DIMENSIONS DE LA TERRE
On a, diaprés les recherches de Besse],
donc
8 irr 0,081 6967 , loge = 2,912 2o5o,
et en mètres :
û z= 6877 398"™, 04, logfl = 6,804 6436,
^=3 6 356 079™, 84, logé =6,8031894.
Parallaxe horizontale équatoriale dit Soleil, — En Astronomie, on prend toujours pour unité le demi grand axe de l'orbite terrestre (*). Si Ton désigne par tt l'angle sous lequel on verrait du Soleil le rayon d'un point de Téquateur, dans le cas où cet astre serait à l'horizon du point, et par R le demi grand axe de. l'orbite terrestre ou la distance moyenne de la Terre aii Soleil, on aura
flir^RsinTr,
et, puisque tt est très- petit,
Rtt
L'angle tt ou la parallaxe horizontale équatoriale du Soleil est, d'après Encke,
TT = 8'',57i i6, log7r = 0,933 0397.
66. Latitude géocentriquc d^un lieu et sa distance au centre de la Terre, — Pour calculer la parallaxe d*nn astre correspondante à un point donné de la surface de la Terre, il faut déterminer les coordonnées de ce point par rapport au centre de la Terre. On prend pour première coordonnée le temps sidéral, c'est-à-dire l'angle que fait un plan mené par le petit axe et le lieu d'observation (le plan méridien) avec le plan passant par le petit axe et l'équinoxe du printemps. Soit OAC [fig* 4) ^^ P^^" passant par le
(*) Yoir Le Verrier, Annales de l'Observatoire impérial de Paris, 1. l*"", p. 189-
petit axe et le lieu crobservation Â; la position du point A dans
ce plan sera déterminée si Ton connaît en même temps la distance
géocen trique AO et Tangle AOC appelé latitude réduite ou géo-
cent tique,
Fig. 4.
Ces quantités peuvent d^ailleurs être calculées lorsque l'on connaît la latitude ANC (angle de Thorizon en A avec l'axe de la Terre ou de la verticale du lieu avec Téquateur) et les deux axes de Tellipse méridienne.
Soient en effet x et y les coordonnées du point A rapportées aux deux axes OC et OB; on a
Si maintenant on désigne par f' la latitude géocentrique
tang«>'=i -,
et si f représente Fangle de la normale en A avec Taxe des x,
dx
tangç=i —
dy
On a, d'ailleurs, en différentiant Téquation de l'ellipse,
b^ dx
d'où résulte la relation
tangy'= — tangip.
LATITUDE GÉOGENTRIQUE. I 79
D'autre part
OOSf»
mais on. tire de Féquation de Tellipse
i+plang'f \/r-Htang?tangf'
on en conclut
,,, «sécjp' / ces©
V^i + tangy tangf V cosy cos(«j> — tp)
Au moyen de ces deux formules on peut, pour chaque Heu de la surface de la Terre dont la latitude f est connue, calculer la lalilnde géocen trique 3)' et le rayon p.
Coordonnées tla lieu. — Le calcul des coordonnées ^ et j* se fait au moyen des formules suivantes, qui nous serviront plus loin :
. , a cos<p a coscp
V^cos^ (j> -4- ( I — s^; sin^<p sj i — s^sin^^
[d) jr = xiangf* = .r[ï — s^) tang(p=: J-
^i — s^sin'^y
Rayon de' courbure. — On a quelquefois besoin de connaître aussi le rayon de courbure du méridien terrestre à une latitude donnée. £n le désignant par R, on a
dr' R
dy dx^
mais Téq nation de Tellipse donne
dy b^ X d^y b*
dx a^ y dx^ à} y^
l8o ASTRONOMIE SPHËRIQUE.
tl'oii
(i — s* sin^(j))^
Développements en séries des formules précédentes. — Au
moyen de la formule [a) nous pouvons développer cp' en une
série ordonnée suivant les sinus des multiples de y; en effet, en
posant
et appliquant la formule (i6) du n** H, on a, en secondes,
^ —'^ : — ï^sin^^ H . — -, sm4!p— . ..,
sin I ^ 2sinr
et par suite, avec la valeur de Taplatissement donnée plus haut,
»'=: <p — I i'3o",65 sin 2 9 -f- i", i6sin4<j> — . . . •
On ne peut obtenir une série élégante pour calculer la valeur de p, mais il est facile d*en trouver une pour logp. La formule ( b) donne en effet
COS'f l I-f-
- tang> j
Si Ton remplace cos'©' par sa valeur — ■ — , on ob-
* ^ ^ a^ -\- b^ t«»ng^<?
