Il m- C^«^ 4- .-^-— ^^^# h 3 A^°) Â^3) 4, 3 A^^> A

4 o^^ — mj (2 — mj (2 — om

(5) ..... 2cG^-^^z=^,, (6) 2g C^^^zz J.

L'équation (ÏI) donnera par le même procédé, pour le coefficient de cos ^w,

/■^ - ^ 2 ' 2(^1 — tn) ^ ' ^ ■^ -' '2. ^

pour celui de cos //, (8) o =: (r — -? m=} A^' > ^ ?, m^ ( i -f 2 y^)

-|- 3 ;7^ rS A^^^ — n A^^^ — 20 a'^'^^ ^" -(- 5 A^--^^ 7^) 3m-C.--.mjC5-^K3-^ A^^)-V'-H-2..;AC^>-3,.=(2-3.z)A<3)i!;.^C^^>,

pour cos q, {^'- o zz ^^3 — c — 2 /??) (c — • i -}- 2 w) — | rn~\ A^ '^

jA 7—^ ~ — ^in^{6—c-^'±i-ii)f—Çim^ 1 1 4-3/72 i7"H-3/?2^A^"',

pour cos q , (10) 0 zz — 3 {(i — -//z) (i — ■om) -|-| /.n"} A*'^^ -|- ^"^"""^ --^

pour cos f , (il) o zr {(3 — > c — 3 m) Te — 1 -f- 3 m) — ?; /^z^} A^"*"^

Le coefficient de ô sin <r dans l'équation flll) donnera

(12) o zz {(3— ^ — 2m) r^ — i-j-am) 4 ^777-} B^°^

§. 2.57. Les douze équations précédentes suffisent, pour déterminer, par la méthode vulgaire d'élimination, les douze coefficiens A^°'',A^'^ A^ -^ A^^-* A^^) B^^\ Ç}-\ C^^>, C/^\ C^^>, C^4), c^^\ Si on fait, suivant M. de Laplace, 77Î zz 0,07480 13^ czz 0.99154801^ ^ rz: i,oo4oai75j 7 zz 0,05486281; 7' zz o,oi68i4j 3 zi 0,0900807; 7^ zz 0,003009928; 7'^ = 0,00028271; ^^ = 0,008114534; e zz i,ooo424[;,/zz 0,99929323; 77z^ zz o,oo55952J4| les équations précédentes donneront

A'^*'^ zz 0,00706; A^''^ — — 0,0073^ A^2^ =: o,2o34; A'^^' =: 0,02895

Qia) „ 2^yj. Q(3) o,i9i3j C^4) - o,7564; G^^) — 0,249.

Le coefficient A^^^ est singulièrement modifié par ceux de la latitude, que

îious avons négligés. Si l'on y a égard, on trouvera

Les valeurs que M. de La place a trouvées, en tenant compte des termes que nous avons négligés, diffèrent des précédentes d'environ la centième partie. Les valeurs exactes qui résultent de son analyse, sont parfaitement d'accord avec les meilleures tables modernes, et par conséquent avec les observations^ ainsi qu'on peut le voir par le tableau que ce grand géomètre a donné dans la Mécanique célcs/e (Sec. Part. Lw. Vil. Chap. IV.).

Pour faire application des équations précédentes, on doit observer ce qui suit. L'équation (l) donne immédiatement les inégalités de la longitude de la lune en fonction de la longitude vraiej v-{nt+B)-z-h7i^Jy"dv-C^°^s'm'2w-cet. L'équation (III) donne la tangente de la latitude, 5-|-Ô5=:ô(sinp4-B^°^sino-), d'oij l'on tirera la latitude p =: 5-)- ô'5 — T~ := -s -^ ô'5 T~^^ °^

