VIII PRÉFACE

Ces deux parties quoique distinctes se tiennent et se complètent mutuellement.

La seconde partie, qui est à la fois théorique et pratique, constitue sous beaucoup de rapports un ouvrage nouveau. Par la nature des sujets qui y sont traités, elle se rattache au calcul des Éphémérides planétaires et on peut la considérer comme le complément de Touvrage que nous avons publié sur cette matière (a), ouvrage où nous avons bien essayé d'expliquer la disposition et l'usage des Tables astronomiques, mais sans entrer dans l'examen des diverses questions auxquelles donne lieu leur composition.

Depuis longtemps, pensons-nous, les jeunes Astronomes, les Marins et tous ceux qui s'occupent d'Astronomie théorique ont dû désirer qu'il existât, sur le Calcul des perturbations, un ouvrage dans lequel les principes de cette science fussent exposés sous une forme claire, concise, méthodique et facilement applicable.

Nous croyons être arrivé à réaliser ce désir, à combler cette lacune.

En tout cas, les lecteurs compétents apprécieront, nous n'en doutons pas, les efforts que nous avons faits pour atteindre ce but. A. S.

(a) Traité d*Astronom%e prcUique, conleuant l'exposltiou du Calcul des ËpUémérides astronomiques et nautiques, d'après les méthodes en usage dADi la composition de la Connaissance des Temps et du Nautical Almanae. Grand ln-8, Parie, 1883.

Découverte de la g^ravitation universelle

Du nombre des découvertes qui honorent Tesprit humain il n'en est pas de plus admirable que celle de Tattraction entendue dans le sens newtonien. C'est à cette découverte que nous sommes redevables de l'explication exacte des phénomènes du flux et du reflux de la mer, de la procession des équinoxes, de la nutation de Taxe terrestre, de la diminution de l'obliquité de l'écliptique. G*est à elle que nous devons non seulement une démonstration rigoureuse des lois empiriques de Kepler, mais encore l'explication des diverses afiomalies par lesquelles les planètes et les satellites s'écarteat de ces lois. C'est par elle enOn que se sont trouvés expliqués et déterminés avec une admirable exactitude le mouvement des nœuds des planètes et de la Lune, celui de leur apsides, la masse des planètes, leur sphéricité, leur aplatissement, en un mot tous les effets résultant de Tattracli^n mutuelle des corps célestes.

ASTBOHOlflB TBéORlQUB. 1

8 INTRODLCTIOX HISTORIQUE

r^a plus ancienne trace que l'on rencontre dans Thiàtoire de la Science du grand principe qui nous occupe est Topinion pro fessée par Anaxagore, Tun des successeurs de Thaïes danis la direction de TÉcole ionienne. Ce philosophe célèbre soutenait que tous les corps célestes sont formés d'une matière pesante, à peu près semblable à celle de la Terre ; et lorsqu'on lui demandait comment il arrivait que des corps h'mfti constitués pussent demeurer suspendus dans Fe&pace, il répondait que la cause en était dans leur mouvement circulaire, et que leur chute serait immédiate si ce mouvement venait à cesser (a). Cette idée de l'attraction qu'eurent plus lard Démocrile, Epicure, Plutarque et quelques philosophes contemporains de ce dernier, fut partagée au xvu' siècle par Copernic lui-même. Ce savant attribuait en effet la forme Bphérique des corps célestes à la tendance qu'ont leurs parties à §a réunir, mais sans cependant étendre cette tendance d'un corps à un autre (6). Kepler, doué d'un esprit hardi et synthétique, fut le premier qui e ut l'idée d'embrasser dans un système unique tous les mouvements célestes. Ce grand homme sentit bii^n vite que l'attraction était universelle et réciproque, et quelle devait s'étendre d'un corps à un autre. Pour lui « la gravité ef<t une affection corporelle et mutuelle entre les corps, afin de se réunir. Si là Terre et la Lune n'étaient pas retenues d*ns leurs distances respectives par une force, elles se porteraient l'une vers l'autre, en parcourant pour se joindre des espaces réciproques à leurs masses. Si la»Terre cessait d'attirer les eaui de l'océan, elle se porterait sur la Lune, en vertu de la force attractive de cet astre. Cette force qui s'étend jusqu'à la Terre

[a] Uiogèoe Laôrce, io Anaxag. lib. II. {b]. De revol. orb. cœlest., lib. I, cap. 9.

y produit les phénomènes du flux et du reflux de la mer. Le corps du Soleil est magnétique; il agit comme un aimant sur les planètes » (a). Kepler, on le voit, rapproche ici Fat traction de la force magne'tique, conception qui était dans les idées régnantes du temps. Fermât, dans ses Varia operaMath,^ fait le même rapprochement, mais il assimile la gravitation à la pesanteur. « L'opinion la plus accréditée, dit ce grand géomètre, est qu3 la pesanteur est une qualité qui réside dans le corps même qui tombe; d'autres cependant pensent que la chute des corps procède de Tat traction d'un autre corps qui attire celui qui descend comme la Terre; il y a une troisième opinion qui n'est pas horsdi vraisemblance, c'est que la pesanteur est une attraction mutuelle entre les corps, causée par un désir naturel qu'ont ces corps de s'unir ensemble, comme il arrive au fer et à l'aimant, i»

Après Kepler, Descartes essaya également de ramener tous iesphénomènes célestes à ne dépendre que des lois de la Mécanique. Suivant lui, le Soleil et chaque étoile sont le centre d'autant de tourbillons de matière subtile autour desquels circulent d'autres corps plus petits. Notre système solaire, par exemple, est un tourbillon formé de cette matière inerte, terne, au centre duquel se trouve placé le Soleil. Le tourbillon du Soleil, en circulantautourdela Terre, entraine les planètesavec lears tourbillons et ceux-ci à leur tour entraînent les satellites. Descaries adopte ici, comme on le voit, l'idée fausse qu'avait avant lui Tycho-Brahé de faire mouvoir le Soleil et l'ensemble des planètes autour de la Lune. Cette opinion était loin sans doute d'être partagée par les philosophes contemporains de

{a) Ast nov. in lotrod.

Descartes, mais, au xvii" siècle, il fallait la professer pour ne pas s'exposer à des persécutions pareilles à celles qu'eut à subir plus tard Galilée. On ne peut douter cependant, en lisant le livre des Principes de la philosophie, que Deseartes ne fût très sincère en adoptant lui même l'idée de l'immobilité de la Terre; car voicià peu près comment il s'exprime dans la troisième partie de cet ouvrage qui traite du monde visible, « Après avoir ôté, dit-il> par ces raisonnements tous les scrupules qu'on peut avoir touchant le mouvement de la Terre, nous pensons que la matière subtile du ciel où sont les planètes tourne sans cesse circulaîrement ainsi qu'un tourbillon qui aurait le Soleil à son centre, et que ses parties qui sont proches du Soleil se meuvent plus vite que celles qui sont éloignées jusqu'à une certaine dislance, et que toutes les planètes au nombre desquelles nous mettrons désormais la Terre demeurent toujours suspendues entre les mômes parties de cette matière céleste ou subtile. Car, de même que dans les détours des rivières où Teau se replie en elle même et lournoyantainsi fait des cercles, si quelques corps fort légers flottent parmi cette eau, on peut voir qu'elle les emporte et les fait mouvoir circulairement avec soi; et même parmi ces corps on peut remarquer qu'il y en a souvent quelques-uns qui tournent autour de leur propre centre, et que ceux qui sont* plus proches du centre du tourbillon qui les contient achèvent leur tour plus tôt que ceux qui en sont plus éloignés; et enfin que bien que ces tourbillons d'eau affectent toujours de tourner circulairement, ils ne décrivent presque jamais des cercles entièrement parfaits, et qu'ainsi toutes les parties de la circonférence ne sont pas également distantes du centre ». Descartes pense donc que les mêmes choses peuvent se dire du mouve-

ment des planètes et que cela seul suffit pour expliquer tous leurs phénomènes.