tient
a* cos'ç -h Z><sin'fl) «* -+- ^*-f- (a* — ftMcos2(p ^ a^cos'(j> 4- é^ sin^y a^ M- b^ -\- [a^. — 6^)cos2(p ou
^ («'-h b''Y-^{a-'— b'f-{-i{a^-\- b^)[a^^ b^)co%'î^ ^ ~~ {a-{- bY-{-[a —by-^i[a -^ b){a — b)i:o%i9
et, en posant encore r = «,
a^ -\. b^ ^ I -f. //i* -j 2 m cos 2 ^
a -V- b y^i -f- /î2-j 2/lCOS2^
DISTANCE AU CENTRE. l8l
Prenons les logarithmes des deux membres et développons d'après la formule (i5) du n^ 11, nous aurons
[m — /i)cos2(p cos4yH 5 — cos6y — ...
où M est le module des logarithmes vulgaires,
logM =17,6377843, et enfin, en prenant a pour unité,
logprr:i , 9992747+0,000 727 I COS 2 ç — O,O00O0 l8cos4^ +..
On trouve ainsi pour
f 9' I^og P-
Paris 48.5o.i3,o 48.38.48,2 i,999i795
Greenwich . . . 61.28. 38, 9 51.17.25,4 1,9991134 Berlin 52. 3o. 16,0 52.19. 8,3 1,9990880
Encke a donné, dans le Jahrbuch de i852, des Tables qui permettent de trouver immédiatement les valeurs de ep' et logp correspondantes à une latitude donnée.
Ainsi, lorsqu'on connaîtra la latitude d'un lieu, on calculera, au moyen des formules précédentes, la latitude géocentriquc et la distance de ce lieu au centre de la Terre ; qu'on y joigne le temps sidéral e, il sera facile de trouver à chaque instant la position de ce lieu par rapport à des axes fixes passant par le centre de la Terre. Imaginons, en effet, un système de coordonnées rectangulaires passant par le centre, dans lequel Taxe des z soit perpendiculaire au plan de Téquateur, et les axes des x et des y dans ce plan, la partie positive de Taxe des x passant par Téquinoxe de printemps, celle de l'axe des^ par le point d'ascension droite 90°; les coordonnées du lieu auront pour expressions
J: = p COScp' COS0,
j z= p cos ç' sin 0 , zi=r p sinip'.
l82 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
67. Parallaxe de hauteur dans V hypothèse de la sphéricité de la Terre, — Le pla^ déterminé par les lignes qui vont de Tastre au centre de la Terre et au lieu d^observation passe, la Terre étant supposée sphérique, par le zénith du lieu, et coupe la sphère céleste suivant un grand cercle vertical. La parallaxe ne change donc que les hauteurs et non les azimuts. Soit maintenant (^^. 4j A le lieu d'observation, Z son zénith, S l'astre et O le centre de la Terre : ZOS sera la distance zénithale vraie 2, vue du centre de la Terre; ZAS sera la distance zénithale apparente z', observée du point A de la surface. Si l'on désigne \di parallaxe de hauteur, c'est-à-dire l'angle en S, par/?', et la distance de l'astre à la Terre par A, on aura
p' =1 z' — z et sin/?' = - sinz'.
Pour tout astre autre que la Lune, p' sera toujours un petit angle, dont on pourra remplacer le sinus par Tare, et on aura
p'z=z i-- sinz'. 206265.
Ainsi la parallaxe de hauteur est proportionnelle au sinus de la distance zénithale apparente. Elle est nulle au zénith, atteint son maximum à Thorizon et diminue les hauteurs de tous les astres. La valeur maximum pour z' = 90^
A s'appelle la parallaxe horizontale y et la valeur
où a est le rayon équatorial de la Terre, la parallaxe horizontale équatoriale.
Parallaxe en azimut et en distance zénithale, — Nous avons supposé la Terre sphériqne ; comme elle est un sphéroïde, le plan déterminé par les lignes qui joignent l'astre au centre de la Terre
paballàxe en azimut et en distance zénithale. i83
et au lieu d^observation, ne passe pas par le zénith, mais par le point où la droite qui va du centre au lieu d'observation rencontre la sphère céleste. Il résulte de là que l'azimut de l'astre est altéré par la parallaxe; de même, Texpression rigoureuse de la parallaxe de hauteur diffère de celle que nous avons donnée. Considérons un système de coordonnées rectangulaires dans lequel Taxe des z positifs passe par le zénith du lieu d'observation, les axes des a; et des^ étant dans le plan de Thorizon, Taxe des a: positifs dirigé vers le sud et Taxe des y positifs vers l'ouest; les coordonnées de l'astre, par rapport à ce système, seront
A' sinz'cosA', A' sin z' sin A' , A'eosz',
oii A' représente la distance de l'astre au lieu d'observation, z' et A' la distance zénithale et l'azimut de l'astre vu de ce lieu.
