XV. m'aZ— J m'ia" a' 5l^'V^' cos (J — J'j

Ces équations nous apprennent, i) que l'action des autres planètes peut imprimer aux noeuds d'une planète un mouvement direct ou létrograde, selon que cos (J — JO est plus ou moins grand que-,, mais que les noeuds reculeront toujours , si la distance entre les noeuds ascendans des deux planètes qui agissent l'une sur l'autre, est plus grande que 90 degrés^ 1) que l'inclinaison va en croissant eu en décroissant, selon que J' — J est plus ou moins grand que la demi-circonférence, et que cette variation est d'autant plus considéiable, que l'inclinaison de l'orbite de la planète perturbatrice est plus grande^ et que la dislance entre les deux noeuds approche d'avantage de 90 degrés.

Si la planète perlurbatrice m' est la terre , ô' est nul: on a donc

S"èrzo, et èJ^^ ~ a^ d%^^^. Comme on peut substituer à la terre toute

autre planète, on en conclura cette vente importante, que

Vans'Ie, formé pur les plans de deux vrbiles planétaires , fi'esé point altéré par

leur afiradion muîudle ,

malgré les variations conlliruelles j auxquelles est assujèlie la position de €es deux pkns , ainsi que leur inclinaison relativement à l'ccliplique ou à un autre plan quelconque. Il en suit de plus, que la commune section des deux pians aura, en vertu de leur attraction mutuelle, un mouvement rétrogra- <le , quoique leurs noeuds relativement à l'écliptique puissent avoir un mouvement direct.

§. 1K6. On peut trouver immédiatetnrnt le même résultat, h l'aide àes fonctions Cf c, c . La diûërentielle des équaliouvs p:;:^--— , ^:^~(§. îOo. (6};est

L I V R-E V, C H A P. IV. 3i5

dp =: — — r- , 3 0 rr ■ — ■— , d'où il suit K. î85.)

de zz. ^ (^c''sin J -f- 3c' cos J •— ^ôc), ô3 Jrz - (de' cos J — 3c'sin J).

Puisque les quantités c, c'% sont de Tordre S, leurs carrés doivent être négligés ici: ainsi l'équation (/z) (§. i6i,) donne czz: JlznY — l^. i6i. (iij). Si on substitue Bnzw^a^ (§. i63.) et e'zzz-2.a{ï- — 7";zr2a, on aura cziz — , En mettant à la place de de, dc'j, de'';, leurs valeurs f/) (§. iSg.), et observant que 2 zz: o (§. 167.), les équations précédentes deviendront

^ C /i R\ . ^ , /a RN ^ , /5 R\ /3R\ ,7

d^ = -;za3^^j (7^; sm J + :. (^-^j cos J -f- j (— j ^-^ (-^j ^^

ôaJ ii:7îfld^<ix 1 sin J — y - — cos J > 1

i \dzj -^ Va»; S*

d'où l'on tirera, en substituant x-^zacosy, jzzaslnv^ x zz a cos v% y = a'sïnv' (§. 167.),

d^ - - /zû^ a/ ^ i^j~j cos (V - J) + (^— j èsmv- i^jjj é cos i; ^,

eajn: — ;2a^3z! (r^) sin (v — J).

Substituons maintenant (§. i58. (') (e)), ,

/5R\ , //r i\ m'a: /a R\ , ,/i sN , m'^*

Câl) ^'^'^^ (r^ - f)^ i^ = Ca^ + «'= - ...'COS.V) -I (§. :67.) = S5(§ 369. (/);=z§i^°>^|5l^^'>cosnv (§• 170. (F)), dans les dernières équations qui deviendront:

d$zzm' na^dl\ ^&^ 77 "h r> 5t^^-* cos /w l {/ cos (u — J) — «' Ô sin mv} , ,

ed3=im'tia"z'df\n^°^ }- -{- l H^^^ cos i\A sin Çv ^ 3).

Or zzza\'q'' — <7)sin ju.'~|-(;? — /?Ocos/x'}- (g. 179.), d'où il est aisé de voir,

que le produit de SI*-"'-' ^ par s' sin (v — Jj , par s' cos {y — J) , et par

ô sin IV, ne pourra donner que des termes périodiques^ il en est de même du produit cos/wsin w ~ sin(/-(-iJ w, qui est périodique ou nul. Il ne restera donc pour les inégalités séculaires, que les termes

3i6 ASTRONOMIE PHYSIQUE

dôi='^ ncî'i/ St^'^ a t cos iw {(/ — q) sin n' i» (p — /^'j ^os fx'} cos (i; — J),

éaJ= ~ 7za"û'5(^^'^a^cos/w{(^'— ç)sin fx' -f ip — f/^ ces fi'} sin (u— J).

Si l'on développe les produits des sinus et cosinus suivant les formules ff) ($■ 177-) > on aura les argumens (/-|- ij'/— 0"— 1} H^ ^ J et (/+ ijiv4-J; et il est aisé de voir que le premier ne peut pas devenir constant, quelque valeur qu'on donne au nombre entier /, à moins qu'on ne suppose ^/.|-i^j^'__(/— ])lu,z=o, ou la commensurabililé des moyens mouvemens ju, \i\ qui n'existe pas dans le système planétaiie. Il ne restera donc que l'argument fi-+-i)'w -\-^, qui se change en J, si l'on fait rzr — i: d'où il viendra

a^— - na'a n^'^dl^q'—q) sin J 4- (p — ^0 cos Jf,

^^^=''!^' na^ a' ^i^'^dl{y^ q) cos 3 -j-fp'^p) sin J}. Substituant p^zSswJ, 9 =1 ô cos J , p':^ô's\n3\ q ziz $' cos J' (g. 179.), on

trouvera les équations XIV, XV.

§. 187. Le même prcc^ié donnera les inégalités séculaires des excentricités et des apsides. La difïérentielle de Av fg. 169. 0)) par rapport à 7 et «3 est

d . Av izz 237 sin fft — ro) — 273oJ cos ffx. — w), ou en mettant à la place de 37, 3îo, les variations séculaires m'tSy, m'^S'cJ,

n/ S Avziz'i.m' t {S 7 sin (|u, — te) — 7 ô xo cos (|i ■ — Vi]} ; ce qui étant comparé avec l'équation (y) {$. i83.), donnera

fsw -] ) 7 cos (/A —= ro) := ô 7 sin (,a — to) — — 7' cos (/a — w^)>

Si Ton fait pour abréger,

[a) . 7 sin îo zz Â, 7 cos tP zn /, Y sin to' zn h', Y cos to' iz: l\

et qu'on multiplie la dernière équation par 7, elle deviendra

o=:sinu$A7ô"ro-H^-^^~7— /ô7?-Hcosia$/7ôîC-^ ~ 7-hAô'7?,

t 'an. ) C 271 >

d*où l'on tirera, en égalant séparément à zéro chaque terme ,

o = A7{t.+ °^ + °''\-»7, o = /7ô^ + ^^^t^7 + Aî7,

'are ' 2 7i

et éliminant successivement ôw et ô7.

L I V R E V, C H A p. IV. 317

Mais /r-^/'~7% AV— /'A— 7ysm(TO'— ro), /7-}-A7iz=:7ycos(îiQ'— w), parlant