LIVRE IV, C H A P. VIL

le sphéroïde, sans altérer l'attraction sur un point intérieur S', pourvu que a et a! ne soient f as changés , ou ce qui revient au même , la grandeur de la portion extérieure du sphéroïde n'a aucune influence sur l'attraction, de sorte que chaque point S'' n'est attiré que par le sphéroïde intérieur^ ainsi qu'on l'a vu plus haut (§. i ^4 ).

§. i4'2. Pour intégrer les formules (7), faisons

C , , siii^V] / I , I \ 2 , sln«y) / a-fa'\

(eos^^ + -^ ^^-H-— ,j OU cos^>, + -^(i + -^j=m,

l^ 2 0 m et n étant des fonctions de >), qui par conséquent seront regardées comme constantes dans l'intégration par rapport à ô, et h^zz.{\ 4-«) (^ -{-")• On aura (c?)

d'où il vient

^ d $ I , m cos a 5 -f-n

S — n: r-r- rr Arc cos .

A 2 y (m* — n*) m + ncos2ô

L'arc précédent deviendra Arccosizzo, si ô zn o, et Arc cos ( — ijnrir, si

Ô1390*: il sera donc 2 tt, si ô iz. 180° ; d'où l'on conclura, depuis Qzizo

jusqu'à ô ziz 180%

2 — =1 . Or r

A y (w* — n*) (m -j- n) (m — /?) = ( cos^ 7) -|- —.y- sin* t) 1 [cos'' v) -| r-,— sin^ lo) :^

(i -f- a') {i-h a cos^ -.-)) (i -f-cc") (] -f a'os^ ■/))

donc 2 — • n:

A 1/ (i 4- a cos' 7)) (1 -h a' coi^ /]) '

ce qui donne

(7) 2;A"=-.,r5x'.s '"fT"'''; r-^ --^

•,/ (^i -+- a cos^ /]) (i -H a' cos» >]) depuis viziio jusqu'à -yîZZTr. Si l'on fait -

(f) cos v) zi: ^, on aura depuis ^ ir: -|- 1 jusqu'à ^ zr — i,

Il est visible que A' se convertira en B' , si Ton substituera l'axe des / à

celui des s': alors x' se changera en /, a en Z»^ (3 en —, 7 en — zn — , a

en 6" — ■ î =: , « en -- — \ -zz , ô" en ^— — : cela fait , on

changera B'' en C" par la permutation de y' , z, et de a, a'. Faisons donc

et désignons par F', F'', ce que devient F par les permutations précédentes qui changent A" en B', et B ' en G": cela posé les équations (7) (8) donneront

fe) i:A''=:..rô-.r'F, SB^^n:? "-^'^ <^' -^ ^^ F', S C^ =: ^-^Î^J^ F'^

Les permutations précédentes donneront

j? — Zj ( I —\- et) 2j — ; — — — tttt; : — 7 — ;,--•■

y 1^1 __^I1V» -4-— "^'^"l T/(i-+a— a^^)(i-ha-i-(a'— a)^')

l'aisonsi^r — ~ ~: d ou il vient d i^zz: ^ ^ ' ,. i-\-ol — 0.!-^:=: r;«

ï^,,4..(^'^,)..-(, 4.«) !^1^, partant

(i -Ha\|/2")s ^r-h a'vp^ju ■^ 1/ fî 4- ol

Mais Fequaiioii 'é r: — ■ — ~ — ,-r fait voir, que ë et vp deviennent en même' teros ~\- i ou — î, d'où il suit que l'intégrale F' doit être prise depuis vj/^z-l-r jusqu'à \j> m — î , et que par conséquent on peut mettre ^ à la place de -^f:

d'où il vient

F' n: ( I -j- a) .5 S ="~^ ™-Êl^- ? ^ . Si l'on fait

(h) , . . . . azu \^', a'in X'^5 l'équation (g') deviendra F jz: 2 -^ — TT-T^r^ — • .- -v, ce qui donne

(cl . r .

En substituant cette valeur dans la seconde des équations (9), et observant que B'' se change en C\ si l'on met / au lieu de /, et X' au lieu de X, on aura les équations suivantes*.

IL S.A'zz2^§a:'F, 2B" — 27rôy (^^) , S G"' =: 2 tt ô' s' (^^\-