CHAPITRE XIÏ. — SYSTÈMES BINAIRES

aurons évidemment les relations

X = a:'cos^ —y sini^cosi -h^' sin^ sin/, y = :r'sini^ -f-^r'cosii cosi — ;;'cos^ sin/, z =z ^^' sin t -I- ^' cos /.

Si dans ces équations nous faisons z'= o, les coordonnées Jr^y, z

résultantes

ix = .r' cos^ — y sin^i cos/, j' = x' sin iJ H- y cos Q, cos /, y' s'ini

caractériseront un point quelconque du plan de l'orbite réelle, cl, en les remplaçant par leurs valeurs dans (i), on aura Téquation de la section du cylindre par le plan de l'orbite réelle, c'est-à-dire l'équation de l'orbite réelle; la coordonnée z n'entrant évidemment pas en compte ici, puisqu'il s'agit d'un cylindre dont l'axe lui est parallèle, les valeurs précédentes se réduisent à

ir = a:'cosoi — ^'sinj^cosi, • ^' = ar'sin^ H-^'cos^cos/ P).

En les portantdans(i)et supprimant les accents, on aura pour équation de Torbite réelle dans son plan

IA(jrcosi^ —j^ sin i^ cos/)* -h 'ilKxcosSl — ^ sin^i cos/) (x sin^ -i-y cos^i cos/) (3) ' -h B(j'siniJ -1-^cos^cos/)*

h 2G(iFC0s^ — y sini^ cos/) r- iF (xsin^ -H^cos^ cos/)-i- 1 = o,

où l'origine des coordonnées est le foyer de l'ellipse; d'autre part si Ton suppose l'ellipse rapportée à deux axes de coordonnées

{') Soit

ycosi = y, on aura

X — x'cosQ— y'sinQ, y-. x'sinQ-4-^''cosQ;

ï^Ialions qui reprcscnlenl un changement de coordonnées dans lequel les '>rdonnées y ont été réduites dans le rapport de cosi à i, tandis que l'axe des x' l'>Drnait de l'angle Q.

donl Taxe des x soit le grand axe et l'origine le foyer, son équation est

faisons rourner l'axe des x d'un angle ). du grand axe vers la ligne des nœuds, puisque le sens de la rotation est négatif; on a

X = x' cosX -r- j' s'mX, y = .r'sinX -t-j^'cosX,

d'où, en remplaçant dans l'équation précédente, et enlevant les accents

, ,^ /a* rosX 4- y sinX -4- rte\- / — 5? sinX — r cosXX' ^^> ( a^ )-"( V^- )=!'

qui représente l'équation de l'ellipse rapportée à son foyer et à la ligne des nœuds.

Les deux équations (3) et (4), représentant la même courbe par rapport aux mêmes axes de coordonnées, sont nécessairement identiques, et, par suite, les coefficients des mêmes puissances des variables sont proportionnels. On a ainsi les relations suivantes, où £ désigne un facteur arbitraire :

^^^ ' (^"o*^ "^ nj^} ^ ^ cos»a -h B sin2£ -+- II sin-i^i,

(6) tf^}^^^^\ =(Asin^^-»-Bcos2^-Ilsin9.iî)cos^-,

(7) ^ ( "7 ~~ 71 ) sinaX = ( — A siriA^C^ -+- B sinaiCi-haH cosiJDcos/,

(8) gf-^^Gcosiî+Fsinrû,

I x ^ Sin X , ry • rs ■- ^ . .

(9) £ = (— G siii^\i -+- l^ cosfl) snw,

(10) e(,eï)=— I.

Cette dernière équation donne

d'où, si l'on pose/? = ^/(i — ^-),