pour les inégalités du III, dues à l'action du II
Si on fait pour abréger,
4«- A<" + («y ^~ = F, 2a" B"> - («■')■ '-5;^ = G, ' ^ ôa ^ âa
4« B'=*^ -f (a ;^ — -^ — F , 2.a C^ — (a ;= ■^,„- — tr j
les équations précédentes deviendront
,„, fn" t' , r' m" / F cos - 'I 11^ „ ^ , m'"ji* F sin 0 f I- II),
mV r'^__ inV^>cos(I-n) ,, __ m'./' G sin (I- II).
77/''r",;.'^ m"',/^'.os.(II-IIl) ,„^ „ -m'" "î^'sinafll III).
^^ -' ~Uy ~ ^/'^rr:"'-",/^/')' '^ 5 ^ — — -^F'^.,,r-- <." " y
-mf'r'" r'" m" ''' ./cos (II m) ,,,, ,„__ m '-,^' -' vi^C" I") \^ ) r frs — TTTff Z7T, — // ///;» rn àv — - „ ,,, .'".."> '
( /"j= — 2 i^,/'— ïl"' — //' u'")
n — ri — /^
Les rapports remarquables qui existent entre les moyens mouyemens et ies époques de ces trois satellites, donnent le moyen de simplifi r les équalii ns précédentes. On a vu (Ç. îni — in^j.) que A^^^ 1= „ ^i - ,-= ,,0 . 9
^^^^ étant fonction de a ziz "„ Il s'en suit que a' A^^^ et (a"f - , , uinsi
474 ASTRONOMIEPHÏSIQUE
que F et G, sont des fonctions de -7^, et l'on verra aisément, que F^ et G'
(J) -■'- ^,,y- = - ^ cos (I - II), M ôt;- 1= [2] sin (I II);
sont les mêmes fonctions de ,^,, que F et G le sont de -,^. Or on a à
très, peu près, ^,, - ^„ parceque ^„ : ^n, '• : \jrj = (^y '- -■ ("y : {ij% d'où il suit F'— F et G' — G. On a vu de plus (IL §. ^aS.), que ï „ 3 II 4- 2 III = 1 80°, d'où il vient
2 (Il - III) = (I - i:) - i3o°, et 2 ^ (" - I") - - Z. 'ï - ")' Si l'on fait n'z^'in^', n''z=.%n"% ou r^ — ifrzz.'i.iji"' — ri"^, on pourra réunir les inégal» es G) (F') en une seuJPf et en faisant pour abréger,
les équations préeédenles prendront cette forme:
(H, '^Ç/il^-y^cos^C!--!!) m"SV=:-MsmHl-liy,
J! — „ i!l cos f II — IID . . m" ô- 1"'^' — ^ ^"
§. 265. Si Ton compte les longitudes I, II, III, v^, v'\ v'' , de la conjrnction supérieure,, en les rapportant à la ligne mobile qui joint le soleil et le lieu moyen de Jupiter, n' , ri' , li" ^ seront les moyens mouvemens synodiques pour une seconde. Supposons qu'à l'origine du tcms t, les deux premiers satellites aient été en conjonction , ou I zz: o, II =10, et par consé-
i8o°— I + 3II o /-. I ' ■ ,
quent III zz: — — 1=90°. Cela pose on aura pour un tems quelconque,
\z=.rit, W — n'i, m=90°-i-/^•% et les équations (H) (J) fK) deviendront
m'^v ——lx]^mi{nt—n"t),M.W— [2] sin {r{l^n"t), m"^t;'"z=— [3jcos(/i'7— «'^^), Si on fait n — in" 'ZZiri'—'i.n'" zzzbi^ on donnera à ces équations la forme: m"Sv'—— [i]sin(/2'4w)/, MÔi.'' — [2jsinf//'4-w,V, m' ôu^'^zz— [3J cos(//'-j-w)^. Muis dans les éclipses, I, II, III, sont nulles , c'est-à-dire ni =1 o, n"iz=o, n'tzn — 90*, d'où l'on conclura pour les éclipses,
m"^v — — [1] sin wi^ M^t;" zz [2] sin w^^ mf'$v'"z=i-^ [3] sin w/|
(K) ~r-jjj-r- = — " <^os (II — III),. m"^v"' — [3] sin (II - lit).
