ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE LÀ KÉFRAGTION. I

du rayon qui donne la distance zénithale apparente je; au contraire, la vraie distance zénithale ^ est i'angle que le prolongement de la direction primitive SI du rayon lumineux fait avec la normale. En réalité, cet angle Ç a son sommet en un autre point que celui oi!l se trouve Tœil de Tobservateur; mais la hauteur de Tatmosphère est très-faible, les corps célestes au contraire sont fort éloignés, en outre la réfraction est toujours un petit angle; la différence entre l'angle Ç et la vraie distance zénithale qu*on aurait observée du point O est donc négligeable ; même pour la Lune^ où cette différence est maximum, elle n'atteint pas une seconde d*arc à rhorizon. On peut donc supposer que l'angle ^ est la vraie distance zénithale vue du point O.

Au point N, auquel correspondent les valeurs /, r et yi des variables, menons une tangente à la trajectoire du rayon lumineux, et désignons par Ç' l'angle qu'elle fait avec la normale CO; nous avons

puis, en prenant les logarithmes des deux membres de l'équation [a) et différentiant, nous obtenons

dr , du

h COti rit H z=z G.

Combinons ensuite cette équation avec les équations (c) et (r/),

d'(i' -tang/-^;

et comme

innai — —

y^ I — sin^ / y/r* fji^ — 7^

7 â'piosinz,

nous avons

- fx, sm z rffA

ig8 ASTRONOMIE SPHÉRIQUE.

L'intégrale de ^Ç' prise entre les limites Ç' = Ç et ^'= z i. mne la

valeur de la réfraction.

Posons — = 1 — ^, il viendra r

(e) rfç'=- " (•--)*in^rff

f*i/cos^z — ( I— -^ I +(2J— ^') sin'z

Pour intégrer cette équation il faudrait connaître s en fonction de p; celte dernière grandeur dépend de la densité, et la Physique nous apprend que la quantité fA^ — i ou puissance réfractwe est proportionnelle à la densité. Soit, des lors, une nouvelle variable, la densité p, donnée par Téquation

dans laquelle c désigne une constante, telle que d'après les expériences de Biot on a, pour la température de o° et la pression atmosphérique de o'^y'jGo,

cpo = 0,000 588 768 ;

on obtient