zz: — 7'sin fto' — roj, ôro in . ~- cos (ce' — w

Substituant les valeurs de D, D' (§. i83.), on aura

l'accroissement de l'excentricité , et la précession des apsides par rapport EUX étoiles fixes, dans le nombre d'années i,

XVI. rn' ô- 7 = - ;n'a7'/ ( 2 A^^> — 2 « ~ a"" ^~-] sin (w' — to),

5 A"' . „ 5 dA<'^

XVIL m' oro =: m'at

On peut vérifier les valeurs précédentes à l'aide des fonctions J", f. Comme le plan des x, y, est ici l'orbite de m, on a (§. 161. 160. iSg. (3) (y)) f—-h r — -h, f'—o, (/ — o, c''=Lo (g. 160.),

d'où l'on tirera ^^§. iSg. (/))

Mais on a (§. 167.)

ac-i=:rcosv, jznrsinv, j;''=z/cos v', yzrrsinv', 9.x:—: 5rcos v — r3 v sin v, 8j rzrBrsin -y -f- r3i> cos t/, a: 8^ — j'3^z^r*3D'y ce qui donne aux équations précédentes la forme

oli-zzi^ ôv ( -^ j -f- r(drcos v — rov sin v) ( ^— cos t^ — v-- sm v)^

0/ — — r dv -— - —r(dr sin u 4- r3 vcos v) f — cos v sin t?

On a de plus (§. i58. (e) (bj

(dK\ m'cosv' mVcosiJ' m'rosi; /3R\ m'sinv'^ m^r'^sinv^ mVsi

et en diJÛférenliant l'équation (E) (§. 167.),

3i8 ASTRONOMIE PHYSIQUE

/5R\ -m^cQg (v^ — y) tn'r tnf r' co% (y' — y')

Ti) — 7^- jr . partant

\à xj \d rj \^ vj r '

,àyj \drj ' \dvj r ' \a yj ^ \àxj \^dvj'

En subslituant ces valeurs dans les équations précédentes , et observant que

3// sin ro -}-d/ cos te iz:3 7, d/icosw — d l s'in xf5 z::z y d zs ^ on trouvera

dy zi: — r^ dv sin (v ~ V5) i — ) « — {3rsin (v — w)-\-^rdvcos{v —zc)} f- — L

y dm zzzr"' dv cos (v • — ro) f- — j -|- \drcos (y — m) — tirdv sinft; — ro)} (-— j.

Substituons maintenant (§. 169. (e)), en négligeant le carré des excentricités,

r = « { I — y cos ()u, — to)}, i; Z3 p, + 2 7 sin (fi — cî) ,

9r zz a7?5/. 7 sin (m, — to) dv zzz ndi {i -j- 2 7 cos (ft — te)},

rd V zn andl {i -|- 7 ços (fx — to)}, sin (v — to) zz: sin (fx — rjS)-\-y sin 2 (fi — Cî),

cos (V — to) zz cos ([i • — to) - — 7 -}- 'V cos 2 (ju, — tâs). Cela donnera, en faisant pour abréger, (a — to zz (p, fx' — xo''zz(p'j

a 7 zz — « /J a / (sin (p -f - 7 sin 2 (p) r ( — j — andt (2 cos (p — - 7 -j- - 7 cos ^(^) (— ),

7aî5zzfl'/23/(cosCp— -7-4- -7cos2(fi)r(-— j — a«3/(2Ûn ($4- - 7sin2 cp) (yrjja

L'équation (P) (§. 178.) donnera

— {—-) — ( — \-a 7 cos 0

m^ \àrj 2 da 2 \ àa ^ à a^ J

-4- a [ 7 cos OH cos i w

> (2/4-1 ) +a—-— i 7cos(/w+CpH« U?+ 0 + ,- l 7'cos(nv+Cp'j.