Quant aux mouvements terrestres, que Descaries examine dans la quatrième partie de ses Principes^ c'est toujours parles mêmes hypothèses qu'il les explique. Pour lui la pesanteur résulte de la légèreté môme de cette matière inerte, indéfiniment divisible, qu'il nomme matière céleste ou subtile. Si les corps pèsent vers le centre de la Terre, c'est qu'ils sont dépourvus de force centrifuge, et s'ils Vonibent, c'est que d'autres corps s'élèvent et prennent leur place.

Cette idée de Descartes de faire dépendre des mômes lois mécaniques les grands mouvements des cieux et de la Terre, était à son époque une conception neuve et liardie qui dut paraître séduisante à beaucoup d'esprits. Cependant l'incohérence du système cartésien, l'invraisemblance de ses suppositions ne tardèrent pas h le faire rejeter. On prouva que la matière subtile était une chimère et que ses tourbillons étaient en contradiction avec les lois établies et les faits observés, puisqu'ils ne s'accordaient pas avec les comètes dont les mouvements sont dirigés dans tous les sens. Et ainsi fut ruinée la doctrine du philosophe français, comme l'avaient été celles des anciens astronomes de l'École d'Alexandrie.

ÏI

On voit encore l'attraction mutuelle des corps célestes indiquée dansles écrits de Galilée, Roberval, Borelli, Hévelius, niais personne, avant Newton, n'en avait parlé avec plus d^exactitude ni de clarté que Robert Hookc, dans son Essai pour prouver le mouvement de la terre, paru à Londres en

1674 {a). On peut même dire qu'il faillit enlever à Newton la gloire de la plus brillante de ses découvertes. Voici, en effet , dans quels termes précis s'exprime Hooke à la page 27 de Touvrage que nous venons de citer: « J'expliquerai, dit-il, un système du monde différent à bien des égards de tous les autres et qui est fondé sur les trois propositions que voici : i« tous les corps célestes, sans en excepter aucun, ont non seulement une attraction ou une gravitation sur leur propre centre, par laquelle ils attirent leurs parties, mais encore ils s'attirent mutuellement les uns les autres dans la sphère de leur activité ; 2*» tous les corps qui ont reçu un mouvement simple et direct continueraient à se mouvoir en ligne droite, si quelque force effeclive ne venait sans cesse les en détourner et les contraindre à décrire un cercle, une ellipse ou quelqu'autre courbe plus compliquée ; 3^* Tattraclion est d'autant plus puissante que les corps attirés et attirants sont plus près l'un de l'autre ». Quant à la loi suivant laquelle cette force diminue à mesure que la distance augmente, Hooke avoue qu'il ne l'a point encore vérifiée.

Cette loi, qui s'ëtaitsoustraite aux expériences de Hooke, il était réservé à Newton de nous la faire connaître. C'est en 1665-1666 que, retiré à Woolstrop, sa ville natale, Newton tourna ses méditations vers la nature de la pesanteur et ses effets. De ce que la force qui produit la chute des corps, c'està-dire la gravitéy ne diminue pas sensiblement lorsqu'on s'élève de la surface de la Terre au sommet des plus hautes montagnes. Newton en conjectura qu'il pouvait bien se faire que cette force s'étendît jusqu'à la Lune et que ce fût préci-

(a) An attempl to prove the molioa of ihe Earth Trom observaiioDS, 167 4 ^ ia-4.

sèment elle qui retint cet astre dans son orbite. Cette conjecture émise, il s'agissait de la vérifier, et pour cela, il fallait parvenir à déterminer la quantité de cette diminution ou la loi suivant laquelle décroît cette force à la dislance de la Lune. Newton songea alors que si la Lune était retenue autour de la Terre par la pesanteur terrestre , les planètes, dans leur mouvement autour du Soleil, devaient être retenues dans leurs orbites par une puissance semblable, émanant de cet astre ; et, en comparant les périodes des différentes planètes avec leurs distances au Soleil, il trouva que si une force semblable à celle qui s'exerce à la surface de la Terre retenait les planètes dans leurs orbites, cette force devait diminuer en raison inverse du carré de la distance.

Parvenu ainsi à la connaissance de la loi de la pesanteur des planètes vers le Soleil, Newton s'empressa d'en faire Tap plication à la Lune. 11 supposa donc que la pesanteur s'étendaîtjusqu'à cet astre en a'afTaiblissant dans le rapport qu'il venait de trouver, puis, afin de vérifier son hypothèse, il chercha à déterminer la quantité dont la Lune tombe vers la Terre dans un court intervalle de temps, ou celle dont cet astre s'écarte de la tangente qu'il suivrait s'il n'était pas sollicité par la Terre. Celte quantité qui n'est autre chose, comme il est aisé de s'en convaincre, que le sinus verse de l'arc décrit par la Lune dans le même intervalle de temps, s'exprime en fonction du rayon de la Terre. Pour parvenir à la solution désirée, il fallait donc avant tout connaître la valeur de ce rayon. Mais à Tépoque où Newton entreprit ce calcul, la longueur du degré terrestre était loin d'être connue avec exactitude. Newton la supposa, avec les navigateurs et les géographesde son temps, égale à 60 milles anglais ou 297,151 pieds

-rr-.

de Paris, quantité trop faible de ^ environ. Newton ne trouva donc pas le résultat qu'il attendait pour vérifier sa conjecture, et soupçonnant que quelque cause inconnue se joignait à la pesanteur pour en modifier, dans le cas de la Lune, la loi générale, il abandonna ou du moins, il ajourna ses recherches sur ce sujet. Les ayant reprises vers le mois de juin 1682, et s*étant cette fois servi du degré terrestre récemment déterminé en France par Picard, il put constater que la Lune était retenue dans son orbite par le seul pouvoir de la gravité et que cette force, dont l'intensité allai^précisément en diminuant dans le rapport qu'il avait autrefois assigné, était bien de même nature que celle qui agit à la surface de la Terre.

Cependant Newton pouvait encore douter de la parfaite analogie des deux forces, car la loi de la pesanteur que le mouvement des planètes indiquait n'avait été obtenue qu'en supposant les orbes de ces corps circulaires et concentriques au Soleil. Il était donc nécessaire de s'assurer si cette loi de la gravitation était générale et si elle pouvait s'étendre au cas des orbites supposées elliptiques. Un problème sur les projectiles que lui avait proposé Hooke, dès 1679, et dont nous aurons bientôt à reparler, l'avait déjà mis sur la voie de cette recherche ; car Newton, par un calcul rigoureux, avait prouvé que tout corps qui se meut sous l'influence d'une force attractive émanant d'un centre et variant proportionnellement au carré de la distance doit nécessairement décrire une ellipse ou en général une section conique, dont l'un des foyers est précisément au centre de cette force (a). En rapprochant ces ré-

(a) Jean.Baraoulll démontra plus tard que la proposition inverse est également vraie, c'est-à-dire que la force centrale étant supposée en raison inverse* du carré de la distance, Torbile est nécessairement une section conique. Œuvra de J, BarnouUi^ 1. 1, p. 469.

suUats des lois assignées par Kepler aux orbites planétaires, Newton put donc en conclure que les planètes sont retenues dans leurs orbites elliptiques par une force de même nature que celle qui agit à la surface de la Terre et variant réciproquement au carré delà distance au Soleil. L*identilé entre ces deux grandes forces de la matière, celle qui s'exerce sur la Terre et celle qui réside dans tout l'univers, était donc un fait rigoureusement démontré, et à Newton revenait désormais le grand mérite d'avoir réuni dans une même loi les phénomènes qui dépendent de la chute des corps terrestres et ceux que font naître les mouvements des corps célestes. Cette loi universelle. Newton Fénonça en disant que toutes les parties de la matière gravitent les unes vers les autres avec une force proportionnelle à leurs masses et réciproque au carré de leurs distances mutuelles; et c'est du développement des conséquences de celte loi admirable que ce grand géomètre composa la première édition de ses Principes mathématiques de la Philosophie naturelle, le plus beau monumont que le génie de l'homme ait élevé aux sciences exactes.

