DÉVELOPPEMENT DES LNÉ6AL1TÉS DU SECOND ORDRE

On a d'ailleurs en appelant s la latîtnde de m au-dessus de Torbîte primitive de m

* = Y sin (t? — t), d'où

$5 = Sy sin(î? — t) — yBt cos(t? — t).

Par la comparaison de ces deux valeurs de ts on a donc

Maintenant si l'on substitue les valeurs (3) et (4] que nous venons de trouver dans l'expression de SB, on aura

^'' = E^r:r^l~^^d^^ '''''' -4«5-Ncos*

cfe rfe de de

—7- -T- fiin <ï» 3- -j-

6aa> oé ea(û de

Mais de Téqualion (1), on tire enladifférentiant par rapport à. chacune des variables a, e, a> et f,

da 2 da

— = -j eîl + — m e cos (<D — <o),

— r- = -:s: » ^ sin (w — <o),

on a d'ailleurs

m'N = W^^e^ sin 3a)' -f- WW^ sin(2<o' + w) + W^^e'e^ sin (2<o -f- w') -f- W^^e^ sin (3o)) + M(*)eY sin (2t + co') -f- W^^ef sin (2t -[- co) .

* m'N'=: M^<>V» cos 3(1)' + M'< Ve^ cos (2(o' -|- w)

+ M^^Ve» cos (2a) + o)') + W^^e^ cos 3a)

+ Mt*)e'Y'^ cos (2t + a)') + m^ey^ cos (2t + a>).

m'^= W^V^ sin (2a)' + 0)) -f 2W^W sin (2a> + coO

4- 3M«3)g* sin 3a) + M^y sin (2t + a)), m' ^ = M<< V« cos (2a)' + a)) + 2W^^ee cos (2a> + u>') + 3MWe2 cos 3a) + M^^y cos (2t -f a)); et d'autre pnrt

m'^ = 2W*Wy sin (2t + a)') + 2Mî»)^y sin(2T -|- co)

m'~^ = 2Mt^)cY cos(2t + <«)0 + m^^^ey cos (2t + <o).

En convenant de représenter par SB, la partie de BU qui est multipliée par sin ^ et posant généralement — 7 = ^*^'^ puis

Q = — 2« -^ — > on aura donc da

5«i =5-^^ r^'Q^We'3 sin 3a)'

-1- K'îlg^!^tlV COs(a)'— o)) j î)t(< V« sin (2a>'-4- <o)

+ j^ e'm' sin (a)' — a))j DCt<)e'2 cos(a>' -f- co) + m'QDC^^W* sin (2a)' + a))

DÉVELOPPEMENT DES INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE 313 {m . m\

+ ^^^+^1«Vc08(co'— u)) 29C(*W'sin(2a>+a)')

itjî' I

Y e^' sin (w' — (o) 2cW»W cos (2a) + co')

+ m'QXf»)^^ sin 3a)

-f- — «m + ■§- H'«' cos((.>' — û>) 3af»)e» sin 3m

4- y e'W sin (a>' — ft>)| 33C'»)e> cos 3<o + w'Q3C«'c'y» sin (2t — w')

+ jy c« + ylle' cos((o' — w) 3t(3)y» sin (2t+ to) +fë- eW sin (w — <o)| iXP>Y co8(2t -|- <o)

+j(^ aa'B(*^\ 2îK(*)e'Y sin {2t + w')

+ »i'Q3C'S)eY«8in(2T + (o)

+ ( j aa'B'^'y) 2J)C(»)eY sin (2t -+- o))! sin *.

Soient

3(») = m'Q3CW-|-^1l'9C«),

3«) =>'QX(») +|.' mate») + I m'tî'9C(3).

a») = w'Qxf») -f-| w'uaci^),

3(*) = m'QXW — Ç' aa'B(Oac(^)+ y «îKi»),

3 (») = w'Qaci») -f ^ mscf') - ^' aa'B")3C»): 4 2 .

314 LIVRE V — CHAPITRE ÏU

alors on pourra écrire

+ e^e'^W sin(2<i) + <«>')

-|- ô*5^'J sin 3a>

+ e'YV^)'sin(2T + co')

+ «Y^^f'») sin (2t 4- w)] sin *.

Quant à la partie de SU qui se trouve multipliée par cos^, il n*est besoin d'aucun calcul pour ia déterminer. L'inspection