ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE LA EÉFR ACTION

Le facteur

est le carré du rapport de Tindice de réfraction absolu de la couche de rayon r à l'indice de la couche située à la surface de la Terre. Puisqu'aux limites de l'atmosphère fx =:= i et qu'au contraire pour le passage du vide dans la couche située à la surface

de la Terre po= i> 000 294, le rapport — sera toujours compris

entre des limites très-resserrées ; on peut donc, sans erreur sensible, remplacer le facteur variable

par la moyenne de ses valeurs extrêmes i et i — 2a, c'est-à-dire par la constante i — a.

Posons encore, pour abréger,

OÙ w est une fonction de s qu'il faut déterminer ; nous aurons

a (i — s)sinzdw

dx; =

' * y^cos^z — 2a«' 4- (25 — j'jsin'z

Or s est toujours petit, car pour une hauteur de l'atmosphère égale à 76 kilomètres, la plus grande valeur de s est seulement 0,0116; on peut donc écrire

, , a sin z dw

, (cos'z — 2a «'H- 25 sin' z)*

a 5Sinz(cos^z — 19. w -k- \ s %w? z) dw (cos'z — 2 a «^ H- 25 sin'z)*

le second terme de cette formule est, comme nous le verrons plus tard, toujours assez petit pour qu'on puisse le négliger, et ri'avoir

égard qu*au premier terme, dans une première approximation. Pour avoir la valeur de la réfraction^ il faut intégrer Texpression d^' entre des limites correspondantes à r:=z a et rz^a-t-H, H étant la hauteur de Tatraosphère, et on voit aisément quMi suffira d'ajouter la valeur de Tintégrale obtenue à la distance zénithale apparente pour avoir la distance zénithale vraie. Posons maintenant

«' = F(.) et ^L^ = çW.

et introduisons une nouvelle variable x donnée par l'équation

nous aurons, d'après la formule de Lagrange,

d*oà

dx dx ^ dx\j^ ^ dx \

Pour tirer de là l'expression de la réfraction, il faut multiplier

, a siïïzdx , .

chaque terme par ===== et intégrer ensuite

I — a ^cos'z + 2x sin'z

entre les limites ci-dessus indiquées. Mais pour effectuer cette intégration, il faut connaître w en fonction de j, c'est-à-dire connaître la loi suivant laquelle la densité de l'air décroit avec la hauteur.

71. Lois du décroissement de la température et de la densité de l'atmosphère, — Soient p^ et t» la pression de l'air et sa température à la surface de la Terre, p et r les valeurs de ces mêmes grandeurs à une certaine hauteur dans l'atmosphère, m le coeffi-