LIVRE î, C H A P. ni

§. 20. Soit m /A un petit arc de cercle, décrit du centre C et du rayon

Cmzur: m}j. sera zurdcp, et rélément du secteur A C M zz S sera le triangle

M Cm nzî r^3cp zn 3Sj d'où l'on tirera, à l'aide de l'équation V, adS zz Adf,

et en intéorant, S zz — i: d'où il suit que les aires des secteurs déctits autour de G ^ et.

(S) sont proportionnelles au tems {t), ou qu^'elles croissent uniformément. C'est une des lois que Kepler avait trouvées par les observations (IL §. îi8.): elle a la première donné lieu à la découverte d'une force centrale répandue dans l'univers.

Newton qui découvrit cette vérité, en donna la démonstration suivante C^). Si le mobile a parcouru, dans un instant dt, la ligne AB {Fig. 2.), la loi d'inertie lui ferait décrire, dans l'instant suivant dt^ la ligne Bcz="AB 5ur la prolongation de ABj mais la force centrale suivant BS lui fera parcourir, dans le même tems, une ligne B7. Faisant donc cC parallèle et égale à B7, le mobile parviendra, par son mouvement composé, au bout du tems dt en C; de sorte que les secteurs, décrits dans les tems égaux dt, seront ASB et BSC. Les aires des triangles ASB, BSc^ ajant la même base ABzBc^ et le même sommet S, sont égales, ainsi que celles des triangles BSc^ BSC, parce qu'ils ont une base commune BS, et que leurs sommets sont situés dans la ligne cC, parallèle à la base. Il s'en suit, que les triangles ASB, BSC, sont aussi égaux: donc les élémens des surfaces des secteurs sont égaux en tems égaux, donc leurs intégrales sont aussi proportionnelles au feras. Il est vrai que, rigoureusement parlant, Bc n'est pas égal à AB, leur différence étant ce que nous avons appelé (§. 17.) dds — c)ojzz8w Mais comme c'est une ditTérentieile du second ordre, elle s'évanouit par rapport aux difféi-entielles du premier ordre AÔ, Bc, conformément aux preoiers principes du calcul différentiel.

§. 2î. On peut déduire de l'équation V. encore une autre vérité importante. Soit {Fig. I.) CT perpendiculaire à la tangente de la courbe MP; les triangles GMT, mMjx, ayant le même angle en M, et des angles droits en T et en jz, seront semblables. Faisant donc pour abréger, CTzzu, on

aura r:u :: Mm : m}i : : ds: r3cp, ou dszz —. Substituant iionc dsznvdt

(§. 17. n. î.) et r"d(p^zAdt (§. 19. V.), il viendra i; == — , ce qui veut dire, que dans toutes les courbes, décrites en vertu d'une force centrale

(Tj Frlnc. Phil. Nat. Math, Lih. I. §. 53.

cueloonque, les \.>ites,ses [y) sont en raison inverse des perpendiculaires {if), méfiées

du centre des forces à la tangente iVn-}'. I. §, 2f;y.\ Il en suit encore, qiie=

les vitesses angulaires w sont en raison inrerse du carre des dislarices r. Ea

effet, on a t; n: — - , w =: -— , donc viw.:ds:d'^::r:u, ou sv — — — =z— ,

§. 22. Ces deux propriélés ne sont pas seulement coronianes à toutes

les forces centrales, mais ces forces sont les seules^ qui puissrni produire un.

mouvement dans lequel ces propriéiés ont lieu. En effet , si Faire S est

proportionnelle au tenis t, ou Sur? A if, on aura d^zzzlkdt^ et 33Srzo, ou

â (r^ 3 (p) n: 0. On trouve le même résultat par la supposition^ que la perpen-

diculaire à la tangente est en raison inverse de la vitesse, ou w rr — : car

r"^ d (h as r V '^ . .

également, d{r^d(p)zizo^ Or^r^d(pz:jcdj — fdx (§.19.), donc or 9 .x 3/— j 3a:), ou xdSj — jddxzno. Soient J\j', N', les forces accélératrices suivant M N et NC, ou suivant — jet — xy cela posé féquation 4- >§• 17) donnera ddjtz: —' 'igM' dt^, et ddxzz: — zgWdt'^. Ayant substitué ces valeurs dans féquation xddy — jddxzzzo^ on trouvera, en divisant par o.gdi^, ozzN'y — W x, donc N' : M' : : a: : j : : NG : MN. La résultante de ces deux forces est donc çonstamujent dirigée vers G, ou une force centrale, résidant en G. Il suit donc de la seconde loi de Kepler, que les planètes sont sollicitées par uneforce centrale du soleil; et toute l'astronomie physique est fondée sur ce théorème, que Newton démontra de la manière suivante (^).

Si le m-obile décrit dans le second moment BG {Fig- 2O, au lieu de BczzAB, cela doit être l'effet d'une force qui le conduit par cC, pendant: qu'en vertu de la loi d'inertie il parcourt Bc^ ensorte que la composition des forces lui fait parcourir la diagonale BG: la force est donc dirigée suivant cG. Or, les triangles ASB, BSG, étant égaux par hypothèse, les triangles BSG, BSc^ seront aussi égaux, parce que ASB, BSc, ayant la même base ABmBc^ sont égaux. Il suit de l'égalité des triangles BSG, BSc;, qu'aj^ant la mêmefease SB, leurs sommets Cy c, sont situés dans une ligne parallèle à la base: la direction de la force cG est donc parallèle à BS, ou elle passe constamment par S.,

(i) /oc. cit, §. 6a,

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