LIVRE V, C H A P. II. a8i

Si l'on multiplie chaque terme par celui qui le précède dans Faulre série,

on aura le terme qui dépend de r et de — r,

T^-- «S r^.-^?ST— — — -— 5^5^7^..(2n-5?[2n-3) ^^a?

ZC Si 2.4 2.42.6 2.42. 62....(2n — 2)^271 S""

r a= 3a* 3'.5».7 = (^n— 5) = (2m 3) ^ri-27.

-— a COS ÏV ^ I — — 7 — — 7-7-^ — ^ • . . • • 7T~r5 7 Ta *^ C *

^ 2.4 2.4 -o 2,4 .6 (271 — ^y.zn )'

et Xî n A -[- B -|- cet. les termes suivans dépendant de 2.r, ou de zsv, 3w, etc. Mais on a aussi

X2 iz: î /i^^^ + h^^^ COS w 4- cet. d'où l'on tirera

IA<«5=A, et Â^'> = — a$i — ^ — -1°^— cet.^, ou

Pour tirer de là les valeurs de è^°^, ^^^^^ faisons dans l'équation (/?}(§. i7i-}» r=: — -' alors p deviendra le coefficient de X~^z=:X^, et 9 celui de X'"'*'""^ ^^ X ^, donc p-zzh, qziLh; ainsi la formule (p) donnera

aCï) — (4 ? + 6) « fe (^°-^-0 — (2 i — i) (I + g') /)^^'^

et en faisant izzo et ^nzi,

d'où il faut chasser A*-^^, ce qui se fera au moyen de la formule (/) (§. 171.}» laquelle, en faisant r zn — ï, / 11: 2, devient

^«^2; __ __v ^ çg Q^j étant substitue, donnera

^t-% 7(0) __ (i-hct^)fe^°^ + 6afe"^ (j) __ 2afe^°>+3(i-+a'')^"*

Au reste, il est aisé de voir qu'on peut toujours supposer a moindre que l'unité, pour que les séries précédentes soient convergentes, en prenant pour a le rapport — ou — , selon que vi est une planète inférieure ou supérieure,- car on va voir (§. i74-) » ^"6 dans le second cas, on n'a qu'à substituer pour h^^'„

(l) Voy. Théorie des car, ses, des eléin, des Flan, dans les Mém, de Berlhi, A.nn. lySl- f^E- ^Sj. etc,

On trouvera pareillement, par la formule (3) f§. 171.)»

^^^ "" - (i-a^- ' '^ — (i-a^;2 — (THI^» •

§. i^i. Si on ditférentie l'équation (/; ^§. l'ji.) par rapport à a, il Tiendra

X— i ax ^-3 , . I a&^^^ , a''^>

■ . -— ou X 2 (cos W <X^ ZII ,^ — 1 ..... -L. - cos iW.

2 o Cl - a a ' ' a a

Mais cos w •— <x zi: — , d'où l'on conclura

• zn *■ . — — - — cos IW.

la la ~ a a a a

Si Ton substitue X" * — ^, c^^^ -4- c^^^ cos i\v , X" ^ — ? 6^^^ -f b^^^ cos i w , ^/) i(§. ^'O, on aura

--, — zi: ■ c^^' — -- — j d ou Ion tirera, par lequation (o) ;§. 171.),

âa

za z a

(7^ .... . -^ — :z: ^= <— b^^' — • b^^^^^'; partant

dj(2

d ce

5a"~ I — Q.** d a a da'

Les difîérentia lions successives donneront, en substituant (7),

^9) a-zï-^

Si on difTérentle Téquation (3) ^§. i/'0> ^^ qu'on substitue les valeurs précédentes, on trouvera

ëi ainsi du rcisle.

L ï V R E V, C H A p. ÎL -233

Les coefficiens b^^^, c'^^^ étant des fonctions de s<; , ôa peut exprimer le terme sénéral par (^^^^zrrRa*', ç.e qui donne -;-— :r:Rra^"" ^=iRr -77;-— -.

