AT

2CG^ a

c'est-à-dire

On a donc, en résolvant par rapport à r, (12) r = -=t

équation d'une section conique dont un des foyers occupe le centre du Soleil et qui représente une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que C est négatif, nul ou positif.

En éliminant G^ — —5— entre cette équation (42) et la

seconde des équations (il), on trouve

(13) cos Ç = cos <p cos {^ — h).

Mais, en désignant par Fia projection de m sûr la sphère, et par Ci le nœud ascendant, on a évidemment

^^-A = YP-Ya = siP;

par conséquent, Ç = mÇi est la longitude de la planète comptée dans le plan de Torbite à partir du nœud Ç^.

Si Ton remarque maintenant que le minimum de r a lieu pour ï = ^, on voit que g est la valeur de Ç qui correspond à la moindre distance de la planète au Soleil ; c'est donc la longitude du périhélie comptée dans le plan de Torbite à partir du nœud ascendant. Quant à la différence j; — ^, il est aisé de voir que c'est Vanomalie vraie de la planète.

Cherehons encore la signi6cation de la constante c. On a par la troisième des équations (7)

/*>• dr

1 , I* iCr+p,

et si, pour éliminer arc cos^ on pose {u désignant ranomalie excentrique)

(15) cosw = ■ , ' *==>

on aura

(16) 8in u = Vl-cos»u = y/^~y^, V2(|*r+Cr«)— G»,

FORME CANONIQUE DES ÉQUATIONS DU MOUV. ELLIPTIQUE 87 et, par suite, l'équation (14) deviendra

Faisant dans celte équation t« =r o, on en conclut t = — c; par conséquent la constante — c est la valeur du temps qui correspond au passage de la planète par le périhélie.

Les équations (12) (15) et (16) que nous venons d*établir déterminent complètement la position de la planète dans son orbite : car u étant donné en fonction de / par Téquation (16), on aura r en fonction de u et par suite en fonction de t, au moyen de Féquation

qui se déduit aisément des relations (15) et (16). Ç étant donné, du reste, en fonction de r par Téquation (12), on voit que la position de la planète dans son orbite se trouvera déterminée à chaque instant par les équations (12) (16) et (18).

Si Ton observe actuellement que, d'après la nature de Torbite décrite, on a