LIVRE IV, C H A P. VII

exposés aux actions des autres corps. Il en rf^salte, en vertu de îa pesanteur universelle, trois espèces de forces qui solliciient chaque molécule du solide: i) les forces centrifuges, dues à la rotation, a) rafiraciion mutuelle de tous les éléraens du solide, à) l'attraction d'un corps étranger. Nous désignerons par S' le point du solide M dont on considère le mouvement de rotation, par dM un élément quelconque qui l'attire , par S le corps étranger qui agit sur S' , par x', /, z' , X, Y, Z, x, y, z , les coordonnées rectangles qui se rapportent à S', à 3M, et à Sj nous prendrons pour leur origine le centre de gravité du solide M, et nous supposerons les abscisses x% X, x, parallèles à l'axe de rotation, ensorte que l'equaleur soit le plan des ordonnées y, z' , Y, Z, j, z. Le solide M étant, par hypothèse, un ellipsoïde, dont l'équateur et tous les parallèles sont des ellipses semblables, tandis que chaque méridien est une ellipse dont l'excentricité dépend du point oii il coupe l'équateur j nous aurons à déterminer trois axes, celui de rotation nz 2a, le grand et le petit axe de l'équateur, ^b et q.c, a, b, c, étant les axes des x, y, z. Cela posé soit {tig. 3^.) G le centre, P le pôle du solide M, AB l'équateur, EX, qx, deux parallèles consécutifs, CP:^«, CB^i5^ CA zr c, et faisons

,. S}-^' 7-^^ ^■~'-^' ^-î^'^^', donc

D'un point quelconque X sur la surface deFellipsoïde abaissons la perpendiculaire XY sur le plan des y' , z, et soit YZ perpendiculaire à G A, dono

CZ— 2' = DV, ZY—y — YX, YX=:a;':zzZVz=EF, On aura dans l'ellipse du parallèle EX, ,

VX* =: j * = ^^ (D E^ - s'^) zn i:t^, (GF* — O» et dans l'ellipse du méridien A E,

FE^- zz a:'- zz: ^ (c= -~ GF=) =: a^ — -^,. La comparaison de ces deux équations donnera

CF- zzz 0-«0>"-^ii±^" ^ (, | „.^ ^,, ^..X

d'oiî l'on tirera l'équation de ia surface de i'cUipsoïde ,

a3o ASTRONOMIE PHYSIQUE

(i) oz=x'«+ ^ — h -^ — û^

L'aire de l'ellipse EX étant — D E^ zzitt (a^ — ^'*) l/ (i -f- a) (i -f a^) , k solidité du segment Ee sera -tt (a^ — a;'^) Sx' ."/ (i -f a) (i -|- a'). Si Von fait pour abréger,

ip) y(i4-a)(i+a') — S-,

l'intégrale de Ee donnera le segment AeurTrô-x' («^ =-j , ce qui deviendra la moitié de l'ellipsoïde, si l'on fait xz:z.a\ on aura donc la masse de l'ellipsoïde entier

(2) Mz=l7rô-a3.

§. i4o. La force centrifuge de S', due à la rotation, est — (§. 69.). Comme dans toutes les formules précédentes on a pris pour unité la pesanteur aur la terre et son demi-diamètre, s; est environ (S. 5q.); ainsi

est la force centrifuge à la distance :=: i , et sa direction est perpendiculaire à l'axe des x' . En décomposant donc la force centrifuge suivant -f- x\ 4~y^ "4" ^' f et nommant ces forces A', B'', C, on aura I. A':z=o, B'rr//, C -fz^ §. i4i. Soit {tlg^ 18.) A le point S', 2 un élément quelconque 9M qui l'attire, leur distance AsrzB/j soient AB, A G, AD, parallèles aux coordonnées x' , y', z' , 2X' perpendiculaire au plan BAC des x, / , X U perpendiculaire à AB: cela posé on aura

.AU:=X— x', UX'znY— /, X'2=iZ=-s', Appelons tj l'angle que la prolongation de As fait en z avec une ligne parallèle à AU, et ô l'angle formé par Us et UX', ensorte que

TjrziUAs, ô=i:X'Us^ UsrzR'sinTj, AU — R'cos^i. On aura donc

(3) . , . . . X — a;' =: R' cos 75, Y —/ n: R' sin y^ cos U, Z — s' ::=: R' sin r) sin e. Maintenant on peut regarder 3 M comme un parallélépipède dont les trois côtés sont l'accroissement de As, et deux petits^ arcs, décrits avec les rayons h.z et Us dans les plans UA^ et X'Us: ces trois côtés sont 3R', R'5>1, et E'sinr).5^, d'où il vient