I -h Cpo

208 ASTRONOMIE 8PHÉRIQUB.

et, en prenant pour nouvelle variable

am — I

r= ^ 1 smz,

Féquation (e') (p. 198) se réduit à la forme simple

d'où, en intégrant entre les limites j=sinz et j = im^i '

(i-f-cp.)"^ correspondantes à p =r p, et p = o, on déduit

sinz

sin[z — ■ 7.m — 1)^2] =

(H-rp.) '

C'est la formule de réfraction connue sous le nom ùe formule fie Simpson, bien qu'en fait elle soit équivalente à la formule donnée par Bouguer en 1729 dans un Mémoire sur la Réfraction, couronné par l'Académie des Sciences.

, £n ajoutant et en retranchant sinz aux deux membres de l'équation précédente, et divisant les deux équations ainsi obtenues, on a

/2/W — I \ (1-4- cpo) ' •— I / 2W— I - ,

tang (^— ^— ^^ j = ' '-^-. tang [z -— H],

formule équivalente à celle qu'a donnée Bradley.

Dans le cas de la réfraction horizontale z = 90°, et, comme cp, est très-petit, on a

^1 im — I - \ im — I ^^"g'\^ ^— ^^•j = i""^^"

HYPOTHÈSE DE BOUGCER. 209

OU approximativement, à cause de la petitesse de ^z«,

y im — I

Si Ton ne voulait considérer que le phénomène des réfractions astronomiques, on pourrait déterminer m de telle sorte que le second membre de cette équation représentât la réfraction horizontale observée. L'expression générale de tang ( $z\

donnerait alors pour toutes les hauteurs la réfraction Bz, C'est le procédé qu'ont suivi plusieurs astronomes pour construire une Table de réfraction, et c'est ainsi que Laplace a trouvé, à l'aide d'un grand nombre d'observations,

(îz =60^666 tang (z — 3, 355z).

Mais il faut, en outre, que la constitution admise pour l'atmosphère donne non-seulement les réfractions observées, mais encore la diminution de la pression barométrique et de la température que Ton trouve en s'élcvant dans Tatmosphère. Nous allons considérer ces deux phénomènes dans l'hypothèse précédente. Dans l'équation (pi) du n^71

remplaçons - par la valeur I — \ > et intégrons; comme

p s'annule avec p, nous aurons

P-(i + cp)"+ ' [i-(i+cp)°-^']

expression qui donne à très-peu près

en divisant cette équation par Tcquation (P)» il vient

p ma p'

— = — 7 cpo —

On en déduit, pour la surface de la Terre,

mz=z 1

acp^

et, par suite, pour la réfraction horizontale.

4 A Î&L Va 4

avec les valeurs déjà données, pour la température o® et la pression 0^,760, on trouve, après division par sin 1",

Cette valeur est moindre de 7' que la réfraction observée par Argelander; mais elle est plus grande que celle qui résulte de l'hypothèse d*une densité constante; ainsi, la constitution réelle de l'atmosphère est comprise entre celles que donnent la supposition d'une température uniforme et Thypothèse actuelle.

Dans cette dernière hypothèse, la densité des couches atmosphériques diminue en progression arithmétique quand leur hauteur croît suivant une progression semblable. En effet a=zr(i — s), d'où approximativement r = a (i -^ s) et, as étant la hauteur de la couche au-dessus de la surface de la Terre,

as = mcp^ a ( i — —\^

Aux limites de l'atmosphère p = o,' donc aj» = 2/o; la hauteur de l'atmosphère est donc ici double de ce qu'elle est dans l'hypothèse d'une densité constante.

HYPaTHÈSE DE BOUOCIER. 2 1 I

Les expressions précédentes de p et m donnent

Ppa P g^

d'où, à l'aide de l'équation (a) du n®71, on déduit

Ainsi, dans celte hypothèse, la température des couches diminue, comme leur densité, en progression arilhrtiétique. D'après Rud-

berg et Regnault, m = — --^ il faudrait donc s'élever dans l'at-

2/ mosphère de — - = 58"*, 6 pour obtenir i® centigrade d'abaissement dans la température. Mais, d'après les observations faites par Gay-Lussac dans sa mémorable ascension aérostatique en 1804, cet abaissement se produit pour une élévation de i^S" environ (4o°,25 pour une hauteur de 6980"*); l'hypothèse que nous considérons ne représente donc ni les réfractions observées à l'horizon, ni la loi de la diminution de la température. Dans l'hypothèse d'une densité constante, on a

Pop k '

il faut donc s'élever d'une hauteur moitié moindre que dans l'hypothèse précédente pour voir le thermomètre baisser de i**; cette hypothèse est donc encore plus loin de satisfaire aux observations sur les réfractions et la température. On voit en même temps que, plus on se rapproche de l'observation sur les réfractions, plus on s'en rapproche lelativement aux températures.

La constitution de l'atmosphère étant comprise entre les deux limites d'une densité décroissante en progression arithmétique (hypothèse de Bouguer) et d'une densité décroissante en progrèssian géométrique [hypothèse de P^ewton, (équation 72)], une hypothèse qui participerait de l'une et de l'autre de ces lois semble devoir représenter à la fois les réfractions et la diminution observées dans la température des couches atmosphériques. L'hypo-

thèse suivante réiinit ces divers avantages à celui d'un calcul fort simple.