I. — Introduction des termes d'ordre supérieur dans les

APPROXIMATIONS. — NaTURE DE CES TERMES

Lia variation d'un élément quelconque x du mouyement elliptique peut être représentée , comme nous Tavons tu Livre II, Ghap. m, par une équation difTérentielle de la forme

(A) ^ = 84-2^'>^(/)8in(tT--iO+2^^c/)COs(tY-tO + 6,.

Cette équation comprend :

1® La partie séculaire S qui, ne contenant que les éléments elliptiques des planètes, varie avec une extrême lenteur; *

2® La partie X sin(i'/' — il) + ^i cos(t'? — il) + ... qui renferme les longitudes moyennes lei t des deux planètes considérées, ainsi que les éléments de leurs orbites. Chacun des termes de cette suite constitue, pourTélément variable y» une inégalité périodique dépendant de la configuration des planètes. Lorsqu'on accroît ces termes d'une inégalité de même nature, la variation de la partie périodique présente

des produits de sinus et de cosinus qui se transforment aisément en sommes; de plus, si les arguments sont les mêmes, il s*y joint un terme constant S, que Ton doit réunir aux termes séculaires proprement dits.

Remarquons, d'ailleurs, que chacun des termes qui expriment la variation des éléments elliptiques, comprend en facteur la masse du corps troublant.

U en résulte que si les masses sont très petites, les inégalités périodiques le sont aussi, et qu'on peut, en les déterminant par rintégration, regarder comme constants les éléments qui y entrent. Mais si les masses ne sont pas très petites, comme il arrive dans le cas de Jupiter et de Saturne, les résultats ainsi obtenus ne sont qu'approchés. Pour en obtenir de plus exact il faut, dans le second membre de Féquation ci-dessus, substituer aux éléments qui y figurent leurs valeurs augmentées de leurs perturbations périodiques déterminées par la première approximation. La variation de la partie séculaire S ne présente alors que des termes périodiques de même forme que dans le premier ordre, et la partie périodique^ sin (lY — itj +... donne, par sa variation, naissance à de nouveaux termes périodiques et à de nouveaux séculaires, dans lesquels entrent le carré des masses et leurs produits deux à deux.

L'équation différentielle (A) prend donc cette forme :

^ = 8 + ]^ ^(/, sin (tY— t^ + 2 ^(J) ^08 (tY— il) ^ .S' -|. 2 ^^'^ sin (iT— it) + 2 ^ifl cos (tY— il);

et l'on peut, en réunissant l'ensemble des termes séculaires (S -f- S') à la somme des termes périodiques, traiter cette seconde équation comme la première.

S'il devenait nécessaire d'effectuer une troisième approximation, on le pourrait en procédant comme nous venons de le faire à Tégard de la seconde ; on serait ainsi conduit à de nouveaux termes, les uns périodiques, les autres séculaires et dans lesquels entreraient nécessairement en facteurs les cubes des masses et les produits des trois dimensions de ces quantités.

Nous devons remarquer qu*en déterminant les inégalités périodiques par l'intégration des équations différentielles (A), on doit tenir compte des variations séculaires des éléments des orbites. Or, lorsqu^on a égard à cette influence, il s'introduit dans les approximations des termes périodiques d'ordre supérieur par rapport aux masses, qui sont surtout sensibles si les actions perturbatrices sont grandes. Dans la théorie de Jupiter et de Saturne, les termes de cette espèce affectent par- ,

Uculièrement les parties périodiques de la longitude moyenne, I

de la longitude du périhélie et du demi-grand axe des orbites; et leur considération rend particulièrement difficul- { tueuses les théories de ces deux planètes. '

Revenons aux équations différentielles (A) dont l'ensemble représepte les variations des éléments des orbites de m et de m'.

Ces équations n'étant intégrables par aucune des méthodes connues, on a dû eu chercher la solution par un développement en séries*

Soient, en n'ayant d'abord égard qu'à la partie séculaire de

t;es différentielles,

Ces équations du premier ordre ex priment, chacune, une relation entre les éléments a, e, e... qui entrent dans la formation de leurs seconds membres. Par des différentiations successives, on pourra donc en déduire les valeurs des dérivées

(Pa cPe cPa (Pe

dt^' dt^'"' dt^' dt^"'

indéfiniment exprimées en fonctions des mômes éléments.

