CHAPITRE V

in égalités du second ordre.

§ i8^, l-Jes inégalités des planètes, qui sont in dé pendantes de leuré excentricités, ou qui dépendent de leur première puissance, et que nous avons <3ésignées par u, U, u\ U , renferment , sous la forme que nous leur avons donnée, tous les argumens dont elles sont susceptibles, les premières u, U, ayant l'argument i(}x' — fi), les dernières, u', U', les argumens z'jx' — .{« — i)^ — îS5 et ip/ — (/ — i) ju, — Xf5% où l'on doit mettre à la place de i tous les norabies entiers, tant positifs que négatifs, en commençant par /m i, jusqu'à ce qu'on parviendra à des équations inconsidérables. Si l'on voulait opérer d'une manière aussi générale sur les équations qui dépendent des puissances supérieures des excentricités, le travail serait immense et inutile. Les formules qui donnent les inégalités U, U', sont des fonctions de/, n, n' , dont la valeur diminue, à mesure que le nombre i augmente: on peut donc s'arrêter, dès qu'on est parvenu à une valeur de ?, qui donne une équation inconsidérable. Mais il n'en est pas de même des inégalités d'un ordre supérieur. Il peut arriver, et nous €n verrons un exemple frappant, que des valeurs plus grandes de i, et des puissances plus élevées des excentricités, donnent des inégalités très-considérables. Il sera donc nécessaire de choisir d'avance les termes à calculer, en déterminant a priori les argnmens qui pourront produire des inégalités considérables.

On se rappellera qu'en intégrant un terme d'un argument quelconque,

il faut le diviser par la vitesse, avec laquelle cet argument croit. En effet,

si B., et par conséquent r {■ — ), renferme un terme A cos 0, il en résultera

pour (aE) le terme A' disiu q) ou • — -— sin Cp , ^ étant n: —^ ^ pour fydBi A" ^ A' â (T)

le terme — — cos (p, et pour dlf{dli)i le terme -y- cos cp, d'où il viea-

32a ASTRONOMIE PHYSIQUE

dra fdtf(dR)-:=z — — sin (p, A, A', ^, étant des fonctions, de /z et n. Il s^agit

3 ^ Al . , j ^ ^

donc de trouver des argumens ({) tels que --- soit très-grand ou - tres-pelitf et il est visible que cela dépend du rapport qui exisle entre les moyens mouvemen&y ji^ n', des deux planëies dont on se propose de développer l'action mutuelle- Or comme n et n' ne se trouvent muiupliés que par des nombres entiers,, de sorte que i a^'^'û 1^ forme an — k n'^ y.,, v! s'étendant à tous les nombres entiers ^^ <* ne peut devenir très-petit par rapport à. A', fonction dans laquelle n et // sont multipliés par d'autres nombres entiers, que dans le cas où les moyens mouvemens des deux planètes ont entre eux uni rapport presque commen&uiable , ou qui peut être exprimé à peu près par deux nombres entiers^ nvn" :'. X' : X„. Si,, dans un pareil cas y on fait k zz X„

jt'rziX', le diviseur ^zhkji — • k' n- est presque nulj; et comme il n'entre pas.

A/ dans ta fonction A', l'inégalité qui est multipliée par -- , sera très - grande..

L'équation ^ on — — zn^n — X'^'// donne (pinX/x — X'ja' -j-const.: on nl'a donc qu'à chercher les argumens Cpy dans lesquels jut et jjii se trouvent multipliés par deux nombres j, l'un étant positif ^ rautre négatif^ qui expriment à peu; près le rapport des moyens mouvemens n et «'.

Déterminons maintenant la puissance des excentricités,, de Taquelle dépend l'argument (pznXix — X'fx'- Tous les argumens sont formés par la combinaison de la; fonction B ou A cos iw avec les fonctions e) (§. 169), dont le terme sénéral a la forme 'V* ' f' (a — te).. Il en résulte dans R

" cos ^ '

(S- 177- (Nj) un terme de la forme cos {iw -^yi) ziz cos- {lw-\-i^ {\i:-- rx))) zz: £os (J p/ ~\- (Jf — ?■}; ju. -4- G)» On a donc,, pour les argumens que iious clierehons ici,, ïzzX'', z'— t'unX. ^ d'^oix il suit que l'exposant / de la puissance de l'excentricité 7 y, de laquelle' dépend l'argument (J),, est i — X rz X' ■ — Xc. Les séries (e) nous apprennent encore ^ que le eoefiScienb de ^ i\P' — ^) est y^\ accompagné de 7^'''^%, Y^"^\ etc.. mais non de 'V^^'^^, etc. de sorte qu'ayant calculé rinégalitê qui dépend de la puissance 7^' , on sait qu'elle est exacte aux quantités de l'ordre 7^ ~^^ près,, et que la puissance r^if-^-t jj5y ajoutera rien.. IL est aisé de voir qu'il en est de même de l'excentricité y\ parceqa'il ae &'agit ici que de la difTérence ctes nombres, i^, i'^

