XXIX. U'' -r asinx|/— Yacos>jy, et l'on trouvera

y = (^, P" - I Qv + I- + i MC5> i. B<.> + . gc) f + if' P'"- i ^"" + 1^?^ -H^?C"-) ^ - (^ P" -|q" + 2è-C") t

,^ ^ '^ J ndt~ \^ ^ '^ J nàt

y élant ce que devient Y, si Ton change f, 9, etc. en f, g', etc. 8f, etc, en — 9 f , etc. et 3 3 f , etc. en Bdf\ etc. Snpposons maintenant

îi^t nàt ndt ndt ' * n^f ' ndt

et substituons les valeurs précédentes de P^, Q^, C^, etc. B^-^^ M^-^^ N^^\ Cela posé on aura

D' =a6.8„.«A<«+< .«653.a^:^^-:+,59,5.«3^11+6o8.«4£^r 3.îll*-r, D"=820949.aAW4 376o6..a'^V49654-3^''-^'^-.8.3.„4£!^--9«J?;^-,

à a ' ' a .1^ d a^ d af*

B-=.68.35.aAC"+,3„,4.a=^+,,8,9.«3^^^^597..4^-3«^^'^-;^,

^a ^ da«^

36o ASTRONOMIE PHYSIQUE

D° = 20594.a=a'St<3>4- ,957 .«3 a' -^ —g»''" ^T^^F" J

d" , , rN , ,,r "SA<'> , „ ,ajA»' , . ,S»A'" -S'A'"

A- -3983o.aAf='+2o445.a- ^^ +2,o6.a3 — -+ 96.a^^--o,^.a': -g--,

= 4334.aA<5'+,975-'^ +^70-5^+. ..a* -#„-"<'.''--'-.„-.

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aa ' ' ,9a2 ' da^ ' a a*

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ioooooo ' 1 >T^ d a ^ ' * d aP- ^ ^ a^ - a a* '

.z^ 44-37.aA'^"'-}-2283.o;"^^4^^ l-3o4.a-^^^^; — [-11. a"^^^— 0,02.^'

IOOOOOO - • da ^ a a^ ' da* d a* '

1000000 ^ ' d a da^ ^

ô° ^ o . o ./ 0,(3) L ^A r,3 V iE!^ n r.^ ^4 .^ ^ ^ '^'

Les rapporîs différentiels, — ^— , -, etc. seront déterminés par la

méthode, développée ci-dessus (§. 192.)- On calculera les valeurs de 7, 7', cjc, te', ô sin n zzr e, ô^ cos fl m e', pour les ans 1800, 23oo, et 2800, d'où l'on conclura, pour les mêmes époques, les valeurs de f, 0,, ^, î, f , etc. (§. 202.), que nous avons désignées par f, (f , [f j, etc. ainsi que '{ = 7ô^sin {Xf5 4- 2 n) zr (e'^ — e' ) 7 sin îO -j- 2 ee''7cosrozii7 ' Â'&inv5^Â-cosv5) (§. 1 92.}, r zz [e^ — e^) 7 cos w — 2 ee' 7 sin W::z:y (Je' ces W — ^ sin ro) , m = 7' {k' sin XfS' -\- k cos to'), m' zz 7' {V cos to' — k sin ûo';,

ou bien, en faisant ■-■, = tang h, zzc.

L I V R E V, C H A P, VI. 36i

t — 7csîn(K.-|-.TO), r = 7ccos(K-f-îo), m=:'V'csin()t4-ro'), m^:=Yccos{K-{-vs').

Cela posé on aura r§. 192) ^. — '^- ^'>> ""^ f ~iO etc. et comme t est le

ai 1000

nombre d'années , il faut substituer pour n le moyen mouvement annuel N (^. 194-), <iui ^oit être exprimé de la même manière que f, g, etc. c'està-dire en parties du rayon. On aura donc relativement à Jupiter, N =: 109^56', 4 = 0,5296907; N'^zr 0,280572; d'où il viendra

--7 — - — 2 — :rz * ~2~^ *^ — ■ — 7¥" — 7 et ainsi du reste.

ndt 629,691 ' 7i2<jf2 7014.3 '

