LIVRE II, C H A P. I

(î) ezz — -, c-=:y («- — /;^ 1 = y f/" , ezz: -î— 1

et les coordonnées étant comme ci - dessus {.Fig. i.) CNzza:^ IN M : — jj, ACMzzicp, CM:zzr^ réquation de l'ellipse est

©u à cause de j^ zn /-^ — x^,

^2. ^2__- ^4 | 2/>2^^ | ^£^-2^ dont la racine carrée est

(31 a r -zz b" -\- c se.

En substituant .r iz: ;• cos (Jî, cette équation deviendra

(4) c n: r (« — c cos cp ; ^ — b^ ,

dont la différentiatïon donne — 5 (t) =: -Zlil"i^ ar. En substituant

c r sin (4)

ar—b^^ Z,= C2 a r 6= — r») ., . ^ cos cp m et sin- cp zz — !^ —- , il viendra

(5) d<p^~l ^-T , Jt 3^2:ii$!if^3il=i!};

Ainsi réquation VI. (§. 19.) deviendra

et en substituant l'équatif-n' V (§. 19.), et divisant par dt^,

^^,., ^=-4giPar.

o >k ^ CI d "Y*

dont la driTérentielle- est — r^^— ^^^g^^^y d'oii l'on lire

La force' centrale F ou son accélération, est donc proportionnelle à —, parce que

hy a, b, gy sont des constantes. En substituant (1), et faisant pour abréger,

A^ (7)..... — iz: C, il viendra^ ^' ge

M en résulte cette vérité' importante, découverte par Newton: la force centripète du soleil agit suivant celte loi ,. que son accélération, ou la vitesse qu'elle communique aux mobiles en tems^ égaux, est en raison Inverse des carrés des dislances des mobiles au soleil {^ ).■

Il faut cependant faire une observation qu'on a souvent négligé de faire. Il n'en suit pas que la force cenlraie du solni' s'étende par tout i'u-

(tj Fhll. Nat. Pdnc. Math. Lih. I. §. loa..

nivers suivaîit la même loi; quoiqu'il soit hors de toute probabilité, que celte loi qui, d'après les observations, a lieu dans les diverses distances de chaque planète au soleil, soit brusquement inierrompue dans les intervalles entre deux orbites. Il faut cependant convenir, que la démonslralion précédente, ou l'ellipticité des orbites, sous le rapport géométrique, ne nous autorise pas à donner à la loi cette étendue. En effet, elle suppose que a, h^ sont des quantités t'onstanles, ce qui n'est le cas que tant qu'on considère ijne seule orbite: on pourrait donc douter, que la raison inverse des carrés des distances ait encore lieu ,' si l'on passe d'une orbite a l'autre, pour les comparer entre elles, parce qu'alors a et b, ajant d'autres valeurs, doivent être regardées comme des variables. La question,- que la loi de Newton a lieu partout, ou seulement dans chaque orbite, ne peut être décidée que par l'expérience relative au rapport qui exisie entre les différentes orbites, c'est» à-dire par la troisième loi de Kepler (Voy. §. fQ.)-

§. 28. La constante A résulte de l'intégration de l'équation ÎII, coni' înune à toutes les forces centrales (§. 19. V.): elle ne dépend donc pas de la loi d'attraction, mais de la force elle-même, ou de ce que nous avons appelé sa quantité absolue (§- 9.). Ainsi la quantité A servira à déterminer le rapport de la force centrale du soleil à toute autre, quand même elle suivrait une autre loi, s'il y en a. Puis donc que l'accélération de la pesanteur à la surface de la terre est l'unité dans toutes les équations précédentes (§. 16.), P sera le quotient qui indique, combien de fois la pesanteur est contenue dans la force P. Or P dépendant de la distance, il y aura nécessairement une distance f, à laquelle P est égale à l'accélération de la pesanteur, ou P=:t. En faisant donc rznf \^. 27. (8)), on aura P rz: i, C:=:/^, hzzLfV gc, P zz ^ , ou en nommant p l'accéiération de la pesanteur, /?: P :: r^ -.y ^. Si l'on désigne par P^ , ce que devient P, lorsque la distance r est égale au demi-diamètre de la terre ?, la proportion précédente deviendra p -.V :: f' -.f^ , ce qui est en même tems le rapport de l'intensité de la pesanteur à celle de la force centrale du soleil, parce que p, P', sont leurs accélérations à la niêrae distance e- La grandeur absolue de l'altraction du soleil, la pesanteur étant prise pour unité, est donc rz -- on /'*, le dPau-aiai.:ètre de la terre ? étant l'unité des distances. En noran.ant aonc