Cela étant, supposons que les éléments qui entrent dans ces diverses dérivées aient été remplacés par leurs valeurs à une époque arbitraire t^ : alors on aura pour l'époque quelconque t

Et ces expressions, où les coefficients-^» —^••- ont des

valeurs toujours fort petites, seront des intégrales très approchées des équations différentielles proposées (1). Considérons maintenant l'équation

•f=^ sin(iT — it) + ^^ cos(2'r — iî\ + ... qui se rapporte à la partie périodique des différentielles des

390 PARTIE II. — LIVRE ï. — CHAPITRE III

éléments et où nous supposerons que les coefficients y^, ^L^ ..• varient très lentement en raison des inégalités séculaires. •

En intégrant par parties cette dernière équation, et faisant pour abréger Ç = i7 — tï, a = t'n' — m, on aura

;,^ = --cos!; + -^ 8inÇ + -^cosi;-...

ou

a* '^ dt ~

+ -T+-^ + -:ïï5 r^osÇ-

L'élément p dépend de l'équation du second ordre ^= Dit sln(tY — il) + D\b^ cos(tr — it) + ...

En procédant comme nous venons de le faire à l'égard de x, on en déduira pour l'expression de p développée en séries :

cosÇ.

Les coefficients X, «D^^n.. qui entrent dans l'expression générale de i^ sont, comme ceux ^, 8'..., des fonctions des divers

;)îb,

2c»It

Zd^dll,

élémenU des orbites. En ayant donc recours aux équations (1), il sera facile d*en former les dérivées successives. Il faudra ensuite pour rendre la formule (3) effective, y substituer à la place des éléments a, 6, c..., que renferment ces coefficients et ces dérivées, leurs valeurs séculaires à Tépoque t. Or c'est ce que Ton pourra toujours faire à l'aide des formules (2) que nous venons d'écrire.

III. — Parties périodiques de lâ longitude moyenne, de l'excentricité et de la longitude du périhélie

Les inégalités périodiques qui affectent la longitude moyenne de Jupiter sont, en premier lieu, les inégalités à longue période dépendant des arguments

et, en second lieu, l'ensemble des termes périodiques dus aux actions des planètes perturbatrices. Toutefois, comme les actions directes des planètes Vénus, la Terre, Mars, Uranus et Neptune, sont très faibles, Le Verrier se contente d'appliquer aux valeurs des coordonnées v et r, calculées à l'aide des formules du mouvement elliptique, les corrections 8t? et 8r par lesquelles il est tenu compte de ces actions. Mais il ap-

(a) Cette inégalité qui dépend de deux fols le moyen mouvement de Jupiter, plus trois fois le moyen mouvement d^Uranus, moins six fois le moyen mouvement de Saturne devient sensible à cause de la petitesse de Taogle

et surtout parce qu'elle est d*un ordre peu élevé par rapport aux excentricités et aux Inclinaisons,

392 PARTIE II. — LIVRE I. — CHAPITRE lU

plique directement à la longitude moyenne et aux autres éléments de l'orbite, Fensemble des terme& périodiques qui résultent de Taction de Saturne. En désignant par T la longitude moyenne de cette planète, comptée à partir de Téquinoxe du 1" janvier 1860, et par r la même quantité relative k Jupiter, on a, pour représenter Tensemble des termes dont nous parlons,

(i) Lp^ = 2 ^' *^° ^'^ + 2 ^* ^^^ *^ '

S/ et C/ sont des coefQcients fonctions seulement de Ç=r' — Z'*^, et l'un nombre entier qui devient successivement égal ai. 2... 5 dans la première somme et à 0, 1, 2... 5 dans la seconde.

Quand aux inégalités à longues périodes dont les arguments sont V, 2V et W, elles ont respectivement pour expressions :

/ Lp^ = MsinV-f-NcosV, (2) Lp^ = M^ sin 2V + N^ cos 2V,

( Lp^ = MaSinW + NjC0s2W,

M, N, M^jN,... étant des coefficients fonctions du temps, dont nous développerons plus loin les expressions.

L'ensemble de tous ces termes, c'est-à-dire la somnfîe des quatre fonctions (i)et(2), constitue la partie périodique totale Lp de la longitude moyenne de Jupiter. On a ainsi :

(a) Lp = Lp^ + Lp^ + Lp^ + Lp^.

On aurait semblablement pour les perturbations pério-

diques totales de Texcentricité E et de la partie (E803)

E^ = E^^+E,^ + E^3 + Ep^,

E8o)p = E (8(0p^ -f- Swp^ + 8(0^^ + 8w^J,

expressions dans lesquelles E^ , Ep ... ES<op ... désignent des fonctions analogues à celles (1) et (2) ^^K

En divisant ESwp par la partie séculaire de l'excentricité, c'est-à-dire par la valeur E, que nous avons donnée page 383, on en conclura la variation périodique totale de la longitude du périhélie ou 8(5^.