LIVRE V, CHAP. VIÏI

elles comme m, et i (§. 24 ^•^' En nommant donc le mouvement relatif de la lune ACM'zrC celui ôes apsides A'GAizi\|/ on aura

8x1. =1 3 . A'G M — ac = rfi — 1) ac = — -^^^^^^ ae

y F e Si on fait E '\-F z:zzY, on aura dans le périgée Y rr: E, j étant me; ainsi y étant =e-j-ajz=:e-f-s, Y deviendra E-j-O Y:ziE-f F2~E-4-Fa v^ d'où i! vient F zz: ■— . Le mouvement des apsides sera donc

Le mouvement d<C étant toujours direct, il en suit, que les apsides de la

lune auront un mouvement direct ou rétrograde, selon que — est plus ou moins

grand que -r- , et qu'ils sont slationnaires, lorsque — zz ■ — . Alors on a Y y Y

Y rf

d . log jziz a . log Y , donc Y 1= a.y, et P n — = — : la force perturbatrice disparaît, et le mouvement est elliptique

La force centrale est en général (€ 2ii.\ Nzz^ G>'(.i-i- '^"^fj^)— - '

En faisant donc J-^J—^ 0=S, on aura Yn:/— S/^, d'où — i— 4Sx3,

Il en suit avj/ zz^V ^,^^ — 1 f '^C ou ^ très- peu près

avf; zz { y (1 -f 3Sjr3) 1^ a(^ I s^39(^.

Supposons que le mouvement périodique de la lune, aCi soit à son mouvement synodique, — d(^, comme n à 1, ou a^zz — «acp: alors on aura

d^zi: ^3- (aC — Swacpcos 2$),

dont l'intégrale donnera le mouvement des apsides,

3 ojy^ Nf/ = — ^- (C- |«sin2(î)).

Le premier terme donne — ~ 270° pour le moyen mouvement des apsides dans un mois périodique, lequel est par conséquent toujours direct; le second

terme — j Q)s\ni(^ donne la Vibration des apsides, ou Xéquation de Pa-

pogée. Elle s'évanouit dans les syzygies et quadratures; elle est un maximum positif dans les octans qui précèdent les quadratures , et un maximum négatif dans les octans qui précèdent les syzygies, parceque (p zz O — O Cela

est parfaitement d'accord avec l'équation des apsides , découverte par Pîolémée (II. §. 196J, qui est intimement liée avec la variation de l'excentricité (§. 2Î2.}, ainsi que le fait voir l'hypothèse que les astronomes modernes ont adoptée pour calculer Tévection (il. §. 198.'. Quand on ne considère l'équation des apsides qu'à l'égard de la correction de Féquation du centre qui en résulte , et qui doit nécessairement dépendre de l'anomalie de la lune, et par conséquent du lieu des apsides, il en naîtra un argument qui renferme l'élongalion du soleil de la lune, et de la lune des apsides, conséquemment la distance du soleil à l'apogée de la lune (II. §. 19B.).

Soit l'apogée de la lune zztD, l'équation des apsides, ssin^ C — 0^=^^» celle de l'excentricité, S cos 2 (Q — rc)=z87 (§. 242.) Cela posé, le premier terme de l'équation du centre, — 27sin(C— to), aura besoin de la correction

— 'idy sin [(^ — ■u5)'^2ydm cos (C — w) z= — Ô" sin ^C — ^ -f- 2 O — aro)

— ô^sin (C— ^— 2O-I- 2îc) -f- ^'^ sin (2C~20+C— ^,-f-£'Xsin<'2C'— 2O— C4-^> Le second et le quatrième terme donnent Véi^ectionj qui a le même argument, sin(-C — 2O— Ci"^); Is troisième terme est l'équation XIII. de la longitude de la lune, dans les tables de M. BLirg (II. §. 198. 204.)-

§. 245. La force — -) ^ f§. i4o.), qui sollicite la lune suivant LT

(Fig. 47-)5 agit dans le plan de l'orbite lunaire; elle ne peut donc jpas dé-

Q Çct^ 2,3")

placer ce plan. Mais l'autre force F =1 — ^^— — -— suivant TS ou LM, n'est pas dans ce plan, excepté le seul cas où le soleil est dans le noeud de la lune^. elle pourra donc altérer la latitude de la lune, et nous avons trouvé

(§. 241=) à peu près P zn -.^ . Supposons que la lune décrive dans

le tems 9^ l'arc L/mj^C autour de la terre T, le soleil étant en S, et que la prolongation de U rencontre fécliptique en N, de manière que TN soit la ligne des noeuds, N le noeud descendant, en supposant que la latitude de la lune en L est boréale. Soit /X la petite ligne, parallèle à TS, que la lune a parcourue dans le teras dt, en vertu de la force P. Cela posé, le vrai mouvement sera hX; et si la prolongation de LX rencontre l'écliptlque en /?, T/2 sera la nouvelle position de la ligne des noeuds, et ]NT//~— 3^ la djilerenlieile du mouvement rétrograde des noeuds. La ligne /X, étant parallèle à TS., et par conséquent à l'écliplique, le sera aussi à N«^ la

L I V R E V, C H A p. VIII. 4?^

commune section du plan L/X et de l'écliptique: ainsi les trois lignes TS, /X, N/2^ étant parallèles entre elles, on aura

Ayant donc abaissé sur TN la perpendiculaire nR, il viendra «RzniNnsinTN/zzi: -— - LNsina, et sinNT«zi:~, ou à très-peu près,

y a <L Tti ri>

TZ R l\ L N .

a^--— =^^^^. — .sina.