Ce livre célèbre et sublime,qui contenait l'ébauche de toutes les grandes découvertes astronomiques, n'eut pas à son apparition tout le succès qu'il méritait, et plus de cinquante ans s'écoulèrent avant que le principe de la gravitation universelle fût admis comm^ une vérité incontestée. La Physique ^cartésienne qui régnait alors en souveraine dans toutes les Écoles du continent n'avait pas peu contribué à diviser sur ce point les esprits même les plus éclairés; et l'on vit longtemps après la publication du Livre des Principes trois grands géomètres, Huygens, Jean Bernoulli et Leibniz se refuser à admettre le système newtonien et même le combattre. Huygens,

Cooglc

préoccupé surtout des idées hypothétiques qu'il s'était faites sur la cause de la pesanteur, n'admettait la gravitation new- Ionienne que pour les astres et la rejeta de molécule à molécule. Jean Bernoulii, qui avait été grand partisan du système cartésien, soutenait que Tattraction ne pouvait être en même temps proportionnelle à la masse du corps attiré et suivre le rapport inverse du carré des distances. Quant à Leibniz, soit par esprit de système, soit peut-être aussi par rivalité , il se posa hardiment en adversaire de la doctrine newtonienne et publia même une dissertation dans laquelle il cherchait à démontrer autrement les vérités que Newton avait établies dans son grand Ouvrage. La réaction en faveur du nouveau système finit cependant par s'opérer et nous devons dire qu'elle fut aussi complète que possible.

L'admiration que nous inspire la brillante et féconde découverte de Newton ne doit pas nous rendre ingrat envers ses contemporains et nous empêcher de leur rendre la justice qui leur est due. Hooke, dont les recherches se trouvent liées par une coïncidence singulière à toutes les grandes découvertes de Newton, mérite d'être nommé un des premiers. Par ses réflexions métaphysiques autant que par ses expériences ingénieuses, cet homme vraiment extraordinaire, que Tamour de la Science inspirait, a jeté une vive lumière sur presque toutes les branches de la Physique céleste; et si,

PREMIÈRE SECTION . il

dans la question qui nous occupe, il n*a pu parvenir à la loi mathématique de Tattraction, il faut du moins lui rendre cette justice, que ses travaux n*ont point été inutiles au progrès des sciences, et qu'ils n*ont pu que guider Newton dans la voie des recherches qui devaient le conduire à sa découverte.

Il parait bien difficile de reporter à une date précise les premières recherches de Hooke sur la gravitation universelle. Ce qui est certain, c*est que dès 1666 ce physicien avaifr très bien r^onnu que les mouvements planétaires doivent résulter d'une force d^impulsion primitive, combinée avec la force attractive du Soleil. L'expérience qu'il fit devant la Société royale de Londres pour le prouver, est intéressante à plus d'un titre et mérite d*être rapportée. Voici donc comment- Hooke s y prit pour présenter sa découverte. 11 suspendit au plafond de la salle un pendule formé d'un très long fil, à l'extrémité duquel était attachée une boule en bois destinée à représenter la figure d'une planète. En écartant ce pendule de la position verticale et l'abandonnant ensuite à l'effet de la pesanteur, la boulé devait nécessairement décrire un arc de cercle dans le plan vertical de l'oscillation. Or Hooke remarqua que si, tout en laissant agir ainsi ce pendule, on lui imprimait un mouvement latéral, c'est-à-dire. perpendiculaire au plan de l'écart, la boule, au lieu de décrire un arc de trajectoire plane, se mouvait horizontalement, et traçait autour de la ligne verticale une ellipse ou une série d'ellipses qui étaient d'autant plus ouvertes ou moins excentriques que rimpulsion latérale était plus considérable. Dans le but de représenter, toujours à l'aide du même mécanisme, le mouvement réel de translation de la Terre et de la Lune autour du

Soleil, Hooke fit la seconde expérience que voici. Il atlacha au moyen d'un second fil une boule plus petite au fil vertical de la première, puis, après avoir mis ce second pendule en oscillation autour de ce dernier fil, il imprima à la première boule un mouvement latéral comme dans la première expérience. Il vit alors que ni Tune ni Tautre des deux boules ne décrivait plus une ellipse et que c'était leur centre commun de gravité qui semblait parcourir cette courbe. Hooke en conplut donc que, dans le système formé par la Terre et la Lune, ce n'est pas le centre de la Terre qui parcourt une ellipse, mais bien le centre commun de gravité de ces deux corps.

Ces expériences étaient assurément intéressantes, en ce qu*elles offraient un exemple de la composition du mouvement curviligne en deux forces, Tune impulsive et Tautre centrale, mais elles étaient loin, comme on le pense bien, de donner une image, même approchée, des mouvements célestes. Il y avait, en effet, entre les ellipses ainsi obtenues et les ellipses planétaires, cette différence capitale que, dans les premières, la force centrale est constamment dirigée vers le centre de l'ellipse, tandis que, dans les ellipses planétaires, cette force réside au foyer même de la courbe et est réciproque au carré de la distance à ce point.

Hooke sentit très bien cette distinction; il comprenait que toute la difficulté du problème consiste dans la détermination de la force qui retient les corps célestes dans leurs orbites, d'après la forme môme de ces orbites ; mais, n'étant pas assez versé dans l'étude des mathématiques, et les mathématiques elles-mêmes n'étant pas à son époque assez avancées, il ne put jamais parvenir à la solution du problème énoncé dans des termes aussi généraux. Cette admirable découverte, qui

PREMIÈRE SEGTIOPI 13

nous a dévoilé le secret du système du monde, exigeait le secours d'une analyse transcendante et nouvelle, et c'est au génie de Newton qu'elle était réservée.

G*est dans le but de suppléer à TinsufOsance de l'analyse à cette époque, et à ses propres moyens, que Hooke avait entrepris d'étudier la nature de la force attractive par des expériences directe:^, et qu'il avait imaginé les ingénieux appareils que nous venons de décrire. Quelques années plus tard, en 1674, il rassembla ses idées sur ce sujet et publia son Essai pour prouver le mouvement de la ^é?rre,dontnous avons présenté un extrait au paragraphe qui précède. Sans vouloir amoindrir en quoi que ce soit l'importance des propositions qui y sont contenues, nous ferons remarquer toutefois que cet ouvrage est bien moins un exposé de faits nouveaux qu'une généralisation des principes déjà entrevus par Kepler, Copernic, Galilée et Descartes. Hooke, en publiant son système, a eu cependant un très grand mérite, c'est d'avoir coordonné tous ces principes et de les avoir présentés comme formant la base du vrai système du monde. A la page 28 de l'Opuscule que nous venons de citer, Hooke dit en effet : « Cette idée étant suivie comme elle mérite de l'être, ne peut manquer d'être très utile aux astronomes pour réduire tous les mouvements célestes à une certaine règle, ce qui, je crois, ne pourra jamais s'obtenir autrement. Ceux qui connaissent la Ihêorie des oscillations du pendule et du mouvement circulaire comprendront aisément sur quels fondements repose le principe général que j'énonce, et ils sauront trouver dans la nature les moyens d'en établir le véritable caractère physique. Je ne veux ici que rindiquer à ceux qui ont le temps ot la faculté de suivre plus loin cette recherche et qui réuniront la science du calcul au

talent de Tobservation, souLaitant ardemment que c,e principe soit développé, et ayant moi-même en mains d*autres recherches que je désire terminer d'abord, ce qui m'empêche de m'en occuper pour le moment ; mais j'ose promettre à celui qui réussira dans cette entreprise qu'il trouvera dans ce principe la cause déterminante des plus grands mouvements que l'univers nous offre, et que son développement complet sera la véritable perfection de l'astronomie. »