On a d'ailleurs (— - ) zz m' f — ), si l'excentricité est nulle, d'où il suit

Si Ion substitue les rapports diflerentiels (§. i^S.;, il viendra ~/\J~:^j —

L I V H E V, C H A P. IV. 3tQ

Puisque nous cherchons ici les inégalités séculaires, il ne faut employer que les termes constans. Cela posé on trouvera

-j- 1 (2^"^ -|- 0 A^^'^ -f- ia ^— y sin (w -f- Cp') ces y*

• T- ~ — - nydi — «5^ — r« -^- T- H' cos^ (^

-\- andf

[(' + 0 « -^— H- T -J^£- j ^ cos (mv -f Cp ) cos (p — r(2i"^ -f- i) A'^'^ -j- /a ^^ I y' sin (-u' -|- CpO sin Cp.

En développant les produits des sinus et cosinus, on aura

— 7=z a/Vai^'-hO^A^-'-^— «^ --—^7' Sin {(i -}- i) w -+•03'— ro'f,

Si on fait maintenant /zi: — i, il viendra

o7 — ndl aA^'^ ~ a- — ■ ,— 1 7 Sin (tJ5 — V5^),,

acij- ,,3W ^- ^ ndt[aA^^^-a^ -,- w: cosfxs— vi'):

les mêmes formules que les précédentes (XVI. XVII.}»

g. î88. Les facteurs ô' sin (J — J'), - ces (J ■— J') , y' sin (ro' — to),

— cos i^îû' — ic;, éprouvent des changemens , dus aux variations ô^, ê^J, 6 7, è GJ,- d'où il suit que ces vaiiations ne sont pas rigoureusement proportionnelles au tems , et que les expressions précédentes ne sont exactes que pendant lin certain tems qui peut s'clcn Ire à deux ou trois siècles . à cause de la lenteur avec laquelle changent les facteurs ô' sin (J — J'), etc. Mais si l'on v,eut étendre les fonnuies XIV — XVII à ^es tems plus éloigiiés , il faut y appliquer une correction. Désignons par ^j J, t)', J'', 7, ro, 7^^ -ui\ les valeurs

3ao ASTRONOMIEPHYSIQUE

de ces élémens à l'époque d'où l'on part , par ($), (J) etc. leurs valeurs qui auront lieu au bout de 200 ans, et par [f], [J] , etc. celles qui auront lieu après un tems quelconque /. Cela posé, on a d'après le théorème de Taylor,

(«) W = ^-h^ ^ -h 7 y,v i-cet. [JJ = J-t-^ — -+- - . y,T -f cet.

et sinsi du reste. Les premières différentielles-^—, etc. sont les vitesses des variations des élémens é, etc. qui sont données par les formules XIV — XVII, dans lesquelles il faut substituer successivement les actions de toutes les pla-

nètes au lieu de celle de m. Faisons pour abréger, — m' a" a' St*^^-* zn A,

A/ sin (J — J')-zzb, A - cos (J — J') =r c. A, b, c, étant l'effet total de l'action

de toutes les planètes m', m", etc. Cela posé on aura (XIV. XV.)

et pour un nombre d'années t, qui ne surpasse pas 200, Q— ^-^bt, J — J -j- (c — A) /^ donc au bout de 200 ans ,

(é) zn ô -j- 200 b, (J) m J -f- 200 (c — A). On calculera de ia même manière, et pour la même époque ,

(O, (jo, {n, (n, etc.

Si l'on substitue (ô), (J)^ (O? (J )> etc. au lieu de ô, J, ô', etc. dans les formules XIV, XV , on trouvera les valeurs ^^ — -- , ^ — - . que les variations annuelles auront au bout de 200 ans: partant

Après cela les formules (a) donneront les valeurs des élémens ô, J, 7, ro, pour un tems quelconque.

On peut aussi former les différentielles secondes, en différentiant les équations XIV — XVII, ce qui donnera (b),

A3' sin (J — y) + Aô' (c — A — c'+ A') cos (J — JO, d'où il suivra le même résultat.

L 1 V E E V, C H A p. V. Sai