CHAPITRE IV

Inégalités séculaires.

' §. 184. A-/étermino'ns maintenant les inégalités séculaires ^ où les va« iiations des élémens des orbites, et commençons par celle du moyen mou-^ vement ou du grand axe. Avant d'enter en matière, il ne sera pas inutile de dire quelques mots, pour fixer le véritable sens de cette variation, parcequ\m moyen mouvement variable pourrait paraître une absurdité. Le moyen mouvement est celui qui tient le milieu entre le plus rapide et le plus lent des mouvemens vrais, et il est trouvé par des observations qui embrassent un long intervalle de tems, en supposant le mouvement uniforme pendant ce tems. Il est donc évident que la valeur du moyen mouvement doit toujours être censée se rapporter seulement à la période , à laquelle s'étendent les observations qui ont servi à déterminer cette valeur. Le moyen mouvement sera donc variable , si des observations , faites dans une autre période, donnent une valeur différente. Dans un pareil cas le moyen mouvement changera d'une période à l'autre, et rigoureusement parlant, il ne pourra être supposé constant pendant une seule période, attendu que ce qui arrive en passant d'une période à l'autre, doit également avoir lieu entre les différentes parties de la même période: ainsi la valeur du moyen mouvement , déterminé par observation, n'est qu'approximative, et ne pourra être regardée comme constante , que relativement à une période qui est assés courte , pour que la variation du moyen mouvement pendant cet intervalle soit insensible j ainsi qu'on l'a vu dans la théorie de la lune. Celte variation du moyen mouvement est ce qu'on appelle proprement équation séculaire.

L î V R E V, C H A p. IV. 3ii

Reprenons l'équation (9) (§. j63.)

vznnizz. ffandlidR), et ovzn5>?3f.

On a vu r§. 176. 177.), que les fondions T, A, 0, A, 5, @, ne renfermenf, outre des termes constans , que les cosinus des angles v] , lesquels sont la somme ou la différence des niuitiples de \i, p/, p!u& un angle constant, de sorte qu'elles pourront être exprimées généralement par FcosJ'n't — m/~{- A), attendu que [^ z= £ -f- «^ p/ =: e' + n t. Les coelEciens partiels I', 'F, etc. sont fonctions des excentricités, dont les variations sont de l'ordre des masses perturbatrices m' , et qui par conséquent , dans la fonction R qui est déjà multipliée par m , doivent être regardées comme constantes, si l'on néglige les carrés des masses. Ainsi ces coelïiciens , après avoir été multipliés par cos (/ (/ — m) -f- n , auront pareillement la forme F cps {i' îi' i — iné-f-A). Il suit delà, par les équations (N) (N') (§. 177.), que chaque terme de R est de la même forme, de sorte que R =: m' /?■ cos («' v — /v-f-A). Or nous avons vu §. 160.) qu'en ditrérenliant par rapport à ^^ il faut regarder les élémens de l'orbite comme constans, d'où il suit (d R) :iz 7?i^ i k d ^ sim i' m' — /v -|- A)j donc en substituant d^^zizndt, et faisant pour abréger, i' v' — ?*v -j- A zz 0,

(^B'):iz m ikndf sïn<p, f(^R)-=:m i k n f d t s'\n <ïs -zi: ^ ' -— cos (I>>

i nf — in

Si on substitue l'unité au lieu de i ■\- m, dans l'expression précédente de v

et dans l'équation (ib) (§. 161.'), il viendra

v = 3../a/(-.R),l=:2/(aR), donci=:--^^coscp et v=:- ^^J^^'^sin^.

Il suit delà que, si l'angle $ n'est pas constant, les quantités a et v ne sont assujèties qu'à des inégalités périodiques: ainsi le moyen mouvement n'aura aucune équation séculaire, à moins que / «' — in ne soit nul, ou que les moyens mouvemens n, v! , ne soient commensu râbles; ce qui n'est pas le cas dans le système planétaire. C'est d'ailleurs infiniment peu vraisemblable, parceque, n, v! , étant des constantes arbitraires, leur commensurabilité supposerait un cas unique parmi une infinité de cas également possibles. Mous n'avons considéré ici que l'action d'une seule planète m' ; mais R eet proprement fonction des actions de toutes les planètes iW , m" , etc. a)n6i (h. aura