Mais l'équation 5^^^ =:R -^ donne ^r — zr Rr -— v:;,- , d'où- Il résulte — — rr:

—.- — . On trouvera de la même manière -^— n: -;. - — ,-:c — —zz-r-.-^r — — -

nr -7-.-^=; — -1 et ainsi do Tes'e. Si l'on substitue ces valeurs d/ins les

da=* a'3' aa=*

différentie'les des équation? (i) u^. ttu), ob aura a' . —~ — m- — - — zn

1 dhii) , ■ " ' ^"^ ^* ^

. -— , donc

a' ox

d Cl a a a a à a o a aa. ^

,3 a a J^'^ ^'^^'^ /4 ^^^^^^ ^ ?1^^^ * ~d j^ ~~ ~ââ^ ' ** * "To^" a~a« *

a-ai*') ac^î) ,^ a a 31''') aa::^'!

aV — aa ' '^ • aa^' — Bj^^ ' ®^*^'

§. 174* Les formules précédenîes , relatives à l'action de la planète m' sur w^ serviront en même tems , avec de légers changemens, à déterminer les perturbations de m' par Faction de m. Si l'on nomme ^ô^^^, ^c^^\ 'A^^^, 'St^^^, ce que deviennent b^^^, c^^^, A^^\ St^'\ relativement à la planète m' , il est aisé de voir, que les deux derniers coefficiens n'^éprouveront aucun changement, parceque le trinôme a'^-\-a" — laacoswzzz.h reste le même, si l'on change a en a', a en a, et w en — w. Il faut cependant excepter AS^\ dont le terme à ajouter (§. 170.) devient -^ au lieu de —^. Cela posé, les équa» tions (1) (§. 171.) donnent

Ainsi le calcul qu'on a fait pour la planète m, s'appliquera à la planète m'', à l'aide des formules suivantes:

§. 175. Pour ce qui regarde les rapports différentiels, l'équation (§. 169.) donnera

— = — ,— -(-(a— a cosw)L % — , -— — ^,3 \-{af — acosiv)L ^,

d'où il résulte

dB . , dB acosw — »

c . ■— -f a' . — = — • ^5 \-L - z=: — B, OU

<9a' oa d a' ' d a oa' a= ' ù o. Les différentiations successives donneront

, d dB dB ddB

dada à a a a^ '

d^' dB ,ddB dB BdB j ,39B d3 dBB

da da*^ ' d a'^ 3a' dadaf o a'^ d a' dada!*

, 335 ^aaB a^'B . a^B ddB a^s

da^da''~' da^ d a^' dada'^"^ dada' d a^ d a' » .

d a'^ aaB , , a^B aaB a^B ,

- — -^ , OU r^-Tz 4-0' ^ ,, =: — 2 '--7- — a 5 ---7T, donc # £? a o'^ aa' a a'^ dada^

, Ô^B aa B d^ B

Si l'on substitue successivement les valeurs qu'on aura trouvées, il viendra

^ dB „ dB , ddB dB „ ddB

da' d a* dada' da d a^^

,ddB „ , , dB . .JdB . , d'B ^ddQ .a'B

/^— . =Z2B4-4-« \-a - ,-, a a' - -—-zz — àa— ^—a^\ *

,,, a'B ^^B.^^ddBr^d^B

ta) ^«" 5ri7i = ^" vi + ^" 5^ + " 5»^ •

- 4 ^ — 24 B 4- q6 O X-nia^-z - 4- 16 «^ ^- 3 + " "^ 1 ; etc.

aa'* '«■•"If da ^ ^ da^ ^ d a^ ^ da^'

En opérant de la même manière sur l'équation (/) (§. i6g^, on trouvera £^ — — 3 (a — a cos w) L~ i ^ =: — . 3 («' — a cos ^v) L~ ^ partant

« i^-L.a'i-^=--3L~'' = «3S3, d'où il viendra

da ' s'a'

^ , — ^ aa' sin w.

L I V R E V, C H A P. II. a85

à a' à a à a'^ ^ àa ^ ei a^ '

à a' à a da' à a à af

Il est aisé de voir, qu'en vertu des équations (F) (F) i^§. 170.), les mêmes

relations ont lieu, si l'on met A*^^^ à la place de B, et 51*-^^ au lieu de ^»

L'angle w étant zz /x' — /a, les équations (B) {f) (§. 169.) donneront les relations suivantes:

/ d \ 9B d^ __a>?s aaB aas 95b a^B

( ^T' "" ^ ' 9m/ 9~/x' 97c9m/ 9~J1=* riâ'' Tjj."^^

^^ ^ 9~l2~97r' ~" "" 97(.^' TpTd^^ ~~ Iri^^*

Au moyen des formules (H) (I) (K) , on peut chasser les différentielles da\ d\if, des équations (G) (Ù) (§. 169.) 5 ce qui étant fait, il suffira pour développer ces équations, de connaître les différentielles de B, SB, 6, par rapport à a et fi. Pour cela la différentiation des équations (E) (F) i^f) donnera

