquateur moyen de 1750 -f- 1\

N le nœud ascendant du second équateur sur le premier.

L'arc EE' est la précession lunisolaire /', — /,, pendant Tintcrvalle de 1760 -f r à 1760 -h r', de sorte que nous avons dans lo triangle NEE'

EE' =: /', - /„ NEE' zrr i8o°— H, NE'E = z\, et si nous posons

NE = 90*» — z, . NE' = 90^ + z', ENE' nz 0,

(*) On a remplacé la démonstration analytique de TAuteur par une démonstration géométrique plus courte.

nous trouvons, d'après les formules de Delambrc :

e . ^ -\-z . /',—/, «', + e» cos - sin = sm — cos — ?

cos - cos = cos ~ cos — 7

sm - sin = cos — sm

sm - cos = sm ~ sm •

Ces formules déterminent rigoureusement les grandeurs auxiliaires z, z' et 0 qui vont bientôt nous servir; mais puisque t(*'o — *o) ^^ t(^' — ^) sont de petits angles, nous trouverons aisément, pour le calcul de ces trois grandeurs, les formules suivantes, qui sont suffisamment approchées :

tang = cos -^ tang •>

z — 2 Ê . — Êo I

^ ' ^ wng sm

tanff - =: tanc — sm

Cela posé, soient V, V les équinoxes moyens de l'^So -h r et de 17504-/', EV est la précession planétaire a de 1760 à 1760 -h /, E' V la précession planétaire a' de 1750 à 1750 -h t' \ de sorte que

NV = 90*»— 2 — a, NV = 90» -4- i' — û',

et par suite, si SL et SL' sont les cercles de déclinaison de Tétoile aux deux époques, on a

]NL = a-+-«H-2 — 90», NL' = a'4- «' — z' — 90*».

Soient de plus P et P' les pôles de Téquateur aux deux époques,

PRfiCESSiON. iSg

N sera le pôle de PP', et par suite PP' = AA' = 0; on a donc, dans le trian(^le PP' S,

PS = 9o« —S, P' S zzr 900 — $\ PP' = 0,

SPP'=AL = a + û + 2, SP'P = 90«— A'L'nz iSC^— (a'-+-a'— 2'),

et les équations fondamentales de la Trigonométrie donnent

['sin(a'-t-a' — z') cos^'^cos^ sin(a-h«-F-z), [n) |cos(a'+«' — z) cos5' = cos5cos(a+flr-f-z)cos0 — sin^sinB, ( sin 5' = cos^cos (a-i-i2-h«)sin 0-+-sin $ cos0.

Ces formules permettent de trouver a' et 5' en fonction de a et ^ et des grandeurs auxiliaires z, z' et 0, déterminées par les équations (A) ou par celles qui les précèdent.

En introduisant dans les formules (a) un angle auxiliaire, on les reqdra facilement calculables par logarithmes; il est néan* moins commode d'arriver à ce résultat par les formules de Delambre. En effet, désignons par c le troisième angle du triangle PSS', et posons, pour abréger,

a -f- a -h z = A, a' -h /i' — z' =: A', nous aurons immédiatement

/ Qo» -f- 5' X'-\- c QO°-h 5 -i- 0 A

cos cos = cos ces — j

ûo*'-f-5' . A'-h c qo"-t-(î— 0 . A

cos sm = cos sm - 5

. QO« -I- 5' A' — C . Qo^H- (î H- 0 A

sm cos =: sm cos — ^

. QO'^H-^' . A'— <? . qo«-f-^— 0 . A

i sm sm = sm sm - •

On obtient un plus grand degré d'exactitude en cherchant les différences A' — A et $' — $, Pour cela multiplions la première des équations (a) par cos A, la deuxième par sin A et retran-

l6o ASTRONOMIB SPHÉRIQUB.

chons les deux produits; de même multiplions la première par sinÂ, la seconde par cosA, et ajoutons, nous obtenons

cos^'sin(V— A)=cos^sinAsin0 (langJ -^ tang - cosAJ,

cos^'cos(A' — A) = cosJ — cos^cosAsinel tang(î-|- tang- cosAjf

donc

sin A sin 0 ( tang^ + tang - cos A j

rang (a' — A) =

— cos A sine ( tang ^ H- tang - cos A j Posons (B) /? = sine (tang^-t- tang- cos A|>

et appliquons au triangle PSS' les analogies de Néper, nous obtiendrons les deux équations

/> sin A

tang(A' — Aj=: ^

I — p cos A

,a„g __ = tang - —jr^TÂ,

cos

Le calcul rigoureux de Tascension droite et de la déclinaison d'une étoile au temps 1760 H- f' au moyen de son ascension droite et de sa déclinaison à l'époque 1760 -+- ^ se fera donc à Taidedes formules (A), (B) et (C) [Tabulœ Regiomontanœ^ p. vin).

Exemple. — L'ascension droite et la déclinaison de la Polaire au commencement de Tannée 1765 sont

0L=: 1 00 55' 44", 955, ^ = 87«59'4i",i2, calculer le lieu de Tétoile rapporté à Téquateur et k Téquinoxe

PRÉGESSION. l6l

de i85o. On a

Pour 1755. Pour i85o.

e, = 23« 28' 18'', 0002 , s; =z i^o aa' , 8", 0984 ,

/, := ^.îi ,8766, ^'1= 1 .23.56 ,3541 r

on déduit des formules (Aj

i±^= o«36'34",3i4, i^H^rrr o« o'io",6286,

8= 0.31.45 > 600, A = a-4-ûH-« = II .32. 9 ,53o.

Pour le calcul de A' — A et S^ — (î, on emploie les formules

(B) et (C), on trouve

log/?= 1,4214471,

A'-A=r 4« 4'i7'',7io, ^JZL^^ o«i5' 26^,780,

et enfin

60. Influence de la précession sur Vaspect que présente la sphère céleste h des époques différentes^ en un même lieu de la surface de la Terre, — Le point d^intersection de l'équateur avec Técliptique rétrograde sur Técliptique. d'environ 5o",2 par an; le pôle de Téquateur décrit donc, dans le cours des temps, autour du pôle de Técliptique, un cercle dont le rayon est égal à Tobliqoité de Tccliptique (*).

Par suite, le pôle de Téquateur coïncidera successivement avec des points différents de la sphère céleste; en d'autres termes, à des époques différentes, il se trouvera dans le voisinage d'étoiles différentes. Actuellement la dernière étoile de la queue de la pe-

(*] Rigourcasement ce rayon n'est pas constant; mais it est toujours égal à la valeur actuelle de Pobliquité de Pécliptique*