3i2 ASTRONOMIE PHYSIQUE

îa forme {in'^in-{-i"n'^-^cet.)t-\-A, et une équation séculaire du nioyCTi mouvement suppose i n -j- /' n' -\- i" n" -j- cet. 1= o , ce qui est encore moins probable: l'équation séculaire qui aurait lieu, si les révolutions de deux planètes étaient commensurables , sera détruite par l'action des autres planètes, à moins que les moyens mouvemens de toutes les planètes ne soient commensurables. Si on donne à î une valeur négative , on aura l'équaîion de condition î n -\- î 11' ino) cela suppose également, que les deux moyens mouvemens sont commensurables, et que l'un est rétrograde, ce qui n'existe pas dans le système planétaire. Il suit de ce qui précède, que les grands axes, les moyens mouvemens, ou les durées moyennes des révolutions de foutes les planètes de notre système , ne sont assujètis à aucune équation séculaire, et que ces élémens n'éprouvent que des oscillations, ou des inégalités périodiques qui dépendent de la configuration des planètes. Mais il en suit en même tems, que cela n'est pas d'une nécessité absolue, qu'au contraire l'invariabilité du moyen mouvement, sur laquelle est fondée la staïiililé du système solaire, est due à l'arrangement particulier de ce système, et au rapport des dislances des planètes, que l'auteur de la nature a choisi. Il est vrai que ce résultat remarquable, que MM. Lagrange et Laplace ont trouvé par des méthodes différentes (^), suppose qu'on néglige les carrés des masses, et les puissances des excentricités, plus élevées que la troisième^ ainsi que nous l'avons fait dans toute cette analyse. Mais M. Poisson a démontré le premier, que les quantités du second ordre des forces perturbairices ne peuvent non plus produire aucune inégalité séculaire du moyen mouvement , et qu'en général la stabilité du système planétaire n'est point altérée , en ayant égard au carré des masses et à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons (^). Cette vérité importante fut prouvée dans la même année par MM. Laplace (^) et Lagrange C^).

(1) Théar. des car. sécul, des élêm. des Plan, par M. de la Grange (clans les Mém. de Berlin^ .Ann. I781.). Théor. de Jupiter et de Saturne par M. de la Placé (dans les Mém. dt Paris, Ann. lySS.)- Mécan. cél. Tom. 1. Liç. 11. 77=. 54. 65.

(2) Sur les inégal, sécul. des mojens moue dus plan, (Journal de l'école poljiechn. Cali. XV.)'

(3) Supplém. à la Mécan. céleste-

(4) Sur la théor. dès var. des élém. det plan. etc. {Méni. de l'Jnstit. de France, .Ann. 1808.).

L I V R E V, C H A p. IV. 3i3

§. i85. Puisque les latitudes et et longitudes des planètes dépendent de leurs noeuds, inclinaisons, anomalies, etc. les variations de ces élémens doivent nécessairement altérer le lieu de la planète, d'où résulteront de nouvelles équations des latitudes et des longitudes: et ce sont justement les termes (^) (j) ^"^ nous avons séparés des équations périodiques (§. i8i. i83.). Ayant donc déterminé l'ellet des inégalités séculaires sur les équations périodiques du lieu de la planète, ces nouvelles équations, comparées aux termes (•^) ij)f ^^^^ serviront à déterminer les inégalités séculaires. Mais ces dernières étant l'effet des perturbations , et par conséquent multipliées par la masse perturbatrice , leur influence sur les perturbations périodiques doit être de Tordre du carré des masses, que nous négligeons ici: il faudra donc se borner à l'effet qu'elles ont sur les inégalités indépendantes des perturbations, ou sur les équations elliptiques. Conformément aux notations adoptées dans le §. 179, la tangente de la latitude ou 5 est égale à ô sin (u — J), où l'on peut substituer fA au lieu de v: on a donc

s zz q sin \k — p cos fi.

Or si l'action de m' fait éprouver aux élémens p, q , dans le tems t, les inégalités séculaires m't^p, m't^q, il en naîtra en même tems une équation de la latitude, ni'^s, de sorte qu'on aura

5 -|- m'^s r= (<7 -|- m'i^cf) sin ^ — (/? -j- m't^ip) cos fx, partant Ô5 = /(S'ysin/x — ô)3C0S|a). Si on compare celte équation avec {£) (§. 181.J, il en résulte

La différentiation des équations

przôsinJ, «7 zz: ô cos J, p' n: ô' sin J', /=: ô' cos J', donne 67?z=ô'ô.sin J-[-^ô J.cosJ, ô'^ = ô^.cosJ— ôôj ,sin J, d'où l'on tirera

ô"ô = 0";? sin J -j-^V cos J, ô5' J =z ô"^ cos J — 'S'^sinJ, et en substituant les valeurs précédentes de ô p, ^q,

ô^ —-^a" a St^»^ {(/ — ç) sin J -f (p — p') cos J}, ÔÔJ— ^a^a'3t^^^{(/ — ^)cosJ-t-Qy' — ;?)sin J^,

3î4 ASTRONOMIE PHYSIQUE

les variations des inclinaisons et des noeuds dans un tems quelconque i étant m'/ôa et n/ tSJ. Si Ton substitue maintenant les valeurs de p, q, et qu'on désigne par N le moj'en mouvement annuel de la planète m, on trouvera Vaccroissement de rinclinaison, et la précesràon des noeuds par rapport aux étoiles fixes, dans le nombre d'années /,