Imaginons maintenant un second système d'axes parallèles aux précédents, mais passant par le centre de la Terre ; par rapport à ce système, l'astre aura pour coordonnées
AsinzcosA, AsinzsinA, Acosz,
A représentant la distance de l'astre au centre de la Terre, « et A la distance zénithale et l'azimut de l'astre vu du centre. Comme les coordonnées du centre de la Terre, par rapport au premier système d'axes, sont respectivement
— psin(7 — (p'), o, -• p cos(<p — (f'),
on a les trois équations
A' sinz' cosA' = AsinzcosA — p sin(«p — ç' j, A'sinz' sinA' = AsinzsinA,
A' COSZ' = A C0S3 — p cos(<p — (J>'),
ou
iA'sinz'sin(A' — A) =psin(«p — (p')sin A, A'sinz'cos(A' — A) = Asinz — p sin (cp — ç') cosA, A'cosz' = Acosz — p cos(ç|» — f).
Multiplions la première équation par sin j (A' — A), la seconde
l84 ASTRONOMIE SPIIÉRIQUE.
par cos Y (A' — A), el ajoutons les produits, il vient
, . , . . , . cos~ (A'-h A) A sin z' = A sm 2 — p sm ( o — © ) —^ 9
^ ^^ • ''cos|(A' — A)
A'cosz' = Acosz — pcos(y — y'j.
En posant
,, cos-^ (A'-+-A) , ,.
on a
a' sin 3' = A sinz — p cos (<p — ^') tangy , a' COSz' = A COS3 — p cos(ç — <p'),
ou bien
i A' sin { z — z]=: p cos ( «p — cp ) — ^^ — 9 •
i ./ f , \ / #\ cos(z — 7) f A'cosfz' — 3)=: A — pCOS((P — *') ^^ —i
et si Ton ajoute le produit de la première équation par sin \ [z' — z) et de la seconde par cos| (z' — z), on obtient
COs(y— y^)cos[j(z^-4-z) — 7] cos7c6s^(z' — z)
Supposons p et A exprimés en parties du rayon équatorial de la Terre, et/? étant la parallaxe horlzonlale équatoriale de Tastre définie par Téquation
posons
- = smpy
sinp sin (y — ç')
' sinz
sin/? cosfç — (p') n =^ p •
cos 7 Les expressions rigoureuses de la parallaxe en azimut et en dis-
PARALLAXE EN AZIMUT ET EN DISTANCE ZÉNITHALE. l85
tance zénithale deviennent
... ^, wsinA tang A'— A =r -,
^^ 1 — m cos A
tang(z' — z) — ^ -^ -
I — n cos(z — 7)
On peut développer ces formules en séries au moyen des formules (12) et (i3) du n® 11, et on obtient ainsi
m sin A /«' sin 1 A w'* sin 3 A
I smr -2 sin 1 0 sm i
, nsiT\{z — 7) Tî'sin^ (z — 7) /?*sin3(z — 7)
I Sin I :2 sm I i sm i
logA' =: logA — Ml /2 cos(z — y) -i COS 2(2 — 7)
Pour Tangle auxiliaire 7, on a
cosi{A'-f-A) , ,, , cos' -HA' + A) . ' ,,
et en remplaçant tang («p — y') par la série
on trouve
7 = ((j> — (p')cosA-~ ('f — 9')sinA tang{(A'— A)
sin A sin A' cos I (A' H- A)
+ â(?-?r- ^os^^tA'-Ajsin^i" ■^•'•*
Ces développements en série complets ne servent en réalité que pour le calcul de la parallaxe de la Lune, qui se fait aussi au moyen des formules rigoureuses.
Pour le Soleil, les planètes et les comètes on se borne aux premiers termes des développements, et on emploie les formules sui-
l86 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.
vantes^ qui sont bien suffisamment approchées :
A! — k = pp sin(<p — ç') sinAcosécz»
z' — z = p p sin (z — 7).
Ainsi dans le méridien^ la parallaxe en azimut est nulle et la parallaxe en distance zénithale est donnée par Téquation
z' — z=:pp sin[z — (y — ^')].
La quantité pp est souvent appelée parallaxe rédaîte et p — pp=z p {i — p) la réduction de la parallaxe équatoriale pour une latitude donnée; on la trouve dans la plupart des recueils de Tables astronomiques.
68. Parallaxe en ascension droite et en déclinaison. — Les coordonnées d'un astre rapportées au plan de Téquateur et au centre de la Terre sont,
Acos^cosa, Acos(^sina, Asin^,
et les coordonnées apparentes rapportées aux mêmes plans, mais vues du lieu d'observation,
A' cos5' cos a'. A' cos5' sin a'. A' sin ^';
comme les coordonnées du lieu rapportées au centre et à Téquateur de la Terre ont pour expressions
pcosf'cose, pcosf'sind, p sin^', on a, pour la détermination de A', a', ^', les trois équations
/ A' cos^' cosa' = A cos^ cosa — p cos^' cos8, [a) \ à! cos^' sin a' = A cos^ sin a — p cosy' sine,
( A'sin^' := Asin^ — psin^'.
Retranchons Tune de Tautre les équations obtenues en multi-
