A' OU

Mais on a dans l'elîipse (§. 2^. (5)), en mettant -^ au lieu de b^^

y "Li

(2) 1^ zz:

Si Ton suppose a infini, l'équation (2) est celle de la parabole; et -si si esft négatif, elle donne l'hyperbole; ensorte que (2) est l'équation générale des sections coniques. Il est visible, qu^ les équations (i) et (-2) sont identiques, si l'on fait ' -

(â) ae:iz , a zn. — — , partant -o nr -— — «

Il S'en suit que les orl)ites, décrites en vertu d'une force centrale qui est ré' ciproque au carré de la distance, sont nécessairement des sections coniques, dont le foyer est occupé par le corps central; et les équations (3) serviront à distinguer les cas, où l'orbite sera une ellipse, hyperbole, on parabole. L'é^

L î V R E ÎI, C H A p. îï. 55

quûiion «? rr ~~ nous apprend, que, le grand axe, ainsi que îe paramètre, ne dépend pas seulement de Tintensité jT^ de la.Jbrce, mais aussi de B, constante arbitraire que les observations seules peuvent nous faire connaîire. Cette constante B, qui dépend des circonstances accidentelles, auxquelles le snouyement à été assujetti au moment de son origine ou à une époque quel» conque, servira à déterminer la nature de l'orbite, qui sera une ellipse, hy» perbole, ou parabole, selon que B est positif, négatif, ou nul. Le paramètre

« dépend de' la constante A, et A m ^— ne peut être connu que par observa» lion. On a donc pour les diverses sections coniques,

^$> A Yae

(4) ^ . . . . Ellipse, ^= , ,

^ ijpei 0 e, — r .y [B r2 -{-4 g/= r — = A») r ,y [2r'''i'4.ar — ae\^ (6)..... Parabole, ~ — ^ — ^'

àr r.y [igj^ r ~ A^) r.y (4 r — e)

Si Ton substitue (3) AzizjVge dans l'équation Tz^'^~~- — (§. 29.), b étant y — (§. 27. (i))> on aura

En nommant n l'angle que l'astre décrit en une seconde par sa vitesse moyenne, on aura n::^— -, T étant exprimé en secondes, donc

(9) ^-f^'-â^ iio),..,,f=nyf.

En marquant d'un trait les mêmes quantités, relatives à une autre planète, oa à un autre corps central, on aura

1,'équation '>^ir) s^rt à comparer les i-évolutions et les moyens mouvemens de deux astres qui décrivent, autour du même corps central, des ellipses dont les grands axes sont 2a et 2aj à l'aide de l'équation (12) on pourra comparer les forces centrales de divers corps entourés de satellites, dont les distances a, a , et les révolutions T, T', ou les moyens mouvemens n, n, sont connus par observafion. Pour un commun corps central n'^<i^ rr" ^gj"^ — -- - '~^- «B est ui^e quantité constante. Il s'en-suit.

(33),....A^= «^a=Z>% (]4) Bznn^a^—-'

§. 33. Il suit donc de la loi de la force centrale, — , que l'orbite doit

nécessairement être une section conique; que la loi, suivant laquelle la planète

A décrit son orbite, Szn — t^ est donnée par la constante A; que le paramètre

de la courbe dépend de la constante A et de l'intensité de la force y^; et que l'espèce de la section conique est déterminée par la constante B qui dépend des circonstances accidentelles du mouvement, ou des constantes arbitraires qui entrent toujours dans la solution des problèmes, donnés par des équations différentielles. tJne de ces circonstances accidentelles est la direction el la vitesse que la planète a eues dans un point quelconque de son orbite: car suivant la loi d'inertie, on peut indifféremment lui attribuer l'état du repos, ou un mouvement recti ligne et uniforme. Cet état, soit qu'il dépende de l'origine d€ son existence, ou d'une impulsion inconnue, ne peut donc pas être déterminé par la nature du problème; et cependant il doit nécessairement modifier le mouvement de la pla* nète pour l'éternité, quelles que soient les forces qui agiront sur elle. Connaissant donc le mouvement actuel du corps, et les forces dont il est sollicité, on pourra déterminer la direction et la vitesse qu'il a eues dans un point quelconque, et d'oii dépend la constante B. Chaque point de l'orbite peut servir à cette détermination; mais comme il suit de la nature des sections coniques, que la direction du mouvement est perpendiculaire au rayon vecteur dans deux points de l'orbite, il sera plus commode, de choisir l'un de ces points, et principalement le périhélie, également applicable à l'hyperbole et la parabioles' alors on n'aura besoin que de déterminer la vitesse, la direction étant donnée. La vitesse v est en gênerai i^. i5.) — zz.^—^ — : rz-^-^ '

(S. 19.) - V (If; + ^) (§. ,9. V.). Si l'on y ^substitue (VI) ^^ + ^.=

-B-4^/P8r = -B-i-i-|^'.^2^/-(^i-^l^(§. 32. (3)), on aura

La vitesse est donc un maximum],Aorque r est un minimum, et réciproquement: elle est donc un maximum dans le périhélie, un minimum dans Vaphélie,