L I V R E V, C H A p. IX. 4^5
ainsi les inégalités des trois satellites, dans les éclipses, ont le même argument ^t, et par conséquent la même période. Pour la trouver, nous observerons que rî et w sont le mouvement synodique du I satellite, et le mouvement de l'argument uit, pour une seconde. En nommant donc T% T'', la durée d'une révolution synodique du I et du II satellite, et P la période de i'aro^ument w?^ on aura
w'.n' '.'.T '. P, donc P =:
\f, = 0,99^955903; :=. 247,274; et P zz 437,641 jours.
Nous avons vu (lî. §. 3 10.), que
T' =1 i;7ô9c6o5 jours, T'' ziz 3,554o94i jours; d'où il viendra
Cette période des inégalités les plus considérables des satellites est conforme aux observations, qui avaient fait renonnaitre ces inégalités (II. §.3.7.).
§. 266. Les équations du §. 264. ne diffèrent de celles du §. 262. que par le diviseur qui est (2 — V) «' — 2«'^ au lieu de n — in'' pour le I satellite, n' — {\'^X') v!' ^\x lieu de 11 -^in" pour le II, et n" —{\-\-y!"),l'' au lieu de //' — 'i.i^" pour le III. Ainsi, pour corriger les équations du
§. ^62, il suffira de multiplier ie terme de ôv', qui a l'argument 2 (I — II),
7/ — 1-iJ' t
P^^ (p,^y,j ZT^" ~~" TTHI/Tt? ^— ^'' ^^^ termes de ou", qui ont les
1 — i- !^^ — < — ' n' — an''
argumens I — II et 2 (II — III), par " (i>/'yn^, = v" . et le terme de
Sv''\ qui a l'argument II- — IIÎ, par " 'n~I~"~~i'>' Si l'on fait pour abré-
ger, 0,0217794 me, l'équation (E) (§. 264) donnera
A zzi — ■—, m ar U ■ r— , X^zzi- 7;— — ma „• )
rs cie et, p, o", eic. (^^. 200.;^ ei
et si Ton substitue les valeurs de a, S. ^^•^ etc. (%. 260.)» et -.;i 1
X'" zz 0,99^3 gj — /?/' 0.964^1 ', X^^zz 0,99978505 — /7?'.i, 53458 — /w".o,95ii93,
X" ^ m o.999895b65 — ■ m'\ 1,5172^2, et par rexhartion des racines, X' zz: 0,9996646 — m .o,^'S-2.\^'^ X" =r 0,999^6752 — w'. 0,76789 — m" .o,47566:
X"^ zz 0,9999479.3 — /7i''. 0,7 866.
Les valeurs précédentes des masses (§ 261.) donnent
^' = 09 96' J ^ ' = o>999'^M X "' zz 0,9 993ou suivant M. de Laplace qui a eu égard à 1 action du soleil ( ^ ),
^' = fN999^'f>7J ^" = c,99965 >5; X'" z= o,999h567; X'^' zz 0.999907. Au moyen de ces corrections on trouvera les inegaliiés, indépendantes des excentricités (^),
Sv'zz—nr.6 >7J27 'sin(ï— TI)-f/77'' 7. 4 62i6''sinn(I~ir-h/»".299494"si. 3 I— II) -|-m".52464' ài:4([-Ii) — m'".7Lo64''sin(i— m +/«''. 6ooo4' sin2 (I— III); ôVzz — m .2'^522750'sin (I — II) — m .i7o5.-;6"sina(I —II) — m .34^02 sin3 I — II) — 7?z"'.597HJ6"Mi (SI— III -hm'' Jg2'>Si66"sïn9. Il— III;4-m'''.22di8o''sin3(Il 110; èv"— m . 7. 618" sin (1 — III) — m" . 1 1 269585 ' sin (il — îil) — m". i6:;o4.5''sin 2 (II — III) — m'\ 3J( 7 i'' sin 3 ^I — 111) ^7?2'^343963''sin 111— IV)+/?2'\i . 73 M4"sino([lI— IV +m^\8 i5o8''sin3(llI— IV); ôv'^ — /72\4(U^6'5in fl — IV; 4- m". 7 745" sin (il — IV) ~?7z"'.î 4<Si7'sin ail — IV) — m"'.5i7ri' sin 2(111 — IV), §. 267, Les observations des éclipses des satellites étant la base de leur théorie 5 on pourra vérifier les équations précédentes par l'observalioi}, en cherchant le tems duquel les éclipses arriveront, en vertu de ces équations, plus ou moins tard que suivant le mouvement mojen. Pour cela il faudra les convertir en tems, ce qui se fera au moyen de cette proportion: 36o* ou 1296000''' sont au nombre des secondes, d'une de ces inégalités, comme une révolution syno^iger' Hn s^tpHite p<;t an fems duquel les éclipses
(l) Mécan céL T. //■"'■ pag. dg.