En effet , si l'on combine le terme général de {e) , (y'f^' ^' (yf — w') avec cos i w^ il viendra {^'f'co&{iw-\-i\}i! — vs')]ziz(y'Y'cos{(i-\-i")pf — i\i — î'^'), d'où il suit izizX, i-\-i"zz.\'j donc i^' z:i\' — ■ X, comme précédemmenL La combinaison des deux termes Y' / (/x — vô) et {y'Y" i' {\if — vs') donnera 7'' (7')^''''" (/> 4- /'>' -4" C) , d'où il viendra un terme de Rn: 7'''(>')^'

COS ^ ' ' ■ ' ' ^ '

cos {(.'' -|- i") ju,' — (î — i") \}. -\- C}. On a donc i -\- i' zz X'', £ -— i zz X , d'où l'on tire i' -\-i" zz.\' — X. Ainsi il est prouvé que, pour développer rinégaliié qui a l'argument Xjn — X'/a' ou X'^c' — Xft , il faut remonter à l'ordre X' — X des excentricités.

C'est par de pareils raisonnemens que Fillustre Laplace a fait une des plus grandes découvertes dans l'astronomie physique. Comme il n'y a rien de plus instructif et intéressant, que de tracer ou de suivre le chemin que le génie a pris pour découvrir les vérités sublimes qui sont le sujet de cet ouvrage , je me suis fait un devoir , de prouver chaque vérité, autant que le permettent les bornes que j'ai dû me prescrire , par le même enchainement d'idées qui a guidé les premiers inventeurs. L'action mutuelle des deux grandes planètes du système solaire produit dans leurs mouvemens «ne inégalité trés-considérable , dont la période est si longue que, durant quelques siècles , elle ressemble à une inégalité séculaire. Les observations avaient cependant fait reconnaître, que ce n'était pas une véritable équation séculaire, mais qu'elle avait une période d'à peu près mille ans (§. i5i.). Comme les recherches des plus grands géomètres n'indiquaient aucune équation qui fût à la fois très -grande et d'une période aussi longue, ce phénomène paraissait renverser la théorie de Newton. ]\L de Laplace, considérant que les géomètres n'avaient eu égtrJ qu'à la première puissance des excentricités, en conclut que cette grande inégalité devait dépendre des puissances supérieures, et il commença par déterminer la puissance des excentricités, et l'argument qui pût fournir une pareille inégalité. C'est alors que , par les raisonnemens que nous venons de développer , ce grand géomètre découvrit l'inégalité de ces deux planètes, qui a une période de plus de neuf cens ans , et qui est la plus grande de toutes les perturbations. On a vu qu'afin que l'argument (JjzziXh— X' ju,' donne, après l'intégration, une inégalité

considérable, sa diâerentieUe, divisée parcelle du tems, X^^-^X^/~^, àon être très-petite^ or comme ^— |^ est la vitesse, avec laquelle l'argunient (p croît, Hnégalité doit changer très-lentement, et par conséquent sa pérbde doit être très-longue. Il est donc visible, qu'on remplira à la fois les deux conditions, en déterminant l'argument $ de la manière que nous venons dedévelopper.

§. 190. Les moyens mcuvemens , n, r/, n' , des plus grandes planètes du système solaire, Jupiter , Saturne , et Uranus, ont entre eus un rapport presque commensurable , de sorte qu'en nombres ronds ils peuvent être ex^primés à peu prè& par les proportions, n : n' :; 5:2, et n' : n" :: 3 : r. On a; donc à peu près, par rapport à Jupiter et Saturne, 5// — 2« — o, et relativement à Saturne et Uranus, 'èn'—n'zz.O) d'où l'on conclura, dans îè premier cas, X = 2, V = 5, /'inV — X = 3, «t dans le second cas, f=i2. La grande inégalité de Jupiter et de Saturne est donc de l'ordre des cubes desexcentricités, et celle de Saturne et d'Uranus est de l'ordre des carrés. Èelaîivement h Jupiter et Uranus on a « t//.-::.i5-.2,, ce qui donnerait la treizième puissance des excentricités^

Outre ces inégalités qui sont données par les termes /(9R) et ^(^ V 3! y en a d'autres assés considérables, qui ne se manifestent pas aussi immédiatement, parcequ'eiles sont données par les autres termes de l'équation IV (S. î8oo)* on les trouve principalement parmi celles du second ordre. Relativement au carré des excentricités,^ l'équation IV. donne des termes , dans !esquels u, 1^, -^, sont multiplies par 7^^^^ 2 (m- — ûf), et u , -^ , -^-^^ par 7"" (fx— ts). Or u étant =::Acosw (§. 182.), z^'=: B Y cos (///—(/— 1) m. ~tiJ) ^Cy^cos (z>' — (i'—î) 1^— ^0 C^IÏ" §" ï^3.), A, B, C, étant fonctions deti et n ^ cela donne des termes de la forme 7^ cos (z w -|- 2^;. — 2TO),, 'V7'cos(jw-|-2 iuL — ns — m') y c'est-à-dire, de l'ordre du carré des excentricités,. et de l'argument i> -f 2fju-}- G — izV— (i— 2) p. -f C —73. L'équation iV. prendra donc, la forme , o =1 — ^^ -f 7^* u" + L cos ^ , dont l'intégrale es^t

zz E cos n, ce qui donne —— — K {(^ — 2) n—in | sin r,,, et