Bien que ce ne soit qu'en 1678 que Hooke ait commencé à parler du carré des distances, dans un livre intitulé Cometa il y a tout lieu de croire que cette loi lui était connue lorsqu'il publia son Essai sur le mouvement de la Terre. Ce qui est hors dé doute, c'est que, vers la Qn de l'année 1679, ses idées sur ce point étaient définitivement arrêtées, et qu'il se servait de la loi présumée pour rectifier la solution donnée par Newton d'un problème concernant le mouvement des projectiles. Ce problème, que l'on peut énoncer ainsi : « déterminer la nature de la courbe décrite par un corps tombant d'une très grande hauteur», avait été proposé par les membres de la Société royale, dans le but d'étudier l'infiuence du mouvement de rotation de la Terre et d'en bien constater la réalité. Newton, qui supposait la chute opérée dans un milieu résistant et qui du reste avait adopté l'hypothèse d'une intensité de pesanteur constante, avait annoncé que la courbe serait une spirale. Hooke répondit avec raison que la courbe n'était pas une spirale, mais que ce serait une ellipse dans le vide et une courbe ovoïde excentrique si la chute s'opérait dans un milieu résistant comme l'air. Ce fut là, comme nous l'avons dit (§ I, p. 8), l'occasion qui amena Newton à rechercher si le mouvement des planètes pouvait résulter d'une gravitation en

raison inverse du carré de la distance, et à confirmer par le calcul Texactitude de cette grande loi.

On voit donc que, dès 1678, Hooke s'était formé une idée très positive et très vraie de la loi du décroissement de la force attractive ; mais déjà et auparavant d'illustres savants avaient eu connaissance de cette loi et lavaient à différentes époques énoncée plus ou moins clairement. Kepler est le premier qui Tait soupçonnée , mais il la rejeta bientôt pour adopter celle d'une variation en raison inverse de la simple distance. Bouilleau, qui cloutait cependant de l'attraction, reprochait à Kepler d'avoir adopté cette dernière loi; il disait formellement, en 1645: «si Tattraclion existait, elle suivrait la loi du carré des distances ». Bouilleau était un savant très estimable, mais qu'un faux esprit de système avait malheureusement égaré en plus d'une circonstance. Wren, mathématicien anglais, bien connu par l'universalité de ses talents, passait aussi pour avoir connu dès 1671 la loi exacte de Tattraction, mais il ne semble pas qu'il ait établi cette loi autrement que Bouilleau, c'est-à-dire par des considérations purement métaphysiques. Halley, vers le commencement de 1684, fit faire un pas de plus à la question. En s'appuyant sur la troisième loi de Kepler et se servant des théorèmes qu'Huygens avait donnés dès 1672 sur les forces centrifuges (a), il reconnut que la force qui retient les planètes dans leurs orbites supposées circulaires était réciproque au carré de chaque distance au Soleil, précisément comme Newton Favail trouvé en 1666, lorsqu'il entreprit son premier calcul sur la pesanteur de la Lune. Quant* à l'idée de l'extension du

(a) Horolagtum oêciUatoriumf in fvL

principe de gravité à tous les corps célestes, elle appartient incontestablement à Borelll qui en a donné la première application dans son ouvrage sur les satellites de Jupiter, publié à Florence en 1666 (à). Il est vrai que Borelli y fait décroître la gravité dans le simple rapport de la distance au Soleil ; mais il faut bien se rappeler qu*à cette époque la loi de ce décroissèment était mal connue, et que Borelli n'était pas en possession des théorèmes de Huygens qui auraient pu l'y conduire. Ces théorèmes n'ont été donnés, en efîet, que six ans plus tard.

Après cet exposé rapkle, mais complet du progrès et du développement des idées sur l'attraction, nous réduirons h quelques mots ce qui nous reste à dire sur la question de priorité que souleva Hooke à l'apparition du livre des Principes de la philosophie naturelle.

C'est sur les instances de Ilalley que Newton se décida à publier ce livre admirable, et c'est le docteur Vincent qui fût chargé de le présenter en son nom à la Société royale de Londres.

Cette présentation eut lieu le 26 avril 1686.

Les acclamations enthousiastes qui l'accueillirent indisposèrent Hooke, qui réclama obstinément sa part dans la priorité de la découverte, prétendant y avoir un droit égal à celui de l'auteur. Ses récriminations à cet égard furent même si violentes que Halley crut devoir les soumettre à Newton,

(a) Theoricœ Medicmorum planelarum ex eausU physicis deductm.

dans la lettre de remerciements qu'il lui adressa au nom de la Société royale. « M. Hooke, dit-il, attend de vous que vous reconnaissiez ses droits de priorité dans la préface de TOuvrage » (a).

La réponse de Newton, en latin, est datée du 26 juin 1686; mais, comme elle est fort longue, nous la réduirons à ce qu'elle a d*ess'entiellement intéressant et documentaire pour le point de droit qui nous occupe (5).

Newton commence par déclarer à Halley qu'il est intimement persuadé que le chevalier Wren, auquel il rendit visite vers 1671, était déjà, à cette époque, en possession de la loi du carré des distances et que, par conséquent, Hooke, qui n*a commencé à en parler qu'en 1678 dans son livre intitulé cometa, ne peut être considéré que comme le dernier des trois qui Tait connue. Newton affirme ensuite n'avoir jamais étendu cette loi de la surface au cjntre di la terre, et fait remarquer à Halley que, depuis plus de quinze ans, il a composé un écrit ou Fattraction d3s planètes vers le Soleil se trouve calculée d'après la loi rigoureuse de la gravitation. Enfin il termine sa lettre en accusant Hooke de s'être approprié l'hypothèse même de Borelli, et de l'avoir

(a) Cette leUrese trouTe dans The hislory of royal goôiely of London, publiée par Birch. VoicL textaellemeot le passage qui se rapporte aux reTeodicalioas de Hooke : « There is one thlog more, that I oaght to iaform you of, yiz. that M. -Hooke bas some preteasioas upoa the iaveotloo of the rute of decrease of gravity belag reciprocally as the squares of the distaoces from Iheceatre. He says you had theaotioa from bim, tbougli heowus Ibe demoastratioa of the curves generaled thereby to bewbolly yourown.How znuch of thisis so, you kaow best ; as likewise what you bave to do la ilsis matler. Ooly M. Hooke seems to ezpectyoushould make some mentioa of blm the préface, wbich It is possible you may see rea^on to prefiz. (b) Biographia 6riianntca, art. Hooke p. 2659.

ASTBONOXIB THEORIQUE. 2

complétée comme sienne en s'inspirant des idées émises sur le môme sujet par ses prédécesseurs {a).

