CHAPITRE I

Équations différentielles du mouvement liéliocentrique des planètes

I. — Des éléments qui cc»nstituent une inégalité. — Définition DU COEFFICIENT, DE L'arGUMENT ET DE LA PÉRIODE.

Les mouvements des planètes et des satellites ne sont pas rigoureosemefit soumis aux lois de Kepler. En vertu de leur attraction mutuelle, ces corps se meuvent dans des orbites qui changent à chaque instant de forme et de position dans l'espace. Ainsi, la grandeur et la position du grand axe d*une planète, son excentricité, la ligne des nœuds et son inclinaison, ne sont pas des éléments rigoureusement constants. Ces éléments éprouvent des variations continuelles que Tobser- Talion a fait connaître et que la théorie détermine. On les nomme perturbations ou inégalités. Comme la masse du Soleil est incomparablement plus grande que celle des pla-

nèles, ces variations ou perturbations sont toujours très petites, et ce n'est généralement qu'au bout d'un très long espace de temps qu'elles sont rendues sensibles à l'observateur ; toutefois, leur évaluation exacte est nécessaire, lorsqu'on veut construire des Tables générales, qui fassent connaître avec précision et pour un temps indéGni les mouvem ents des corps célestes autour du Soleil.

Les variations que subissent ainsi les éléments de l'orbite elliptique par Teffet des attractions mutuelles sont de deux sortes. On les distingue en inégalités périodiques et en inégalités séculaires. Les premières dépendent de la position des planètes, soit entre elles, soit à l'égard de leurs nœuds, et se rétablissent toutes les fois que ces positions redeviennent les mêmes, c'est-à-dire «près un très petit nombre de révolutions. Les secondes, au contraire, indépendantes de la configuration des planètes et de leurs positions respectives, croissent avec une extrême lenteur et finissent, en s'accumulant, par changer entièrement la forme et la position de l'orbite décrite. Comme les premières, elles sont bien périodiques, mais la durée de leur période est incomparablement plus grande que celle des inégalités périodiques proprement dites.

La propriété qu*ont les sinus et cosinus de reprendre les m émes valeurs, après l'addition d'un nombre quelconque de circonférences, les rend éminemment propres à représenter toutes les inégalités dont les mouvements des corps célestes peuvent être affectés. Dans la théorie des mouvements planétaires, les termes qui ccmposent les inégalités que l'on a à considérer sont ordinairement de cette forme

9 est le coefficient de Tinégalité, 4}t Vargument ou Tangle dont elle dépend, et 3 un coefficient fonction comme P des éléments des orbites planétaires à une époque donnée. Généralement $ est exprimé par une suite de termes tels que

* = m + iV + iV + ...,

n, n\ n" étant les moyens mouvements des diverses planètes dont on considère les actions réciproques, et i, t", t" des nombres entiers quelconques. Gomme la plus grande valeur que puisse acquérir le sinus ou le cosinus est Tunité, on voit que p est le maximum des valeurs par lesquelles peut passer rînégalité, lorsque Tangle ^t ou son argument varie de G* à 360^. La grandeur de Tinégalité dépend ainsi de son coefficient et doit changer de signes comme le sinus ou le cosinus qui entre dans son expression; elle est nulle toutes les fois qae ce sinus ou ce cosinus se réduit à zéro. L'intervalle de

. temps qui sépare deux retours consécutifs de Tinégalité à la même valeur se nomme ^e^ période; cet élément a donc pour

expression

-K désignant la demi- circonférence ou 180^.

IL Du PROBLÈME DES PERTURBATIONS PLANÉTAIRES. — SIMPLI- FICATIONS QUE LA DISPOSITION PARTICULIÈRE DE NOTRE SYSTÈME INTRODUIT DANS LA SOLUTION DE CE PROBLÈME.

La recherche du mouvement héliocen trique des planètes, en ayaiit égard à toutes les causes de perturbation, constitue un problème qui, par sa complication, présenterait des difficultés insurmontables s*il fallait le résoudre dans toute sa

généralité. L'analyse la plus profonde a été impuissante jusqu'ici à en donner une solution directe, et ce n*est qu'en se fondant sur certaines simplifications que les géomètres sont parvenus à le résoudre par approximation. La constitution de notre système planétaire offre pour cela des avantages dont il était aisé de profiter. En effet, eu égard à la petitesse des dimensions des corps célestes par rapport à leurs distances mutuelles et à la presque sphéricité de leur forme, on a pu d'abord faire abstraction de leur figure et les considérer comme de simples points matériels placés à leurs centres de gravité respectifs. Cette circonstance, qui ramène la recherche ^n mouvement des corps célestes à celle du mouvement de leurs centres de gravité, a une grande importance dans la question qui nous occupe, car elle permet d'écrire presque immédiatement et sous leur forme la plus simple les équations différentielles du mouvement. Ce que nous disons des planètes relativement au Soleil a également lieu pour les satellites à l'égard de leur planète principale, c'est-à-dire que, la distance de ces astres à leur planète centrale étant très petite relativement aux distances qui séparent la planète du Soleil et des antres planètes, on peut, sans erreur sensible, regarder l'action exercée par l'ensemble d'une planète et de ses satellites sur les autres corps du système solaire comme étant la même que si toute la masse de la planète et de ses satellites était réunie à leur centre commun de gravité. Et comme l'action exercée par les autres corps du système solaire est la même sur la planète et sur ses satellites, on voit encore que ces derniers corps se mouvront autour de la planète à très peu près de la même manière que s'ils n'étaient soumis qu'à l'action seule de cet astre.