^ =z$ (1 J sic /? 4- B ^ sin ff :zi 0,089898 . sin /? + 0,002557 . sin a-,

«l en secondes

|3 -= r5° 9' a'^S) sin (gv—3)-\^ (8' 47 '^4) sin (2 v — 2 m v — 5- v 4- J). La parallaxe II est donnée par l'équation (II). Si on désigne par a, 1-, le rayon terrestre et le rayon vecteur de la lune, on aura II =: -. Or nous

avons fait un — ^ {%. 25i.\ et tang S zn 5, cos (3 zn -— r^ d'où il suit

n =z :zz - au (1 — ± s^) 1= - aivl i -h — cos 2

yCi-f-^O o 2 ^ û V 4-4-

Si on substitue « u = i 4- 7^ 4" T ~i~ "^ ( 1 4- 7^} cos /c — — cos 2 /? + a^u (§. 253.)j il viendra

n zz: ^ $ I 4- 7^ 4 7 A -{- 7^ - ~) cos >^ 4 a^u ? . Mais on a-no,oi655i, donc - (1 -[- 7^j n 0,0166 = 3424",2^ d'où l'on tire

L I V R E V, C H A p. VIII. 461

n =: 57'4'',2 -\- i87'',5 . cos k -{- il\\'x\ . cos 2 (v — mv) — o'^jSS .cos(mv — ro)

+37''',95.cos(2V-ci;-A72i;+to)4-i'',63.cos(2i;-3/?ii;H-TO')+i",63.cos(2v-ct;-3wi;+TO+TO'').

§. 268. Il nous reste à considérer les équations séculaires des moyens

mouvemens de la lune, de ses apsides, et de ses noeuds. La première est donnée par le premier terme de l'équation (I),

v — {nt-^i') — ~'i m^ fy'dv — — 0,00839286 . f Y^ d V; elle dépend donc des variations de Texcentricité de l'orbe terrestre 'V'. Nous avons trouvé (§. aSc),

y= zz r^ — / . o'',99342 — e . o'',ooo6o27. En substituant donc « zr: 8399,7^ dv -zz ndt ■zz^'i^^.'^ .Bt, on aura l'équation' séculaire de la longitude moyenne, comme ci -dessus (§. 25o.), V — 8099.7 ./(/.o",oo246: 6 -h^^.o",ooooo5o59) d^ — ^^. io'',3 -f 7^.o",oi42, L'inégaliië du mo;yen mouvement des apside-s et des noeuds sera déterminé de la même manière que celle des planètes (§. i85. 18-;.). On différentiera le premier terme de l'expression elliptique du rayon vecteur et de la latitude de la luné, en faisant varier l'excentricité et le périhélie, ainsi que l'inclinaison et les noeudsj or comme ces variations ne peuvent résulter que des perturbations, on trouvera leurs valeurs, en comparant les uifférentielles précédentes avec les termes analogues des équations II, III, qui contiennent les perturbations. Le premier terme de au, qui est i-j-7 cos (et? — w) (§. 253. (/^), donne en ditïérentiant,

-— -T +at/=ii4-fi— 0'ycos/?:H-5--,— - +2C7-'"- —7 —" f cos^4-.....sin^,

le coefficient de sin k étant inutile ici. La valeur elliptique de Uau

est 1 -|- (i — c^) 7 cos /c (§. 255.). En l'ôtant de l'expression précédente, iî

restera pour les perturbations, en négligeant le terme 5 -r à cause de la len-

av leur de la variation de l'excentiûcité, cette équation:

adèu . . d xs /d ISS \ ^

o zn --^- 4- au -\- " - ( -, — 2 c 7 cos ^.

L'équation fil) a la forme, o i=z — —^ — [- «m -4- K 7 cos^^ K étant la somme

coefficîens de 7 cos /c, dans B — G — f, N -f B' -f B" — C — ^ 5 N

(§. 255.), après en avoir olé ia pariie ellipiiquç (\ — 0^)7 003/^. Gela posé, la comparaison de ces deux équations donnera

, -, -, , — Iv, d'où l'on {ire àv j W '^ .