Toutes les tentatives que Halley etle chevalier Wren firent auprès de Hooke pour l'engager à publier sa découverte demeurèrent infructueuses. Hooke affirmait positivement qu'en partant de la loi du carré il était parvenu à expliquer toutes les circonstances des^ mouvements célestes, mais lorsqu'on lui demandait d'en fournir une preuve, il répondait qu'il était bien aise de la tenir encore secrète, afin de donner aux géomètres le temps de s'exercer sur une question si importante. Plus tard, il prétendit qu'il avait édifié sur le principe de l'attraction une théorie tout-à-fait nouvelle d'un système du monde, mais que ce système ayant besoin d'être complété en plusieurs points, il ne jugeait point à propos de le publier. Cependant, dès le mois d'août 1684, Newton avait remis à Halley la démonstration tant désirée de la loi de la gravitation et cette démonstration avait été consignée dans les registres de la Société royale ; aussi lorsque, à l'occasion de la présentation du livre des Principes^ Hooke renouvela ses prétentions, l'avis unanime des membres fut que, rien de tout ce qu'avançait Hooke n'ayant été inséré dans les registres de la Société ou rendu public par l'impression, Newton devait être considéré comme le premier et unique inventeur. Hooke ne put jamais fournir la démonstration qu'on lui demandait et Newton resta seul maître de la découverte.

(a) Newton voulut bien cepeDdaol proclamer plus tard l'indépendance des idées de Hooke, Wren et Halley dans un scliolie qui fait suite au coroU. VI de la proposition IV du livre III des Principes, Après avoir énoncé dans cette proposition la loi du carré des distances, Newton ajoute : < Le cas de ce corollaire VI est celui des corps célestes comme Hooke, Wr(»n et Halley Tont cliacun conclu des observations. »

Il parait que ce grand homme, fatigué des attaques dont il avait été assailli, voulait, au moment de l'impression, supprimer le troisième livre de ses Principes et ne conserver que les deux premiersavec ce titre : Demotu corporum ; mais Halley parvint heureusement à le faire changer de résolution. Ce troisième livre qui a pour titre De mundi systemale renferme les applications au système du monde et peut être regardé comme le couronnement de l'œuvre. La beauté du génie de î^ewton y parait plus que dans les deux premiers, à cause de la variété et de l'importance des sujets qui y sont traités. C'est dans cette troisième partie, en effet, que ce grand géomètre entreprend d'expliquer le mouvement des planètes, les inégalités de la Lune^ le flux et le reflux de la mer, etc, problèmes dont la solution offrait alors les plus grandes difficultés et que Newton résout avec une rare élégance par la méthode synthétique des anciens géomètres.

L'ouvrage des Principes eut du vivant de l'auteur trois éditions. La première parut à Londres en 1687 sous le titre de Philosophiœ naturalis principia mathematica^ in-4°, et fut imprimée aux fraisdela Société royale. La deuxième fut publiée à Cambridge, en 1713, avec des additions considérables, et la troisième à Londres, en 1726, par les soins du docteur H« Pemberton, l'ami intime et le confident de Newton. A ces deux éditions il faut encore ajouter celle de 1739-1742 que publièrent à Genève les Pères Le Seur et Jacquier, minimes, et la traduction française de Madame du Chastelet, parue à Paris en 1759. Cette édition en 2 volumes in-4'» contient un excellent commentaire attribué à Clairaut et est très estimée.

Analyse du problème fondamental des perturbations

La question qui consiste à déterminer les actions réciproques que les corps célestes exercent les uns sur les autres, en vertu de leur attraction mutuelle, dépend, en dernière analyse du problème suivant, célèbre dans l'histoire de la Science sous le nom de Problème des trois corp*. Etant données les masses de trois corps ainsi que leurs positions et leur vitesses (celles-ci en grandeur et en direction), trouver la courbe que ces corps doivent décrire en vertu de leur attraction supposée proportionnelle à leurs masses et en raison inverse du carré des distances.

Ce problème, qui n'a été résolu jusqu'ici que par approximation, a excité les effortsd es plus grands géomètres. Ebauché d'abord par Newton dans ses recherches sur le système du monde, il fut repris un peu plus tard par Glairaut d'Alembert et Euler qui en donnèrent presqu'en même temps une solution générale.DepuiSyCe problème a fait l'objet des méditations d'un grand nombre de géomètres, et de très remarquables travaux se sont produits qui en ont avancé la solution dans le cas général. Cependant cette solution est loin d'être complète.

Des douze intégrations qu'elle exige,deux seulement, indépendamment de celles qui résultent des principes des aires et des forces vives, ont pu être obtenues directement ; il en reste donc encore six à faire. Dans Tétat d'imperfection où est encore Tanalyse, on doit désespérer d*y parvenir, et c'est ce que les géomètres qui se sont occupés de la question ont très bien compris, car depuis longtemps ils semblent n avoir eu d'autre but que de perfectionner les méthodes d'approximation, afîn de les rendre applicables au cas du mouvement de la Lune attirée par le Soleil et par la Terre. Nous verrons dans la suite de cet ouvrage les eiïbrts qu'ils ont faits pour y parvenir et les résultats qu'ils ont obtenus.

C'est dans la onzième Section du Livre I des Principes que Newton a renfermé les propositions relatives au Problème des trois corps et qu'il a analysé les divers effets qui résultent de leur attraction mutuelle.

Dans la proposition LXVI, ce grand géomètre entreprend de prouver que « si trois corps de masses inégales s'attirent mutuellement en raison inverse du carré des distances, et si i*on considère d'abord les attractions des deux plus petits vers le troisième (autour du quel ils sont supposés tourner), le plus intérieur des deux petits corps décrira autour de ce corps central, comme foyer, des aires qui approcheront davantage d'être proportionnelles au temps et une orbite plus sensiblement elliptique, si le grand corps est soumis aux attractions des deux autres que s'il ne Tétait pas ou qu'il le fût suivant une loi différente de celle supposée. »

Pour le démontrer, Newton suppose d'abord que les deux plus petits corps tournent autour du plus grand dans le même plan. 11 décompose alors l'attraction du corps extérieur vers

l'autre petit corps en deux composantes, Tune dirigée suivant une parallèle à la ligne qui va du corps intermédiaire au corps central, et l'autre suivant la droite qui joint le corps central au corps le plus extérieur. La première de ces deux forces s'ajoute à celle qui provient do l'attraction mutuelle du corps intermédiaire et du corps central, et ne change en rien la loi des aires ; mais, comme elle n'est pas rigoureusement proportionnelle au carré des distances, elle altère la loi de la force suivant laquelle le corps intermédiaire est attiré vers le corps central, et, par suite, déforme l'orbite décrite par ce corps. Quant à la seconde force, celle qui est dirigée suivant la droite qui va du corps central au corps extétérieur, elle change à la fois la proportionnalité des aires et la forme de Torbite décrite, et ceci pour deux raisons. La première c'est que cette force n'est pas dirigée du corps intermédiaire au corps central, et la seconde c'est qu'elle n'est pas réciproquement proportionnelle à la distance qui sépare ces deux corps. En général, on peut dire que c'est par la différence entre Tattraction du corps central vers le corps extérieur et la seconde composante que se produit la double altération dont nous parlons ; et l'on voit qu'elle est d'autant plus faible que cette différence d'attraction est plus petite. La même conclusion se tire du cas où les trois corps ne sont pas situés dans le même plan.

Les mêmes lois d'attraction étant posées, Newton démontre encore (dans les deux propositions suivantes) que le corps extérieur, supposé plus petit que le corps central, décrit autour du centre de gravité des deux autres, comme foyer, des aires qui sont plus près d'être proportionnelles au temps et une orbite plus approchante de la forme elliptique qu'autour

du corps central, et que cette proposition a lieu plus exactement encore si le corps central est attiré par les deux autres que s'il ne l'était pas ou qu*il le fût suivant une loi différente. Enfin dans la proposition LXIX, ce grand géomètre, en considérant* faction que chacun des corps d'un système exerce successivement sur tous les autres, parvient à cette conclusion remarquable, que les forces absolues de deux corps l'un sur Tautre sont entre elles comme leurs masses; d'où il est naturellement conduit à regarder TattracUon c^me la tendance qu*ont toutes les molécules de la matière à se rapprocher les unes des autres, quelle que soit au reste la cause physique ou métaphysique de cette tendance.