(s) Jiid. pag. d9 — §3.
L I V R E V, C H A p. IX. 4^7
de ce safellile sont avancées ou relardées, selon que l'inégali'é est positive ou négative. Déms le dernier cas on doit ajouter l'équation à l'époque moyenne ou calculée de l'éclipsé; dans le premier cas il faut l'en ôter: ainsi toutes les équations changf^ront de signe. Les révolutions synodiques des quatre satellites sont (II. §. 3io.)
254'^,6 minutes, 5117,9 min. loSig.f) min. "4125,1 min»
2548 fî
En multipliant donc les inégaljiés du I satellite par ^— , celles du II par
5r;-,Q ,, , T.T 10.319.6 ,, , ZUI2S I
, celles du III par r— , et celles du IV par — , et changeant
les signes, on aura le nombre des minutes qu'il faudra ajouier au tems des éclipses.
Le théorème des époques, I — 3.11 -j- 2.ITI zz; 1 îo"^, donne I— ni — ;?(!— II)-9o^ 1 — 11-180°+ a(II— L ); I— IIIzz iSo°4- :J (ÎI— ITT). Au moyen de ces équations on pourra donner à toutes les inégalités èv' l'argument T — II, à Sv' l'argument II — III, et à ou"' les argumens II — III et III — IV. Ainsi on trouver^ par ce qui précède^
Sv' ~m'\ 1 194' sin (I — n:^ — m''' . i4o'cos ? (I — II) — /?/' 1'^'^494'sin 2 (1 — 11}
— ('?/'. 4:1 — /?/".ii8' sin J(l— II.; — »z".io/. sin4( —II),
^v" =z m". 2^6/ sin (II — Illy — /// .^;894/-|- /n''\ 1549 J2O »•' 2(1 — ITT}
~ m'''. 881' sin J (R — III) -\- m\6'j /sin 4 (i- — III) — in . i35' sin 6 (II — 11;),
? '''=z^' .897 6 s.n(ll— in)+/7/'.i3 *4 sinaai -IIl)+(/?/.6 6'+m ^26J';sin3(II— 111)
-{- m^^.2;39'sin III— IV. — w/ ^.,J4o'sin 2 III— IV; — m'^. 6:.7'sin3(in-lV),.
ô v'"" ——m' . 869' sin (1 — IV) - m" . i,;54'si.: (;i — IV)
-t- m ".21 37 sin (ill— iV, -|- m " . 9612' sin 2 (lil— IV}.
§. 268. Les termes principaux de ^v" sont — M. sin a flI — lU) , M étant zn /«'.b894^' -}- /w''^3 5 4932' en tems, ou en secondes d'un degré (§ 266.)
Celte inégalité est si considérable, que la variation de l'argument II — III, qui en résulte, produira une nouvelle équation sensible. Pour la déterminer, concevons qu'elle se rapporte à l'ellipse vaiiable du satellite troublé, ou aux variations de son excentricité 7 et de son périjove zo. En désignant par {v"\ la partie elliptique de v'\ et faisant pour abréger,
7 sin ïC zz: /i;, 7 cos ^-z^l.
/i-jS A s T R 0 N O M 1 E P H Y s I Q U s
on aura (i") =: 2 7 sin '' iî — tr) -|- I y^ sin 2 (H — tt) -j- cet.