Une autre simplification importante, et que la disposition particulière de notre système introduit dans la solution du problème, résulte de la petitesse des masses planétaires comparativement à celle du Soleil. On sait, en efiet, que la masse de la plus grosse planète est au moins mille fois plus petite que celle du Soleil, et qn*un rapport plus petit encore existe entre les masses des satellites et celles de leurs planètes principales. 11 en résulte que l'on peut, dans une première approximation, faire abstraction des actions provenant des diverse» niasses perturbatrices, actions qui sont proportionnellement fort petites, et n'avoir égard, dans le mouvement du corps que l'on considère, qu'à l'action seule du Soleil, action qui est en effet de beaucoup la plus considérable et la plus prépondérante du mouvement. La forme de l'orbite décrite est alors celle d'une ellipse que l'on peut corriger par des approximations successives, en appliquant aux éléments de cette courbe les termes perturbateurs qui naissent des actions réciproques développées par les autres planètes. Cette méthode, qui permet d'arriver ainsi par essais successifs et d'une exactitude toujours croissante à la connaissance du mouvement troublé, s'applique aisément aux planètes ; mais elle devient très pénible dans le cas de la Lune, à cause de la grandeur de la force perturbatrice qui augmente considérablement le nombre des inégalités et rend beaucoup moins convergentes les séries à mesure que l'on s'élève dans l'ordre des approximations.

Ilï. — ÉquatioxNs oui Définissent le mouvement des planètes

AUTOUR nu SOLEIL, ABSTRACTION FAITE DE LEUR FIGURE.

Nous allons, dans ce paragraphe, nous proposer d'établir les équations difTérenlielles qui déterminent le mouvement troublé des corps célestes autour du Soleil, abstraction faîte de leur figure, c*est-à-dire en les considérant comme de simples points matériels placés à leurs centres de gravité respectifs.

Soient donc, dans cette hypothèse, m, m', m"... les masses ou points matériels des différents corps qui composent notre système ;

^y y^ ^\ ^ 1 y\ -2-'... les coordonnées respectives de ces corps, rapportées au centre M du Soleil pris pour origine ;

r, r , r*'... les distances Mw, M»i', Mw^... de ces corps à celui M ;

p, p', f leurs dislances mutuelles ou mw', wm*...

On aura

f = ^ï^2 ^ (^^ ^)a + (y' ~ y? + {^'-^?. p'^ = ^^i^2 = i^x" - xY + (/- y)^ + {^-^)\

Posons, dans le cas de trois corps M, m, m\

Dans «on mouyement relatif autour de M, le corps m sera soumis aux trois forces •'^' -j» "tj respectivement dirigées suivant les lignes mM, mm\ m'M ; et, comme les cosinus des .

angles que font les directions de chacune de ces forces avec

,, , . , X X — X aS 1 axe des x ont respectivement pour expression -> ? ->>

on aura, pour les composantes de ces forces dirigées suivant le même axe,

, V uxc m* (x* — x\ nix'

pour les composantes des mêmes forces dirigées suivant Taxe des y, on aurait pareillement

«t pour celles parallèles à Taxe des z,

La somme des trois composantes (a), (^), (y)« pour chaque

direction, est évidemment la composante totale, suivant cette

direction, de la force qui agit sur le corps m, force qui est égale

dbX cPf/ dPz €t de signe contraire à l'accélération -^j -^ ou -^j- D'après

cela, et en étendant ces considérations à un nombre quelconque de corps m^, m'^..., on aura dune, pour les équa-

lions du mouvement reialir de m autour de M,

ÇPf , |X£ Y, (x' — X x'\

Le signe V indique que chaque masse m^ m*",,, introduit

dans les équations (A) un terme semblable à celui qui résulte de Faction de m' sur m, terme que Ton obtiendrait en changeant, dans les seconds membres de ces équations. m\ p,â?' et r' en m", p', ai', r^; m"", ^\ af\ ii^\..