Les conséquences qui découlent de ces théorèmes, et en particulier du premier, sont nombreuses. Newton les examine dans les corollaires qui suivent et rend compte avec une grande simplicité des changements que Taction mutuelle des trois corps introduit dans la forme, la grandeur et la position de l'orbite troublée, d*après les différentes situations que ces corps peuvent occuper dans l'espace. Tous ces résultats sont obtenus à l'aide d'une synthèse rigoureuse, et c'est vraiment admiral^Ie de voir avec quel ordre et quel enchaînement Newton les établit dans cette partie de son ouvrage.

Un corps qui loame autour d'an autre corps doit, eo vertu des lois new^toniennes, décrire une section conique* L*o>Mer* vation et le calcul ont montré que cette courbe, dans le c-it

des planètes et des satellites, était une ellipseayant pour foyer le centre de l'autre corps et obéissant en toute rigueur aux lois de« Kepler. Mais, si à l'action de ce corps on joint celle d'un troisième corps placé dans un plan différent, on rencontre des difficultés qu'il a été impossible jusqu'ici de surmonter.

On peut facilement et de plusieurs manières former les équations différentielles qui expriment les conditions du mouvementfdes trois corps; on peut même, comme nous le verrons, en réduire notablement le nombre et en abaisser Tordre; mais, là où apparaît la difficulté, c'est lorsqu'on veut intégrer toutes ces équations eif termes finis, c'est-à-dire rigoureusement. Les méthodes que l'on possède dans l'état actuel de l'analyse sont insuffisantes pour effectuer tette intégration, et l'on est obligé d'avoir recours à des approximations qui sont surtout fondées sur celte supposition, que la masse de l'un des corps attirants est beaucoup plus grande que celle des deux autres. C'est ce qui a lieu en particulier lorsqu'on applique la solution du Problème des trois corps au mouvement de la Lune troublé par le Soleil et par la Terre.

Celte difficulté d'intégrer, Clairaut l'avait rencontrée au début de ses recherches sur le Problème des trois corps, et elle lui parut si considérable, qu'il ne chercha d*abord qu'à simplifier les équations du problème sans s'occuper de leur résolution. Il y revint cependant un peu plus tard et présenta, à l'occasion d'un prix proposé par le comte de Lauraguais, de nouvelles re marques sur le Problème des trois corps, qui furent communiquées à l'Académie des Sciences dans la séance du 23 juin i759. Dans l'opuscule qui les contient, et qui a pour

litre Eéfleanons sur le problème des trois corps (a), etc., Clairaut parvient avec la plus grande facilité aux six équations différentielles du second ordre qui expriment les conditions du problème, et, par des transformations très simples, il tire ensuite de son système quatre équations dififérentielles du premier ordre dont deux s'intègrent entièrement. Ces deux équations, comme le remarque Clairaut, ne sont qu'une traduction du théorème de Newton sur le mouvement du centre de gravité; les deux autres résultent des principes de la conservation des aires et des forces vives. Glairautue considère dans son travail que le cas où les trois corps se meuvent dans le même plan ; mais il fait observer que sa solution peut s'appliquer sans difficulté au cas où le mouvement s'elTectue dans des plans différents.

En joignant aux quatre premières intégrales dont nous venons de parler deux quelconques des équations primitives, on obtient un système de six équations différentielles qui renferment la solution du Problème des trois corps, pris dans toute sa généralité. Clairaut le remarque à la Bn de son analyse, mais ne voyant toujours que la difficulté de parvenir à une solution rigoureuse, il ajoute : Intègre maintenant gui pourra! Et jusqu'ici personne n'a pu le faire.

En 1772, Lagrange envoya à l'Académie des Sciences un nouvel essai sur le Problème des trois corps qui remporta le prix proposé par la classe des sciences mathématiques. La méthode que ce grand géomètre y expose est très belle et fort importante au point de vue analytique. Elle consiste à n'em-

(a)Ce Mémoire a élA inséré, en août 1759, dans le Journal des savant». On trouve aussi dans le même journal, n** de décembre 1760 et janvier 1761, les premiers essais de Clairaut sur le Problème des trois corps, tels qu'Ua avaient élé d*abord présentés à l'Académie des Sciences dans le courant de l'aonée 1747.

itï INTRODUCTION HISTORIQUE

ployer, dans la détermination de Torbite de chacun des corps Â, B, G, d'autres éléments que leurs distances mutuelles, c'est-à-dire à considérer à chaque instant le triangle variable formé par ces trois corps. Envisagé avec cette généralité, le Problème des trois corps comporte alors deux recherches distinctes. 11 faut d'abord trouver les équations diiïérentielles de chaque côté du triangle mobile autour du centre de gravité des trois corps; et, en supposant ces distances déterminées en fonction du temps, il faut ensuite en déduire les orbites relatives de ces^corps par rapport à un plan fixe quelconque. Lagrange rapporte le mouvement des trois corps à des coordonnées rectangulaires et parvient très simplement aux équations différentielles du second ordre qui expriment les mouvements relatifs des corps B et G autour du corps A, et cellesquidélerminentlesorbitesrelativesducorpsG autour deB. Ces équations sont au nombre de neuf et se transforment facilement les unes dans les autres à cause de leur forme symétrique. Lagrange en déduit avec facilité les quatre intégrales premières que fournissent le principe des aires et celui des forces vives, puis il réduit les six premières équations primitives qui renferment lasolution complète du problème à deux équations différentielles du second ordre et à une du troisième. Ces trois équations sont moins simples que les primitives, car elles renferment chacune deux signes d'intégration ; mais elles ne contiennent aucun radical, ce qui est, comme le remarque Lagrange, un avantage précieux dans ces sortes de problèmes.

Les trois côtés du triangle variable ABC étant ainsi déterminés en fonction du temps, on peut connaître à chaque instant la position relative que les trois corps occupent dans l'espace;

mais, pour avoir l'orbite même de ces corps, il faut déterminer les coordonnées qui fixent leurs positions.

Lagrangé se livre à cette recherche dans la seconde partie de sa solution et parvient à onze équations seulement entre les six coordonnées des corps A et B et leurs difTérenlielles ; il en conclut que la détermination de ces inconnues ne peut se faire par les règles ordinaires de Télimination, et montre comment on peut y arriver à] *aided*une intégration. Ce grand géomètre parvient ainsi aux formules qui servent à déterminer les orbites des corps B et G autour du corps A par rapport à un plan fixe passant parce dernier corps, et prouveque, parmi tous les plans que Ton peut faire passer pas le corps A, il y en a un qui doit être choisi de préférence, comme étant le plus propre à simplifier le mouvement des deux autres; il montre ensuite comment les mêmes formules peuvent servir À déterminer les positions mutuelles des orbites de B et G.

La solution do Problème des trois corps donnée par Lagrange -est, comme nous venons de le voir, des plu^ remarquables ; cependant, en réduisant les six équations difTérentielles do second ordre, qui expriment le mouvement relatif des trois -corps, à deux équations do second ordre et à une do lroi<(iéme, ce grand géomètre n'a fait qa*ajoater une intégrale nouvelle h celles déjà connues des aires et des forcer vives* Dans iK^^n système, l'achèvement de la solution dépend donc encore de ^epi intégrations.