Puisque nous regardons ici l'orbe lunaire comme un cercle, on a TLN:IZ9o^ LTN= i8o^— (C— Q) - '8o° — X, ^^ z=:sinLTNzz:sinX, donc

^^—~ yr^ '^" a sin X =r — -^ {cos (X — oc; — cos (X -f- a)}. Les principes de dynamique fournissent les équations (§. in. 164.)

/X=z:2^Pa^^ et 2^0=«'û^ a étant la distance moyenne de la terre au soleil, et n sa vitesse moyenne de sorte que ndtzz.dO est le moyen mouvement de la terre ou du soleiL On a donc

/Xzi:^a3do2z=3jao'cos0, et en faisant — —h,

-V -, «5 cos (î> ^ , , ^

9^ = ——' d O {cos (X — a) — cos (X + a)} =z:

r^ {cos ('Cp -}- X — a) -f- cos ^(p — X -f a) — cos (cp -j- X -f a) — cos ((p — X— oc]}.

Mais (î)=zO — C = û^ — ^> partant

(A; 9 ^ := -y {i -j- cos 2 cp — cos 2 a — cos 2 X}.

Le premier terme j -— - zn — — est la moyenne rétrogradation annuelle des

noeuds, qui par conséquent, en substituant /iri3, 36 76 (§ 60.), est r-2j°i l'^n % ce qui est de 62' ou de la 2i me partie plus grand que suivant les observatîons (§. 2o5.}. Les autres termes, d^zn-—— {cos 2 a -f- cos 2 X — cosi(^}f donnent les oscillations périodiques des noeuds, dont on trouvera rinlégraleen exprimant successivement 3 O par 3», ax, et dcp. Si on fait le moyen mouvement des noeuds, que nous venons de trouver, ir — kdQ^ on aura

44o ASTRONOMIE PHYSIQUE

/■ON p— ^ ^sinaÇG — Q) , sin 2 (C^Q) , sin2(G — g)^

549i"sin 2 (O — Qj -f 4^1" sln 2 (C— Q) — 468'" sin i ft — O), ce qui ne diffère pas beaucoup du résultat que donne la mélhode d'Euler, savoir 54-6",42o' , et 453" (').

Dans la formule P =z __G ^ cos cp ^ ^ ^.^^j. ^^^ la moyenne, mais la vraie

distance du soleil à la terre , qui , en vertu de l'équation du centre , est

::;:: a (i -|- 'y' cos |A -}- cet.), Y étant Texcentricité, et (x l'anomalie moyenne du

soleil. Il faut donc mettre r au lieu de •— , ou bien i — SYcos^i.

au lieu de i, d'où il naît la nouvelle équation des noeuds, -t-t- 37 cos^t.,

dont l'intégrale est ~ — sin p, rz: 58o' sin [s. fsuivant Euler 55 1'').

Il suit de ce qui précède, qu'outre la rétrogradation annuelle de 19° à 20°, les noeuds de la lune sont assujelis à des oscillations, dont la plus considérable est 549o"sin 2 (O — Q), qui ^ une périoJe de 347 jours, tandis que les autres oscillations ont des périodes de 27 î jours et de 29- jours, de manière que, pendant une révolution entière des angles X et (p; l'argument a n'augmente que de 3o°. On peut dune regarder l'inégalité qui dépend de l'angle a, comme la véritable correction du moyen mouvement des noeuds, en faisant abstraction des oscillations périodiques qui , en se rétablissant dans chaque mois, sont confondues avec les diverses situations de la lune relativement aux noeuds, et par là échappent aux observations. Cela posé il résulte de l'équation ^ =1 5490'' sin 2 (Q — Q), que le vrai lieu des noeuds coïncide avec le moyen, le soleil étant dans la ligne des noeuds, ou à une distance de go°', que le vrai lieu des noeuds devance le plus le lieu mo} en , lorsque la longitude du soleil surpasse de 45^ celle d'un noeud; et que le lieu vrai des noeuds est le plus en arrière du lieu moyen , si l'un des noeuds est de 45"^ plus avancé que le soleil. Tout cela est parfaitement conforme au mouvement périodique dps noeuds, découvert par Tycho (II. §. 206.).

(1} Theoria motus lunae^ pag. ibg.