LIVRE V, CHAP. VIII

/ f yC^+s') cosU sinv S , X , cost/

S :=zo,z =10, rm ^-^ -^ x zz y zn , ^ = -• r -=. — ,, x' = — ^,

>-~. ,-^-^-hjj-!-^2- — ^T^p^ — ^ "^-iv--^—- — ■ — in? — S ' °"

-zziu 3 1 -j cos (u — v') -\~ — — (i + 3 cos 2 fv — uO 2 s^) K

en négligeant les autres termes, multipliés par -j, parceque u est 4oo fois plus grand que u. Il en résulte

— =^ m T-sin2

d'où Ton tirera

[—-] zz. sin 2 {v -— v).

.u \d u/ n'^ \d s / 2 îi* * ^ ^^

§. 253. Si la force perturbatrice m' est nulle, on aura (— -^ J zr o, R = o, et les équations (D (II) (III) (§. 25 1.) donneront les valeurs elliptiques, en prenant cette forme,

dV ddu , I dd S

tJU âV fo'(i4.s2)3 ^^

La dernière donne, en l'intégrant,

szz $ sm {y — J) , ô et J étant deux constantes arbitraires. L'intégrale de la seconde équation

aura la forme , u zz. ~ {V {\ -\- s^) -{- y cos (y — ro)}- , 7 et ro étant deux constantes. Pour déterminer le coefficient A , on trouvera , en différentiant deux fois cette valeur de u, et substituant la valeur précédente de s,

-. — - -{-u — — —-^~: = -, d'où il suit Azz -, et

°"l^' ' fe^(i-f5=)i fe=Ci + s=)§ » + ^'

•/(i + 5°)+7cos(l? — g)

45o ASTRONOMIE PHYSIQUE

Il est aisé de^ voir, que q est la tangente de l'inclinaison de l'orbite lunaire, 7 son excentricité, J et to les longitudes du noeud ascendant et du périhélie, dont les mouvemens sont trop rapides, pour qu'on puisse se dispenser d'y avoir égard. Désignons donc par (i — c) v le mouvement direct des apsides, et par (g — i) v le mouvement rétrograde des noeuds, c étant suivant les observations zz 0,991 54B; ^zz: 1,004022. Cela posé, il taudra mettre

10 -^ (i — c) V et J — {g — 0 V a la place de to et de J. En négligeant la quatrième puissance de l'inclinaison ô, on aura

Y Qi -\- s^) zz: I -\ {1 — cos 2 (gv — 3)}-, d'où il viendra

CO ." = — ^- ^-^T— y.y ^ -^ 5-ôsin(gi;-J).

11 en suit r~-^^h^(i-{-2d^)\ i-f - 4-"^ cos (eu — te)— -- cos 2 (gv — J)l ,

ce qui étant substitué dans l'équation dtzi: — — , donnera

f 1 ^ 1(7^4-^^) -^ 2V ( r 4-^r*-j-ii)'')cos (eu— to) -f 3 7^^cos2 {cv—xj5)'i ) \ «50s 2 (^ u — J; ^ 7^ cos 3 (c î; — to) 4- cet. V

et en intégrant,

(^0 t— h\i Arly^^-r^^ — ^' ( i4-| v'-H|^-)7sin(ct?-to)-4- -^^ 7^sin2(ci;-TO)

A f s\n ^ (gv — J) + cet. ,

Pour déterminer la constante h, concevons le mouvement rapporté au plan de

1 I -4-7COS (eu— îo) , l'orbite lunaire, ensorte que ^zzo, ô zz o , w iz: - zz — — ■, et

dt — zz T-~z, Mais on a dans lellipse, ?• zz — -^

Fôrigine des r étant au foyer^ a le demi-grand axe, et (pzzcu — w l'anomalie. Il s'en suit ^zzV a(i —7'), et 5^ — a^ au {1 — 27cos (u — to) -|- cet.}, dont le premier terme non-périodique donne tzr.a^v. Mais si le mouvenlent est rapporté à l'écliptique, le premier terme de (k) est/zzA^ if-^V^+^'^'O^^i d'où l'on conclura pour la valeur elliptique de h, A (i -}- ^^ 7^ 4" ^ ^ )' ^^ ^"' ^°°^

A = ai i-|7*-|û^).

Ainsi l'équation {i) prendra la forme