Jacobi, [qui s'est occupé après Lagrange du Problème des trois corps, a réduit les six équations différentielles primitives à cinq équations du premier ordre et à une seule du second.; il a donc fait, comme Lagrange, cinq intégrations {a), mais son analyse présente ce caractère remarquable de simplicité, que, dans les équations différentielles du problème, les dérivées secondes des coordonnées prises par rapport au temps sont toujours représentées par les dérivées partielles d'une même fonction (la fonction des forces), comme cela a lieu dansTétat primitif.

La transformation que Jacobi fait subir aux équations du problème pour arriver à ce résultat repose sur les considérations suivantes. Soient m^ {x^ y^ z^, m^ {x^ y^ z.^, m^ {oc^ y^ z^) les neufs coordonnées respectives des trois corps rapportées à leur centre commun de gravité, centre que Ton peut supposer en repos. Une propriété bien connue de ce centre donne entre ces trois systèmes de coordonnées trois équati(ms linéaires qui permettent d'exprimer ces neufs coordonnées en fonction de six variables nouvelles q^, q^y q^, q^j q^, q^ et d'un pareil nombre de constantes, ces dernières devant satisfaire seulement à deux relations linéaires de môme forme que les précédentes. Par la substitution des relations qui lient les coordonnées anciennes aux nouvelles, on peut alors réduire la force vive du système proposé à celle d'un système de deux corps fictifs ayant jx {q^, q^, ^5,), jx^ [q^, q^. q^ pour coordonnées; et, par les formules connues de Lagrange, on en déduit aisément les

(a) Ed réalité, Jacobi a fail fix iotégralioDS. car on peut facilement B*aBsurer que son système difTérenliel est réductible à un système de six équations du premier ordre. Cette remarque curieuse a été faite eu 1863 par un savant géomètre anglais M. A. Gayley. Voyez les Comptes rendus de l'Académie des Sciences. T. LVI.

DEUXII^.ME SECTION !29

équations différentielles du mouvement sous la forme simple que nous avons énoncée. Quant aux deux corps fictifs a, (X|, ils ne s'écartent des corps véritables que de petites quantités de Tordre des forces perturbatrices ; en sorte que, dans ane première approximation, on peut regarder leur mouvement autour du centre de gravité des trois corps romme elliptique. Ayant ainsi réduit le Problème des trois corps à un problème du mouvement de deux corps, Jacobi démontre : i^'que Tintersection commune des plans desorbitesdesdeux corps fictifs reste constamment dans un plan fixe, c'est le planjnvariable du système; 2® que les inclinaisons des deux orbites à ce plan fixe et les paramètres de ces orbites, regardées comme des ellipses variables, sont quatre éléments, dont deux quelconques déterminent rigoureusement les deux autres. Il est donc naturellement conduit à prendre pour variables de la question : V les inclinaisons des deux orbites au plan invariable ; 2® les deux rayons vecteurs ; 3* leurs distances au nœud ascendant commun des plans des deux orbites ou les angles qu'ils forment avec l'intersection commune de ces plans ; et 4' enfin l'angle que forme cette intersection avec une droite fixe située dans le plan invariable ou la longitude du nœud ascendant dés deux orbites. Jacobi remarque en terminant que ce dernier angle disparaît entièrement de son système différentiel et se détermine après l'intégration par une simple quadrature. Dans ce système, Félimination des nœuds se trouve donc complètement effectuée.

INTRODUCTION HISTORIOCE

Dans un Mémoire sur Tlntégration des équations différeniielles de la Mécanique, M. J. Bertrand est parvenu à réduire la question à Vintégration de six équations, toutes du premier ordre^ comme dans la forme définitive du système de Jacobi. Sa méthode, purement analytique, s'applique à l'intégration des équations de forme Hamiltonienne , et consiste dans la recherche des intégrales qui, combinées avec celles dea aires, donnent à Téquation de Poisson la forme illu* soire 0^0. On sait que cetle circonstance peut avoir lieu de deux manières différentes : 1** lorsque la combinaison (a,p), au lieu d'être une fonction des variables Va Pfflt îji îrti ^ est égale à zéro ou à une constante numérique ; et 2° lorsque cette quantité est fonction des deux intégrales (a) et (p) de sorte que la relation (a,p) = constante donne une intégrale qui rentre dans celles déjà connues (a) et [p]. Par exemple, quand Tune d'elles (a) est celle des forces vives et que l'autre (p) ne contient pas le temps, on a identiquement (a,p) = G et aucune intégrale nouvelle ne s'ajoute à celles (a) et (p) dont on est parti. Ces divers cas d'exception doivent sans doute limiter beaucoup l'emploi de la méthode d'intégration que fournit le théorème de Poisson (a). Mais, dans les cas mêmes où cette méthode

(a) ConâidéruDS les équatioDS du mouvement mises sous la forme

^^^ dl '^ dqt' dl "" dpi'

H étant unâ foiicUon des variables Pi*..pny 9i*>*(//if t, Gea équations étant au nombre de 2n, leur intégration fera connaître 2n

échoae, les intégrales (a) et (p) jouissent de propriétés partîcalières dont on peut souvent tirer parti pour achever ou du moins pour pousser plus loin l'intégration des équations proposées. C'est ce que M. Bertrand a fait voir dans son Mémoire, en rattachant l'un à l'autre les deux cas dans lesquels le théorème de Poisson donne des résultats illusoires, et en montrant qu'il suffit pour les étudier de chercher les intégrales qui conduisent à des résultats identiques. Il a été ainsi conduit à énoncer le principe suivant, sur lequel est fondée sa méthode. Si (ot) et (p) sont deux intégrales d*un môme problème de mécanique, et si, en les

iotégrales renfermant 2nconBlante8 arbitraires oti...»;», ^i.>*Pn » ^^ ^^ ^'on suppose ces intégrales résolues par rapport aux constantes, on aura 2n équations de la forme

Cela posé, le théorème de Poisson consiste en ce que, si (a) et 0) sont deux intégrales quelconques de ce système, la quantité

2j\dqidpi dpidqi) 1 = 1

que Ton représente par (a,^), conserve une valeur constante pendant ton. e la durée du mouvement.

Cette belle propriété des intégrales (a) et (^), que Poisson a fait connaître dans son premier Mémoire sur la variation des constantes arbitraires, fournit une méthode très remarquable d'intégration mise en lumière par Jacobi. En effet, («,^} étant une fonction de Pi...p„» 9i.-.9/ii "^ on régale À une constante arbitraire, on aura en général une troisième intégrale du problème proposé ; cette troisième intégrale pourra d'ailleurs, par sa combinaison avec Tune des deux premières, en produire une quatrième ; ceile-d une cinquième et ainsi de suite jusqu'à la complète résolution du problème. Maliieureusement, les cas dans lesquels la combinaison des deux premières intégrales ne fournit aucun résultat nouveau sont excessivement nombreux, ainsi que M. Bertrand Ta montré ; mais il est très remarquable que la recherche de ces cas ait pu conduire A une nouvelle Méthode d'intégration.

combinant par la méthode de Poisson, on trouve une troisième intégrale (a,p) = Y» puis une quatrième (a, y) = Ç etc., en sorte que Ç = F (a, p, y... tj), il existe toujours une certaine intégrale de forme Ç = /'(a,p...r|) qui, combinée avec (a), donne identiquement (a, î) = 1.