.9B t9A'^» . t9â'ï'> ^ aaB -r99\^^> , fddk^*"»

— - := „ \- l cos i \v, — -- -zz - ^-~— + % ——^~ cos i w; etc,

7^ —0-—— + ' ":. ^°s ^^'^' «—■=&,• ^— =1: - A^^-» sm iw,

~-^:=: A^'^cos nv; ^r--=: • A^^^sin nv; --zz -Si^^sm nv*

^ ,-'- 2 9 ju.^ 2 9 ju, 2 -

--— {sm^v+Sln(^.+^.-.a^)^ -^^,=0.

§. 176. Substituons maintenant les valeurs (H) (I) (K) (L) dans les équations (C) (D) (§. 169.), et faisons pour abréger,

Ar Ar' Ar' „, aAy' ., 3Ar' , ,,, /Ay'\*

Gela fait, l'équation (G; deviendra

(M) ..... s = I A<'V'e + :- • VV ^'' + 4 • -T%- J'-r"' -r\,-\~ P

et Féquation (D) prendra la forme

^ ^^' A 5((«) L -f- 1 ?t^^> cos /w) (^ sin w -f (J' sin v[/)

-j- — ^ ! ?t^^^(7+/' + a f) cosiw+iîi^^ù siniw i { cosxv -= cos^ } <,

^tV d a / )

Développons maintenant les fonctions {s) par le moyen des équations (e) i& '%■); ^^ observons que y^ &, sont de Tordre des excentricités, et que par conséquent il serait inutile de développer h, h, g\ au delà de la seconde dimension des excentricités, et /", f", O', au delà de la première, parce que dans l'équation (M;, h, h', g", sont partout multipliés par y ou P, et f",f"'> pary^ ouy^^, et que ô' ne se trouve que dans l'équation (M'), et par conséquent multiplié par le carré de l'inclinaison. Cela posé on trouvera fi=:Ï7'— ïy=*--7(i --^ V').: os (a— to)-f-7'(i — |7'^)i;u6 (.u ---toO— |7=cos2(,a--TO)

+ ^7^* cos 2 (a' — ro') — 3 73 eos 3 (a — où) -|- | 7'3 cos 3 (a' — to'), /■ n: I — I y =^H- 7 Y i — J y'") cos C ^ — tÂ3') -1- î 7 ^cos2 (^i'— w') -f |y 3eos3 (m-'— w')» f'znx -f- 2 7' cos (a' — -ce'), /''' = i -|- 3 7' cos (m-' — xc')j

ê =: 7 (2 — ^ 7^) sin (m. — to) — 7' (2 — | V^) sin (•/ — to') -|- | 7^ sin 2 (a -« w) — \ V sin 2 (,a' ro^) 4- - 7^ sin 3 (m. — w) — - 7'^ sin 3, (m-' — «5') , ê' iz: 2 7 sin (a - — ît) -f- 2^ sin (a' — • te');

^ — i-|^y^4 ly2ços2(/ — îo')— T7'3cos(|x' — c3')-h|y3cos3(M.' — wOp A =1:1 ^-i7'^ + 2 7'cos(^l' — tc')-f-|7'^cos2(/A' — îoOj /z=i-f 17'^— r(7^ + y^)-l-(r-|-î:y^cos2(M.'--ti30-i-^'''>'^cosa(M.---TO5 -j- 2^■=' 7 7'-{cos (/Ji' — )u, — to' 4- ta) — cos (m/ -j- fA — C3' — W)} — |i'73{cos(^l^ïc) — cos3(fA— w,}-(|/=4-|)7'%os(f*'-w')--cos3(/---îcO}

L I V R E V, C H A p. II. aSj

^ |/^7« yjcos(/— . 2/J, C3'-|- 2TO) COS (jll' -j- 2 fJl — ÏS' 2 TO^}

-j- 5/2^ y^^.OS (2/a' — fx ^ ^W' -j- V5) — COS (2 )U.' -{- ^ 2 te' — 10 }•

À' =: I + ^ 7'» — /" (7^ + Y^j 4- 2 7' cos ^/x' — ^') + {i^ + ^J) 7'^ cos 2 (m' — to')

4-/^7'cos2(/A-.w)-|-2i^7 7'{cos M.' — /x — TO'-|-ro) — cos /^'-f- ju. — w'— îàj)}, / — i — ^ iy^+Y')-hrcos (/-^O + (^' H-ï } 'V \^os2(^'— îQ' ) + Ç 7='cos2(m— w)