Cela posé, le premier terme, (i;'0 = ^^sin 11 — 2AcosIl, aura pour variatioa
(a) ô~ iv'') zzi zSl sin II — 2 5 A cos II,
dont la comparaison avec ov'^:zz — Msin2(il — 111) servira à déterminer les variations oh, 67. Pour cela on doit donner à ô v" Targument de 6 (u '), savoir II. En mettant II -j- (Il — 2 III; au lieu de 2 (II — III), et iaisant II — 2 111 zz (f), on aura
(''0 ^'v'' z= — M cos cp sin II — TVF sin Cp cos 2 IIj
ce qui étant comparé avec l'équation (a), donnera
(c) ..<,..§■ A zn — sin (p, 6"/~ cos <$.
Le second terme de (v' ), |7^sin2(II— îc)zi:/(/^ — /i^)sir2.II — ^/i/cosa.II, donnera, si on substitue A -|- 0 /z pour h, et /-J- ô/ pour /, les termes suivaus:
ô (è-v') — i{(^Sl^ — Sh^) sin 2 II — 2Sh .0/ cos 2 II}-, ce qui est la nouvelle inégalité , proportionnelle au carié de la masse perturbatrice, que nous cherchons. Au moyen des valeurs (c) elle se transformera en
^î(5^'0=^ M'{cos2$sin2ÎH-sin2(pcos2lI}i: ^ i\PMiï2($+Ii)r^M\in4(lI— III). Les inégalités du même genre, relatives aux autres satellites, sont insensibles. §. 269. On ne peut déterminer les masses des corps célestes que par l'effet qu'elles produisent. Celles des satellites devront donc être déterminées par leurs actions mutuelles, c'est- à - dire, les inégalités qui résultent de leurs attractions, et qui sont données par les formules précédentes en fonctions des masses. Si Ton compare ces foi mules avec les inégalités que les observations ont fait connaître, on pourra déterminer m^, m", /«^^S m'''. 11 suffit donc d'avoir quatre données ^e l'observation, au moyen desquelles on pourra éliminer trois des inconnues, ce qui donnera fune après l'autre. Mais on trouvera un résultat plus exact, en déterminant chaque masse par l'effet principal qu'elle produit: on choisira parmi les inégalités de chaque satellite, celle -qui l'emporte beaucoup sur les autres; on comparera son coefficient avec le maximum de la même inégalité, donné par les observations, et Ton trouvera immédiatement la masse dont elle dépend. En substituant les valeurs ainsi trouvées,
L 1 V R E V, C H A p. IX. 479
dans les termes qu'on avait négligés dans la première opération, et qui dépendent des autres niasses , on trouvera des valeurs plus exactes. Mais pour avoir le maximum de chaque inégalité avec la précision nécessaire , il faut calculer un grand nombre d'écîipsesj et c'est au zèîe infatigable de M. Delambre, et à la sagacité avec laquelle ce grand astx'onome a calculé plusieurs milliers d'éciipses, que les astronomes doivent les résultats que nous allons exposer.
Les inégalités dulsatellite, ôV, renferment un terme, —m''. 188494 s in 2(1— II) qui , étant cent fois plus grand que tout le reste , servira à déterminer la masse in' du II satellite. D'après les recherches de M. Delambre celte inégalité est zn — ^'.sinqHsinsCI — II); d'où il suit m'^zn—- zz: o.ooooaSaSSo.
L'inégalité principale du II satellite est
ÔV =z —Cm'. 88942' -^ mK i5493î') sina : II — III), et le maximum de la même inégalité est suivant M. Delambre zz: — i5 ,2322; ce qui donne l'équation, m'^'^.^^^-î -\- m"'.ib\^\i zn t^S^iù^i: il faut donc une troisième donnée, pour déterminer les masses m' , m .