Edmond Bour. en partant des formules de M. Bertrand, est arrivé, dans un Mémoire inséré au XXXVl' cahier du Journal de Vécoîe polytechnique, à huit variables fonctions de celles de M. Bertrand, et il a donné les équations générales du mouvement sous la forme canonique que nous avons considérée plus haut. La valeur de H qui figure dans ces équations a une forme particulièrement remarquable, en ce sens qu'elle est la différence H^ — û de deux fontions dont Tune, H^ , est précisément ce que deviendrait H si le mouvement s'effectuait dans un pian, et dont l'autre, û, désigne une fonction perturbatrice égale au produit d'une constante dépendante des aires par la masse des moments d'inertie des deux corps mobiles autour d'un certain axe, et divisé par le carré de la surface du triangle formé par les trois corps. Par ce travail de Bour il est donc démontré que, pour résoudre le Problème des trois corps dans le cas général, il suffit d'intégrer le cas où le mouvement de ces corps a lieu dans un plan et d'avoir ensuite égard à une fonction per* turbatrice û définie comme nous venons dé le dire.

Cette liaison que Bour a établie entre le problème à deux dimensions et le problème à trois dimensions résulte, nous devons le dire, d'une analyse assez compliquée. Dans ces derniers temps, un habile géomètre italien, M. Brioschi, auquel la science est redevable de plusieurs travaux importants, est parvenu à un système de huit équations différentielles de

forme canonique, et il a retrouvé très simplement .les variables employées par Bour dans sa transformation. Hais son analyse, comme celle de Jacobi, fait dépendre implicitement la solution du problème de sept intégrations.

Après avoir donné dans son Essai les équations différent tielles qui renferment la solution complète du Problème des trois corps, Lagrange en a déduit la solution rigoureuse dans quelques cas particuliers qui, bien que n*ayant pas lieu dans le système du monde, peuvent cependant être employés quand les coordonnées de ces corps et leurs vitesses initiales remplissent certaines conditions déterminées.

Pour que ces solutions particulières puissent avoir lieu, il faut, comme Lagrange Ta démontré, que les dislances entre les trois corps soient constantes ou gardent au moins entre elles un rapport constant. C'est ce qui ne peut arriver que dans deux cas distincts, savoir : lorsque ces distances sont toutes égales entre elles, en sorte que les trois corps forment constamment un triangle équilatéral, et lorsque Tune d'elles est égale à la somme ou à la différence des deux autres, auquel cas les trois corps sont toujours rangés sur une même ligne droite. Dans ces deux cas, chacun des trois corps décrit autour des deux autres ou autour du centre commun de gravité, des courbes semblables et semblablement placées, et la loi du mouvement de chaque corps est la même que pour un point matériel attiré vers un centre fixe. On tombe, en effet, sur les solutions particulières dont nous parlons lorsque, trois

AdTROROMIB THÉOIIIQUB. 3

points matériels étant supposés s'attirer proportionnellement à la masse et en raison inverse du carré de la distance, an cherche les conditions nécessaires pour t\ue le mouvement de deux quelconques de ces points, autour du troisième ou autour du centre de gravité, soit de. même nature que celui de deux points s'attirant seuls suivant la même loi.

11 est assez singulier que, jusqu*^ ces derniers temps, aucun géomètre n*ait senti, la nécessité d'examiner si le système formé par ces deux solutions était stable par lui-même. Laplace, qui a fait connaître, au livreXde Ibl Mécanique céleste, les conditions spéciales que doivent remplir les masses, les distances et les vitesses initiales des trois corps, pour que le mouvement puisse exister dans la nature, ne s'est pas demandé si ce mouvement était permanent; et, en appliquant la seconde solution au système formé par le Soleil, la Terre et la Lune, il a été conduit à une conclusion peu exacte, ainsi que M. Liouville Ta fait voir dans les Additions à la Connaissance des Temps pour Tannée i845.

Pour nous placer au point de vue envisagé par Laplace dans la seconde solution, admettons que le Soleil, la Terre et la Lune se soient trouvés placés en ligne droite à une époque arbitraire, prise pour origine. Nous reconnaîtrons avec cet illustre auteur que si, après avoirétabli une relation convenable entre les niasses et les distances de ces trois corps, on imprime à la Lune et à la Terre, autour du centre du Soleil, des vitesses parallèles entre elles et proportionnelles aux rayons vecteurs, les trois masses, sous l'influence de leurs actions réciproques, resteront constamment en ligne droite, la droite qui les contient étant, bien entendu, mobile, c'est-à-dire exécutant un mouvement uniforme de rotation autour du Soleil.

Laplace démontre, en outre, que la relation qui doit exister entre les masses et les distances des trois corps se trouve satisfaite lorsqu'on place la Lune à une distance de la Terre égale à très peu près à la centième partie de la distance de la Terre au Soleil ; et il en conclut que si, à Tépoque prise pour origine, la Terre et la Lune s'étaient trouvées placées sur une même droite, à des distances respectives du Soleil, proportionnelles à 100 et à 101, et si, de plus^ on leuravait imprimé des vitesses parallèles et proportionnelles à ces distances, la Lune eût été sans cesse en opposition avec le Soleil ; ces deux astres se seraient succédé Tun à l'autre sur Thôrizon, et comme, à cette distance, la Lune n'eût point été éclipsée, sa lumière pendant les nuits aurait constamment remplacé la lumière du Soleil (a).

Mais, pour l'exactitude de cette proposition, il faudrait, comme l'a fait remarquer M. Liouvilie, que le système formé par les trois corps fût stable, c'est-à-dire que, dérangé tant soit peu de sa position, il tendit constamment à y revenir. Or, c'est ce qui est loin d'avoir lieu, ainsi que M. Liouvilie

[a) Mécjtnique céleste, livre X, ehap. VI, Celle assdrtioa a étd reproduite UQ peu plus tard dans le livre IV de VExpoeilion du système du monde € Quelques parlisaos dos causes finales, dit LAplace, ont imaginé que la Lune a été doaaée à la Terre pour l'éclairer peudanl les nuits. Dans ce cas, la nature n'aurait point atteint le but qu*elle se serait proposé, puisque nous sommes souvent privés à la fois de la lumière du Soleil et de celle de la Lune. Pour y parvenir, il eût suffi de mettre, à l'origine, la Lune en opposition avec ieSoleil, dans le plan môme de Técliptique, à une distance égale à la centième partie de la distance de la Lune au Soleil, et de donner à la Lune ei à la Terre des vitesses parallèles et proportionnelles à leurs distances à cet astre. Alors la Lune, sans cesse en opposition avec le Soleil, eût décrit autour de lui une ellipse semblable à celle de la Terre; ces deux aatrea ae seraient succédé Tun à Taulre sur Tborizon, et la lumière de la Lune aurait constamment remplacé celle du Soleil. >

Ta démontré dans son Mémoire. Ce grand géomètre, en soumettant cette question de stabilité à l'analyse, a reconnu, en efTei, que Tétat particulier de mouvement qui nous occupe est instable, et que les effets des causes perturbatrices, loin d*étre contrebalancés par les actions mutuelles des trois corps, sont, au contraire, agrandis d'une manière rapide, et cela, quels que soient les rapports de grandeur existant entre les masses. Il en a donc conclu que si les conditions énoncées par Laplace s^étaient trouvées remplies à l'origine du mouvement, la lumière de la Lune, loin de remplacer celle du Soleil pendant les nuits, aurait été probablement beaucoup moins fréquente qu'elle ne l'est dans l'état actuel des choses.

Relativement au système formé par la première solution, M. Gaschaud a fait voir qu'il est stable quand le carré de la somme des trois masses m^^rn^, Wj, divisé par la somme de leurs produits deux à deux m^ m^, m^ wig, m^ ma, est plus grande que 27, inégalité qui se trouve toujours satisfaite dans le système formé par le Soleil, la Terre et la Lune, où l'une des masses est incomparablement plus grande que celles des deux autres.

TRAITÉ