4- 1 «^ 7 y {cos y — p, — ro' 4- ic) — cos C,a' -}- /x — ra' — %o}}. Si l'on donne à l'équation (M) celte forme ,

S= r.A<')+A.a£^-+0.a'if*;!+A.a3 5'^

on aura , en développant les produits des cosinus en cosinus des angles multiples,

^- T^'S~ r 4- ^ n r - ^ 7'"0 ^os(,^'-îc'}-H "- 7'«cos. C/A'to04- ^7'3ccs.^C^ -^} , ^- \ff'-\ v^'+7'=}- i- 'K- -| 7^4- ^- V'^,co6(m.-xc3+ ^ y(, +7V|-7'=3cos(a -î«^)

— ^7^cos^i(a-.w}-^-y^cos2(a'— 03) — -.77'cosC/--/x — co^-f-tc) '

— -7ycos(a'4-/x — œ' — îc) — ^^7^cosJCa — çc)-f i|'y3cos3(^i'— tcO I ^

— ^7^7'cos(a' — 2H. — to' -\- 2tc) — — 7^ 7' cos (ja' -f- 2/a — w'— 2 to)

— g- 7 7''{ cos (2 / — fx — 2 to' 4- ro) -[- cos ( >. \i! -\- \i — im' — ic)} ,

€> = \rr"-\ ^7» 4- 7-) -H ^ 7^ cos . (^ - t.) + ~ 7- cos 2 (a ^ t^O

~|-7y{-o^(a'-.;x-U3'4-û)4-uos(X-|-/x— 15'— iD)} - i-7(V"4-47'^^)cos(a-TO) •4~7'^^io7=4-7'^'0 co5(,/ — w) -fi- 73 cos 3 (.L-~TO)4- A y3 cos .3 (a' — ïoO + ^ '^'^ '^'{ '^^s (u/ — 2 /x — îD 4- 2 te) 4. cos (a' 4- 2 H. — îS' — 2 k)}

288 ASTRONOMIEPHYSIQUE

A ■=. ^-f^ ~ -i7 (7" + 27'-) cos (/x — to) -^~y' (2 7^* + 7'*) cos (/ ^ ic') — -^ 73 cos 3 (w — to) -4- -/- 7'3 cos 3 (a' — to')

| 72 y i^^g ^,^/___ 2 ^y^ ^^ j 2 Ic) -}- COS (/ -j- 2 p. to' — 2 ro) }

' ^ 7 7^ { COS (2 ft' — /ji — 2 îo' -|- ts) -[- COS ( 2 // -f" |x — 2 to'' — ro ) } ,

-3'— i/Yii^i — ^(7'--|-7'^>+-^%=G0S2(,a — îc)+^'r=^^

4- i^ 77' cos (,a' — fj. — ro' -j- ^) — i^ 77' cos (|a' 4-1^ — •cj' — • ic)

7'^)cos(/-=to')

— - i^73{cos (.u, — vi) — cos3(M. — 'ro)} 4-77^(1 — /'7'

-f !i^dl£ 7'3 cos 3 (M.' — ^0

4- — 7^ 7' { 7 cos (m-' — 2 /A — te' 4- 2 tô) — 3 cos (m-' 4" ^ ?^ "" ^ ^ ^^l"

-|-^ 77'^ -(cos (2/0.' — |u, — . 210' -j- ro) — cos (2 fj,' -j- [4 ~ 2 is' — ^)}5

7'^) COS (m- — W)

4-1 7Y1 ~ (/^ — 1) 7^ — ^-^ 7'=^) COS (p.' — roO — T 7^ COS 2 (M- — te)

4- -7'^ COS 2 (/ — • toO 7 7' {cos (/j.' — p. — 10' 4- w) 4" cos (fx' -+- fx — îo' — "to)}

i!!ilî ^3 cos 3 (M- — te) -t- ^-^ y3 cos 3 (^.^ — te')

jti 7^7'cos(fx' — 2/jL — ie'4-2te)-| -7-—^ 7^ 7' cos (m.' 4-^1^ — ^^ — ^^)

^^— ^ 77'^cos (2 fx'-|- ^^ — 2 te' — te),

-| — ^ 7 7'^ cos (2^,' — ju, — 2 te' -|- te)

= ^%"Z7 /'i-ii^7^-/2r^)sinOx— TO)— r ^i/272 i^£y2Vj^^^^/__^,^