LIVRE V, G H A P. VIII. 45i

(/) au-=: I +7*4- j +7(14-7=^)008 (eu — te)— j cos2(^u — J).

Supposons la moyenne vitesse de la lune zz n "zz o ^, négligeons les troisièmes puissances de 7 et 6, faisons dans les coefficiens des sinus czzi,gzzi, et substituons la valeur précédente de h. Cela posé, l'équation (/<:), étant multipliée par /z, deviendra

(m) ntzz.v — 2 7 sin [cv — ro) -|- 1 7' sin 2 (et; — to) + -— sin 2 [gv — J).

Si on marque d'un trait les quantités relatives au soleil, où ô' zz o et c'rz: i, les équations (/) (m) donneront pour le soleil,

(/') a' II' zz 1 + 7'^ -4- 7' (i ^-. 7'^) cos (v' — to')»

{m) n'tzizv' — 2 7' sin (y' — ro ) + | 7'^ sin 2 (v' — to').

Si on fait nzizmn, la comparaison des équations (jn) {m') donnera v' — 27' sin (u' — -m') -\- 3 7'^ sin 2 {v' — to') zz /w v — • m V,

V étant 1= 2 7 sin (eu — ro; — ^-yz ^-^^ 2 (cv — V5) — — sin 2 ^^ u — J). Si on développe cette équation jusqu'aux troisièmes puissances de 7, 7,^, et qu'on fasse pour abréger,

V — mv znw, cv — ro iz: /î-, mv — w' z:ik' , gv — 3 z=.p, 2 w — = ^ ^=^ V^ 2 TV — kzzq'f 2w + yî:zzr, 2W+/^'zzr'^ iw > — (/?•-)-/?:') ZZ fj 2w — p I^C^ il viendra

(n) V znmv — 2m7sin/î'+2 7' f 1 — -— jsin/('+ | /n7^sini2/^"+-r ô^sin2p

+ I y'^ sin ik' — 2 m 7 7' sin {k -\- k') — im'yy' sin (Je — k'). En substituant cette valeur de v' dans l'équation (/), on aura

(p) aVzzi +7'[ I j cos^'' + 7'^C0S2/?:'4-/^i7y{cos(/î:— ^) — COs(/^+/^0}'

§. 254. Faisons pour abréger,

J^y ~ ^^J , ' ("\ cos 2 (u— v'} ^{bj^, (.)^ sin 2 (u — -v ) zz (c)^ ,

^=a, m'a3z=:^, M,a (c;^ zz M, i — J 5^ — J f/. (^'L o ^^ C^), = N,

P zz|.^fi5 5(«), + (Z)) >. Cela posé, on aura (C) f§. 252.),

u^\dvj ' A'^ "y u \J sj ~ \i\ùuj ' V? \a sj

Ainsi les éciLiaticns §. 20 1.) picntliunt ia {"(.:;;m.\

(III) .....o (j:;^ 4--) (^ H- -^J - ,-^ + ,V

Les équations (/) (n) (p) doimeronl, en rejetant les termes inutiles ,

(a m) I ^— — ^ 7^ $- — V ^ I -4 y^ ù^>y cos A-

-] ^ — i 7^ cos 2k-f- - y* cos 2 p^

(aV)v'— i-"!- — î; ^ 'V''-|-v J 1-1 ^ ^ 7'^^7 cos/^'-l i-— / 7'^cos2//

-j- ^ '^^ ^ '^^ {^"os (/î- — z^') — cos [k '{- k' } ,

(«^ Zi+ -^ '7=^ — ^ — !72__^2^> j j — L-^2>'2+ 72 ^e^^cos/î:

+ 7 ^^ ces 2p — - (v — im") 77'' cos (/î- — /t') (v -f- 2 w) 77''cos (/c -j- k')

cos2(t?— î;')=z{]— 4"^ ^ — 4"^^'^"}cos 2W— {2- 87'=} w7 cos ç-(- {2—87'^} m7 cos r + \ '2— ~ "V'^ ? 7'cos9''— ^ '^— 7 '^^ ? 7'cosr — 6/«77'cose — 2m77'cos {'.>Av-\-k-\-k')

+2W77 cos(9+A'y+6/n77 cos{cj +/r)H 7^cosr (w-X) 7^cos 2 (w-f-/^)

+ 7- 7'" cos 2 (w — >^'}-|- /■ '^ ^ CCS 2 (w -j- >^') -f- T ^^ {^^^ 2 (w— -/d) — cos 2 ^îv -}-/?; }| 4-4 4

ih) ZH II — — — -^— =- — - Y — -^ ^ — -, : 7 — -; ^ k 'Oh 2 w

Cv+4m/ le—vYv^— i) ^ »\ /vfv2~5y-+2) vfn— 2v) N - v(v-+i+47n.) .>

fv — /^m/ 16 — v'fv^ — î) ,r\ /vfv*— ôv+al vfii — av) \ -, v(v-i-i — 4^) o? - ^ ^^(1 i ! Y-y (^ ., ' + -4 -' -)r - -L-^- '.= ^ ycosr