Comme les inégalités des satellites dépendent en partie de l'aplatissement de Jupiter, et qu'il est à présumer que cet aplatissement sera donné par les observations des éclipses avec plus de précision , que par la mesure des diamètres de Jupiter, il y a cinq inconnues, et M. de Laplace a pris pour les trois données de l'observation, qui sont encore nécessaires pour déterminer ces cinq inconnues, les mouvemens des apsides du III et du IV satellites, el le mouvement des noeuds du IL C'est de ces cinq données que les recherches de M, Delambre ont fournies, que M. de Laplace a conclu
m.^ZOjOoooi^JaSj^ ;7î"i:o,oooo2323553 m^ '^1:0,0000884972; ^^^^^0,0000426591;
et le rapport des deux axes de Jupiter, iz: OjgiSGgga ou — ,.
ee qui est conforme aux observations (11. §. 167.).
§. 270. Si on substitue ces valeurs des masses dans les formules précédentes, on trouvera d'abord
M zz /{9. '',2^64 -p 3472', 0224 = 0,0187251 1VPzzio,ooo3og64z:: 72', 2 4i
ce qui étant- multiplié par — /^ , donnera en tems.,
48o ASTRONOMÎEPHYSIQUE
ÎVP - o',5B5597; 'îonc ^ M^— 5'',355j et ô" (Sv'') ziz — 5",355 sin 4(11 m).
En réunissant les inégalités précédentes (§. 267.) à celles que M. de Laplace a conclues de l'action du soleil, et des excentricités du III et du IV satellites, dont le mouvement des autres satellises participe, quoique leurs propres excenfriri'és soient insensibles, on trouvera
èV. i ,665sin 1— II)— o",74ocosl I-ID— Tg3",079sino (I— ïr-o'','44sin4(l n) ' — I '',o56sin('I — îcî)— o'',73isin(I — îO ,:-|-6'',82sin(I- 2il-|-ro)-r2' .9i9sin{I-2lI-f-îo'), Ô^i;ri2'',53r)sinvll^lir-9i5 ',K]2sin2,II-llI)-4 ,68sin3(II-ilI -5 ,728sii 4(II-III)
— o'^358sin5 II— 111,-0 >8îsirj6CîI—IlI;--{-o'',4o5sin(II—IVy-o^355sin2(II-lV) =- 2b'',247 sin (II — î^) — io'',33i sin ai — toO — 43'',468 sin ^I 2 II + to)
— i9'',574 sin (I -— 2 II -h TO ) 4- 8",547 sin V^ ôi/''ri25'',io5sin :II~lIl;+/'',833sin2 II-III 4-i'',o»9sin3(II-IiI -l-7''sin III— IV) ~23'',9i (sin2(llI-lV;-i ',68isin3(IlI-IV)-a6i',732sin(I]I-îK)-i 6 ,756sin(III TO')
— i4^;33sin(Il 2lil-l- ro) — 6",746sin(II — 2llî-l-îoO+22",82sin V| ôu'^— -0^,89 lsinI-I\)-i",888sin(Il-iV +1 1 ^34rtsin(IlI-IV +5",7 Tsin2^III-IV)
H- 1 ',068 sin 3 ^III — IV) 4- 79'^,<'^77 sin iV — to) — 3328 ',77 sin (IV — ro') — i5",249sin 2 (IV — zc') — o',ii sin 3 ( V — to'; -j- 126 ,58^i sin V^ to et w^ étant les longitudes des pé'"ijoves du III et du IV satellites, V l'anomalie moyenne de Jupiter , comptée du périhélie, et les termes qui ont l'argument V, élant dûs à l'action du soleil.
Les inégalilés précédentes serviront à calculer le tems du milieu des éclipses des satellites avec une précision plus que suffisante, pour se préparer à en observer les immersions ou les émersions, attendu qu'on connaît à peu près la durée de chaque éclipse. Le but de ces observations est la détermination de la longitude du lieu de l'observateur j et les astronomes sont convenus que cela ne peut se faire avec quelque précision qu'à l'aide d'observaiions correspondantes. Pour qu'une observation isolée pût remplir cet objet , par sa comparaison avec les tables , il faudrait connaître exactement l'instant de l'immersion et de l'émeision, ou ce qui revient au même, la durée de l'éclipsé , qui dépend de la dislance et de la latitude du satellite. Mais les meilleures tables que nous ayons , celles que M. Delambre