En faisant rzzza—'C, on aura pour le périhélie, v^zz:- — ■ r ZZ ; rr-\

%t ea substituant c — f/fa^^— — ) {$. 37. (i)),

ï. ï V R E n, C H A p. ÏL 57

/— /yg^

m Ton nomme -p' la distance périhélie, on a p':^ a -=- §# ce qui change la dernière équation en

Le carre de V (a^ — — )zra-— 0' donne a^: - — ?— , et en substituant «=-—^(3), on aura

^'où il suit que la nature de la section conique dépend de la rilesse v', -avec laquelle la planète a passé par le périhélieo L'orbite sera une parabole, si cette vitesse est égale à 2/ K— ,; elle sera une hyperbole ou une ellipse, selon que v' est plus ou moins grande que ifv ^. Nous voyons par là, que les hyperboles et les ellipses sont également possibles, avec celte différence, que l'hyperbole suppose une plus grande vitesse que l'ellipse. La -parabole est infiniment moins probable que les deux autres sections caniques, parce qu'elle suppose un cas unique, l'égalité exacte de v' zn'xfy -^ . Pour p^u cpe la vitesse soit plus ou moins grande q«e cette limite, la parabole se transformera en hyperbole ou en ellipse. Il en est de même du cercle

.qui suppose aussi une égalité parfaite, savoir v' r^ijv — ^ , ce qu'il est aisé de voir, en faisant azu-p' dans l'équatron (4). 11 s'en suit, que les vitesses <le deux astres qui partent de la même distance périhélie, pour décrire, l'un .une parabole, l'autre un cercle, doivent être entre elles comme 2 à Y 2, ou comme Va à \. On voit en même tems^ que la parabole est l'asymptote dont les ellipses fort excentriques approchent de plus en plus dans le périhélie: cette observation a été d'un grand usage dans la théorie des comètes. On peut ex!>rimer les conditions précédentes d'une autre manière. Puisque F m -- , — zz-Y sera la force accélératrice dans le périhélie, parfaut ~, zz P p. L orbite sera donc une hyperbole ou une ellipse, selon que V" est plus ou moins grand que t^gpV) elle sera une parabole ou un cercle, si t; ^ est égal à î\gp'Y ou à 'xgp'Y'. En nommant h la hauteur, due • à la vitesse v' (§. 16.), en a v'^zz^gh: d'où il suit que l'orbite sera une

hyperbole, si h'p>p'V\ une ellipse si h<Cp'^', une parabole si h-zzp'V^^ et un cercle si h:zz~p^F : dans le dernier cas la hauteur due à la vitesse périhélie est au demi-rayon, comme la force centrale à la distance égale au rayon est à la pesanteur. Au reste, il est visible, que le mouvement circulaire autour du corps central est toujours uniforme. L'aire du secteur est S m î A /•• en nommant donc s l'arc, et Cf) l'angle au centre, que la pla-

nète a décrit dans le tems t^ on a S:zzîp''5ZZ^^jD^(p^ donc s -zz -y et

^ zii -j^, p étant le rayon: d'où il stiit^ que les mouvemens vrai et apparent sont proportionnels au tems.

L'équation (3) e zz — ^ nous apprend , que If s paramètres de diflerentes orbites, autour d'un commun centre, sont en raison composée des carrés des distances et àes vitesses périhélies, et que, si les distances périhélies sont égales, les vitesses seront comme les racines des paramètres, quelle que soit la section conique Dans la parabole et dans le cercle on a ezzi^p' et ezizip, partant p'zz:— — et p^^^^r — f^-' Les paramèlres et les distances pé' rihélies de ces deux sections coniques seront dont réciproques au carré de la vitesse.. Si l'on suppose les vitesses égales, la première valeur de /î' sera le double de la seconde ce qui veut dire que,, si deux astres passent par leur périhélie avec la même vitesse , l'un décrivant une parabole , l'autre un cercle, la distance périhélie du premier doit être deux, fois plus' grande que celle du dernier»

§. 34. L'ellipse qui est proprement Tobjet de nos observations et de nos cajculs, mérite une attention particulière., Si l'on nomme //' et 1/' la distance et la vitesse aphélies^ on aura p'' zz: a -f- c, donc (^§» Si. (i))

En comparant cela avec l'équation v'^ zi: — - — ~ (§. 33.), on, trouvera

v : v' : : a -\- c •. a — c : : p'^ : p\ Les vitesses dans les apsides sont donc réciproques aux distances; et c'est dans ces points seuls que ce rapport a lieu: car l'équation (i) (§.33.) nousap-

prend, qu'en général deux vitesses sont dans le rapport v':v"::y y- iV — jy-~-

!Nous sommes entrés dans quelque détail relativement à celte matière, 'parce