Les copffiriPtîs aA^^\ a^ a' 5t<^^\ et leurs rapports différentiels, &^ — — , «3 '~Ja^~ ' ^^^' ^^"^^^^ calculés à l'aide des formules (4^ (5) (6) (§. 17*0, (2j {'à) (0 (§■ 17^-). (^)— (i3j (§. 17^0; ^t l'on trouvera P^ P^\ etc. Q% etc. C^, etc. par les formules (§. 20^4. 2o3.). Après avoir calculé toutes ces quantités, on aura l'inégalité du rayon vecteur par l'équation XXVIII, et celle de la longitude par l'équation XXIX, u'' et U" devant être multipliés par la masse de Saturne m\ En outre il faut multiplier i/" par a, et U"'' par- — -, , pour exprimer la correciion du rayon vecteur ^rmau"' en parties de la moyenne distance de la planète m au soleil, et l'inégalité de la longitude en secondes d'un degré (§. 182.).

§. 204. Puisque chaque perturbation dérange le mouvement dans l'ellipse primitive , il est visible que la grande équation de Jupiter et de Saturne doit altérer les élémens de ces deux planètes; d'où il naîtra une nouvelle correction de la longitude et du rayon vecteur. En effet , la première et la seconde équation du second ordre (§. iqS. igS.) sont le résultat de l'altération des élémens elliptiques , produite par la grande équation.. Pour le prouver, nommons ô' 7, ô w, les changemens de l'excentricité et des apsides de Jupiter , qui résultent de sa grande équation JE que nous venons de développer. Comme ils doivent avoir le même argument que l'équation M qui les produit, savoir 5"^ — ^ €^ zz: ^ , supposons

ô 7 = P " ^l/, ô- w zz Q vl/. cos * cos

L'équation elliptique (§. 169. (e);

A t) zr 2 7 sin T/o, — z^5) 4- - y^ shi 2 ''^t — ■œ) 4^ cet.

étant fonction de 7 et w, elle sera nécessairemeni; allérée par les varîalions S y èw- ce qui se manifestera principalement dans le premier terme de AV. En différentiant donc At; =: 27 sin (,u- ^- to) par rapport à 7 et ro, on trouvera la correction de la longitude,

Ô\ A i; — 2 ô' 7 sin f î:^ — w) — 1 7 . J te cos (^i — to) =:

2 P ''" xl; . sin f S^ — TO) — 2 Q 7 "" vp . cos f î^ — îo),

cos ^ ^ cos

d'oii il résultera un terme de la forme

« cos • 1 ' " cos ^ ^ ' ^

Comme cette correction a le même argument 5 "^ — 3 2/ =z (p, que l'équation XIX §. .'93.) ou œ, il est visible que œ est due à Fintluence de l'équation M sur les élémens 7, w, et que, par conséquent, elle peut servir à déter» nriner les variations ê" 7, ^'gS^ dont elle est l'effet. Pour cela il faut supposer ^zzè'. A V, Or on a, en négligeant les termes inconsidérables (XIX. §. 193.),

^=1:——, et -f z=: — X:= — «, donc

^-:!i!?^(L/'.n./ + ïlI.//--lV.A';+'-^(:i./-IÏ^ + III.A--ÏV,^-). d'où l'on tire, a cause de Cp =1 4/ — ^ >

sinî^ ^^7^COS('4/ — 2 te) — II. 77'COS (vj^ — ÎS — to')^ ^^~V ^i-III. V^^COSfxP — 2Î)3'} — ÎV. Ô^COS fvP— 2n)S

cos 2i ^L7^sin (xj/— 2 îc) — lL7 7'sin(vI/ — TO — to"^ ^ ' 'f~ ^-[-ill. 7''sin(vp— 2TO'j — IV. ô^sin (v};— 2 np

Maintenant il faut donner à 5^. A v une forme analogue, savoir 6-.AV n: 2 (ô 7COSIC — 7.ô"tiijsinïe sin S^ — 2 (J 7 sin \p 4- 7 . ô" ^5 cos w) cosQ/., En égalant séparément les coefEciens de sin % et de cos 0^ , dans œ et ô. A V, on aura

, rî. 7^ cos (vp — 2TO) — II 7 7'COS ^vjy — Î^J — ÎSj'^n

.«5'7co5îO — 7.5"wsinw:= -— 5 ^^^ ^, , , „, ,, , ^.c,

2^^|ni.y'' cos (■4^ — 2 OT; — IV. ô*cos ^i'— 2n)>'