CHAPITRE XII. — SYSTÈMES BINAIRES

On a donc, par

le rapport dans lequel il faut augmenter toutes les ordonnées de l'orbite réelle perpendiculaires au grand axe, pour avoir le cercle de l'excentrique E de Kepler; siipposons-le décrit autour de Forbite réelle et projeté avec elle; d'autre part, nous savons tracer la projection 06' du petit axe de l'orbite réelle, puisque c'est le diamètre de l'ellipse apparente conjugué à la projection connue du grand axe.

Ceci posé, prolongeons dans le rapport de A* à i les ordonnées de l'orbite apparente parallèles à 06', nous aurons une nouvelle section conique 8a"g, qui est évidemment la projection du cercle E; nous l'appellerons ellipse auxiliaire, car, une fois construite, elle résout le problème à elle seule.

En effet il résulte évidemment de son origine que :

i" Le demi-grand axe «i de l'ellipse auxiliaire, lequel est égal au rayon du cercle E, est égal au demi grand axe a de l'orbite vxaie;

2^ Sa direction est celle de la ligne des nœuds et son angle de position égal à Q ;

3" Le rapport — ^ des deux demi-axes de cette ellipse est le cosinus de l'angle d'inclinaison i;

4" L'angle V de son grand axe avec la projection Oa" du grand axe de l'orbite réelle est la projection de l'angle X — (gj - - 8) que fait, dans le plan de l'orbite, la ligne des nœuds avec celle des apsides ou du périastre; cet angle est donc donné par

(i) tangX' -^. tangX cosi,

d'où

tang(nï — fl) ^ j- tang X'

et par suite l'angle m.

Cet angle rs peut être obtenu d'une autre manière purement {graphique ( * ) : toutes les distances perpendiculaires à la ligne des

(') N. RussEL, A /ie*v graphical method of determining the éléments of a double-star orbit {Astronomical Journal, n*» 434).

nœuds étant réduites par projection dans le rapport y» si l'on

abaisse de la position apparente d' du périastre une perpendiculaire a!'V sur la ligne des nœuds, et si, sur cette perpendiculaire, on prend un point R tel que

R sera la position que le périastre devrait occuper si l'orbite avait tourné autour du grand axe de l'orbite auxiliaire dans le plan de

visée. Par conséquent, Tangle POR sous-tendu par PR au centre de l'ellipse auxiliaire est l'angle X^r^-m — G entre le nœud et le périastre dans le plan de l'orbite vraie, angle qu'il est facile de mesurer et qui donne l'angle to.

Ainsi aux mesures qui nous ont donné e, il suffit d'ajouter celles des deux axes a^ l)\ ainsi que des angles Q et >/ ou \ pour avoir tous les éléments géométriques de l'orbite; l'application de ce procédé sera des plus rapides si l'on a un moyen simple et ])récis pour tracer les deux axes de l'ellipse auxiliaire. Ce moyen le voici.

Les axes de l'orbite réelle sont deux diamètres rectangulaires du cercle de Kepler : les droiles suivant lesquelles ils se projettent sont donc deux diamètres conjugués de l'ellipse auxiliaire, diamètres qu'il est bien facile de tracer puisque nous connaissons l'un d'eux (la projection du grand axe).

Soit r/" rextrémilé de ce diamètre sur l'ellipse auxiliaire: sur la normale à l'ellipse en ce point, et de part et d'autre du point de contact, prenons deux longueurs d' p^ a" q égales à la longueur V du conjugué de O^/'. Par les points /?, q et le centre O décrivons une circonférence qui coupera en A' et B' la tangente à l'ellipse auxiliaire en t^' : les droites OA' et OB' seront les axes cherchés ( • ).

b. Forme analytique. — Les formules qui traduisent ana- Ijtiquement cette méthode sont d'une égale simplicité.

(') Pour 110 pas (loiiiier à la figure des dimensions exagérées, nous n'avons rnar<|U(! que l'un. li', do ces deux points.