LIVRE V, CHAP. VIII

Si on substitue /xv^-f-Mv^zzM/^^ et {x^^zmnzzzdr, on aura i-j ^-zz:-— --, ou

M V et les triangles semblables MC^, /xMv, fourniront C/=: -— - CM, donc

Dans le périgée A', CA' est perpendiculaire aux arcs de l'ellipse et de la vraie orbite lunaire, parceque la relation de l'orbite autour de C doit constamment être perpendiculaire au rayon vecteur. On aura donc dans ce point ynzpzizCA'zzie, et la vraie vitesse v aura une valeur c qui est déterminée par les élémens de Torbile. Or dans toutes les forces centrales, les vitesses sont en raison inverse des perpendiculaires, abaissées de C sur la tangente (§. 21, , d'où l'on conclura

'V ziL — =z Cpar (")), donc w =i — ;

ce qui étant substitué en (i) ( ), donnera

Si on fait M Cp- :=i3(î), les triangles semblables MC^^ ju,Mv, donneront dynL y iy^-^P^)} et l'on a, pour toutes les forces centrales, jdCpin- — •

(§.20.), d'oij l'on tirera dyzz l^(j^ — /^^J? et en différentiant , ddjziz

■ —^ — r-T-^— ^— . Si on substitue V (y^ — P i ^::=^ ^-^-^ , il viendra

*^ \y^ p-^àyj' -^ ^ y^ ' J J ^ p-dy '

En substituant cela dans l'équation IV (§. 19.), on aura pour toutes les forces

A^ B i) centrales P Féquation, 2^Pzz-j— . Mais Anrzvp-zzce (§. 21.), donc

Dans l'ellipse ou l'orbite relative, wu zn — doit avoir une valeur constante C, d'où il suit que ju, est aussi une constante. En différentiant donc (4)

I ^2-u(|a2 i) ti3 dp fyi^-^i)dy du , ^ry

~1 — 2 2„2 j on aura -— z= — ~-, donc par (5;,

436 ASTRONOMIEPHYSIQUE

Si on nomme Q la force centrale dans l'oibile elliptique A' M', qui doit èlre proportionnelle à -^, on aura de même 2^Q m —^^ — , et en nommant 'V la vitesse relative dans le périgée A', et substituant Czzzwuzr.y e.

Or dans les apsides , le mouvement réel et le mouvement relatif sont de petits arcs de cercle autour du centre G, d'oii il suit que ces deux vitesses seront entre elles comme les vitesses angulaires: on a donc

c : 7 : : |t : 1, conséquemment zgQz:^ ^T^^'

Si on substitue cela en (6), on aura

ce qui est la partie de la force centrale, qui dérange le mouvement elliptique, en tournant l'ellipse autour de C, et produisant le mouvement des apsides» §. 244* La force perturbatrice que nous venons de trouver (7, est réciproquement proportionnelle au cube de la distance y, tandis que Q l'est au carré. On peut donc faire la dernière =1: -^ , la première zn — , et par

conséquent la force centrale entière, P zz : — . En comparant cela aux

expressions précédentes de 2^P et 2gQ (§. 243.), on aura h^ziz , partant

Si on fait yizie-f- z, P zz — , on aura P zz -^ — :- — , donc fzz. V t ,

et /î^zzE — Fe. Comme l'orbite lunaire s'écarte fort peu du cercle, on peut supposer le paramètre kzz.ie, ce qui donne (§. 3J. (3)) y'^é^zzLgf^k-zzigYe^ d'où il vient 2^^^ -|- 7^ e^:z: 2^E, donc

équation qui servira à comparer les mouvemens de la lune et de ses apsides.

Si dans un certain tems, la lune va de A' en M, le périgée de A en A,

•les vitesses, avec lesquelles croissent les angles A'CM et A'GM', seront entre