Maintenant, on déduit des équations (a) qui précèdent

d 1 al — œ d 1 \f — y d^K j?^ — z

dx ^ p' rfy p p* rfz p p®

Quant aux termes —p^^ -^^ -73' comme r est indépendant de 0?, y, ^, ce sont les dérivées prises par rapport à ces variables

En posant donc

on aura

rf<> + r» ~~ (to' (Cl j <Û» ^ r» "" rfy

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES i5

Ces équations déterminent le mouvement du corps m autour de M. Et l'on obtiendrait des équations semblables pour chacun des autres corps in\ m^.. du système, en accentuant convenablement les lettres m, x, y, z, r. On serait ainsi conduit à autant d*équations diiTérentielles du second ordre quMl y a de coordonnées x, y, jt, œ\ y\ z à déterminer en fonction de la variable t prise pour le temps.

.IV. — Intégrales fournies par les équations précédentes

Les seules intégrales rigoureuses qu*on ait pu tirer jus-, qu'ici du système des équations (G) , réunies aux équations semblables relatives à m', nC.*, , sont celles qui résultent des principes de la conservation du mouvement du centre de gravité, des aires et des forces vives. Comme les deux dernièr»{s de ces intégrales nous seront particulièrement utiles dans la suite, nous allons les développer ici, en ne supposant, pour simplifier, que deux planètes m et m'.

Dans ce cas, les formules (A) du paragraphe précédent se réduisent aux suivantes :

dt^ ^ T

\das ~ P» J'

^ + 73- = »» L-^-jTîJ;

1 il

et^ en supposant mm! -• = x* ^^^ " = ? X» ^^ P®"^ ^^""^

donner celte forme :

d<« ^ r' ^ r'3 "" w rfi'

Mulliplions la première de ce» formules par

JX + w'

m.y 4- mV my — m ^ ^ ,^ »

la seconde par

+ nM!7 -I- nîx* m 7-->

et les équa^ons semblables relatives à a?' et à y par

mi/ — »i \ r^î — wa? -+■ w ; ; — >

respectivement. En ajoutant ensemble les produits ainsi formés, et observant que, parla nature de la fonction /,

dx^ dx' ' dy^ dy' ' '

ÉQUATIOiNS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES il

on aura

"^K — dT^ — j + '^K—df^ — ;

, my + m V d^œ , rf V + ^ + m' "^ rfï5- + ^ -difl

mx 4- mV rf'y , , rf V |x + m rf/' ' dt^ *

d'où, en appelant C une constante, et intégrant ;

' p. + w rf^ ' c?^

équation que Ton peut mettre sous cette forme:

Mm (^^ÈLz^'j + Mm' (^'^y'-y"^) ^ ^^. Ha?' - g?) (rfy' - dy) - [y' - y) {dx' - dxT\

On parviendrait de la même manière aux deux autres intégrales suivantes:

M^ ^££^.-^^ j ^^, ^'da,'- x'dz'^ ^ W r W - z) idx' - da>) - {<v- - X) idz' - dzn ^ ^,

Mm (y^^ -"^^) + Mm' (y'^^' " ^'^y')

dans lesquelles G' et C^ désignent des constantes arbitraires. Ces intégrales, jointes à la précédente, renferment le principe de la conservation des aires.

Si Ton multiplie encore la première des équations (A') par

la seconde par la troisième par

^ , a mdx 4- m'dx'

- , - mdz + m'dz' imdx — 2»n f — ; — >

et les équations semblables en a>',y',x' par

2m dx — âm — ; — »

respectivement; puis qu*on ajoute ensemble ces différents produits et qu*on observe que, par la nature de la fonction ^,

^ x^^y ^ j^ ^lL EL A^^L.

dx'^dx-''^' dy^dy"''^' dz'^dz''^'^'

on aura, après avoir intégré,

ctoa + rfyï-frf^a , dx'^ + dy'^ + dz'^

(mdx + m'dx'Y + (mdy + mViy^ + (mc?^ + m'dz)'^ [v^ + m')dt^

-2[MÇ + 5^)-,] = con..,

OU bien

-\- mm I ^

«» dT* +"* dT^ J

(rfy — rfy)» 4- {ds' — rf^)»

dt*

A étanl une constante arbitraire. Cette équation renferme le principe de la conservation des force» vives.

Y. — Réduction du problème nrs n corps a celui du mouvement DE n — 4 corps fictifs. — Substitution linéaire DE Jagobi.

Dans son mémoire sur V Élimination des nœuds dans le problème des trois corps^ Jacobi a fait connaître une transformation très remarquable qui permet de remplacer le mouvement de n corps, qui s'attirent mutuellement, par celui de n — 1 corps fictifs, ayant môme fonction des forces U, et pour lequel les principes de la conservalion des aires et des forces vives ne cessent pas d'avoir lieu. Nous avons déjà analysé cette transformation dans la seconde section de V Introduction historique; nous allons la reprendre ici, en l'appliquant au cas du mouvement de trois corps.

Soient donc w^, m^, W3 les masses de trois corps que nous supposerons réduits à de simples points matériels;

Pif P2' p3 ^^^^^ distances mutuelles ;

AST30N0SIIB THÉORIQUE. 4