• — in c -^ K !6- -f-xV), et en mlegrant,

au .1-5 b J

(t?) ..... ts rr Ci; -|- / 3u . V (c^ + K). 1! en suit aci; ==: ro -f cu zp ./ 9 v . V (c^----{- K) r= v Ijl/at' . y (c'^-j- K), païcecjue nous avons supposé le ninj-en mouvement à&s apsides, "us-rzii — c) 'O (§. 2">3.), c éîant à peu près égal à Tunitéj d'où il suit que icv ou t>i:jI/âi'.y'(c'+K) est à peu près égal à iv. Il est donc visible quïl faut prendre le radical avec ie signe iniérieur, ce qui donnera (<:/), te zr eu — /3u . "]/ (c^ -| K). Si on fait pour abréger,

les valeurs précédentes de B, G, - N, B^, B''', G', ^^ ô'N, donneront

Km— 3;„2(A + By=^j,

L'intégration donnera le lieu du périgée,

te — n + i; 4c — y {f — 3 ,rrK)\ Jl. ^^''^ .-^/V^ 3^,

n étant l'époque, v {c — y fc^ — ,^m"A^}zr^v le moyen mouvement des

• I '3 m'-^ B „ ,„ - ,Tr , , , . , ir

apsides, et -, — — z ^r—:. ly^àv l équation séculaire de ce mouvement. Les

valeurs précédentes uoaijent A tzr 1,96381 36; 6^:7,9254309; d'oii il viendra

y (c^ — ? m^A) m 0,983 lyo'} me — <".

Nous avons supposé le moyen mouvementz(i-c)u, d'où il suit 2cZi-4-yfc^— oW"A),

et cm 0.99159631 ce qui ne diffère que de la soooome partie, de la valeur

qu'ont donnée les observations, czzo.qgiSaS. Ensuite on a — , ^ ^ ^ — -—r m 4,000; ^ "^^ y[c^ — fm^A)

d'où il résulte l'équation séculaire du périhélie m 4)0^- f- /"^/7'^ (^i^- Cette équation a un signe contraire à i'équalion séculaire de la longitude, et elle 3st quatre fois plus grande, ou suivant M. de Laplace, trois fois; ce qui donne

l'équation séculaire du périhélie zz — i. ^o'\g — i^. o"5o426; t étant le nombre des siècles écoulés depuis l'époque.

L 1 V R E V, C H A p. VÏII. 463

Le premÎRr terme de !a lalilode. s -r-. ê s'm (gv — J) , donnera par le même procède, ^ -^-^ ^ ^ l^S' [^yl — { ^y j C ^si^V^' ^^ retranchant la partie elliptique, et négligeant - et le coefficient de cas />. L'équation III donne

et en faisant g^zi: i.

Si l'on compare cette équation avec la précédente

^n faisant i:"-2A^°^ — U-}-m)B^^^ — C, 3 4- 5A^-°^-f-ri + w)B^^'^~D, on aura

o — . f ^- )' - 2 g i'^-'^^) - 3 nj"^ C - S m« D r%-

d'bù Ton conclura, en faisant pour abréger, V (^^4- 1 /?^^ C) = ç,

^=g - 1- -J D^ °. et J = K-\.(s-{)v- 1"^- D/7" 3t;,

H> étant l'époque, {g — C> "^ le moyen mouvemenî des noeuds, et — —— DJy^dv

rëquation séculaire de ce mouvement. Les valeurs de m, A^°\ B^"^^ (§. 25^ ),

D donnent C i=:o,9553o85^) D zn ijôn^aSS-^; ^zz i,oo8oo64; -^m 0,7994634.

0n a donc le mouvement moyen des noeuds — (g — ^yv, ce qui doit être

égal à (1— g) V, d'où l'on tire g nr ■— ~ zi: i, 0040082^ ce qui diffère très-peu

de la valeur ^n 1,0040257; que donnent les observations. L'équation séculaire

681—0,7:99,4634, ^nrf/^dv, ou suivant M. de Lsplace,. —0,7354524 '^V^'^^^^

0& qui donne

i'équation séculaire des noeuds :zi r. 7^^502 -^-^^ « o''',ou33.